高等數(shù)學課件

導數(shù)與微分2.1導數(shù)的概念及基本初等函數(shù)導數(shù)公式2.2函數(shù)的四則運算的求導法則2.3複合函數(shù)的求導法則、高階導數(shù)2.4隱函數(shù)的導數(shù)、對數(shù)求導法2.5微分2.6微分的應用2.1.1導數(shù)的概念

引例

１導數(shù)的概念0

y

x

2.5.2微分的基本公式及微分的運算法則

導數(shù)的應用3.1羅比塔法則3.2拉格朗日中值定理及函數(shù)的單調(diào)性3.3函數(shù)的極值與最值3.4函數(shù)圖形的凹向與拐點100公里20公里ABCD

不定積分

4.1不定積分的概念和性質(zhì)4.2不定積分的換元積分方法4.３不定積分的分部積分方法4.４簡易積分表的使用4.1不定積分的概念及性質(zhì)4.1.1不定積分的概念

4.1.2不定積分的性質(zhì)

4.1.3不定積分的基本積分公式

4.1.4內(nèi)容小結(jié)

4.2不定積分的換元積分積分法4.2.1換元積分法4.2.3內(nèi)容小結(jié)4.2.1第一換元積分法(湊微分法)4.2.2第二換元積分法(去根號法)4.3分部積分法

４．４簡易積分表的使用方法前面我們學習了多種求不定積分的方法，但還有許多不定積分的計算難度要更大，在實際工作中為了應用方便，把常用的積分公式彙集成表——積分表。一般積分表是按照被積函數(shù)的類型排列的，求積分時，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)簡單變形後，在表中查得所需結(jié)果，下麵通過實例說明積分表的使用。1.以直接從表中查到結(jié)果的例1求。解本例屬於表中（一）類含有的積分，按公式6，當時，有

。例２求。解本例屬於表中（五）類含有的積分，按公式28，當，時，有於是

。2.進行變數(shù)替換，然後再查表求積分例３求。解表中不能直接查到，若令則可應用積分表（六）中的公式38，於是3.遞推公式在積分表中查到所求積分

例４求。解查表中（十一）類公式96，有

就本例而言，利用這個公式並不能求出最後結(jié)果，但用一次就可使被積函數(shù)的冪指數(shù)減少二次，重複使用這個公式直到求出結(jié)果，這種公式叫做遞推公式。運用公式96，得4.2.3內(nèi)容小結(jié)

1．分部積分法

2．簡易積分表的使用方法

定積分及其應用5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2牛頓—萊布尼茨公式5.3定積分的換元法和分部積分法5.4廣義積分5.5定積分在幾何中的應用5.6定積分其他應用舉例

5.1定積分的概念與性質(zhì)5.1.1兩個實例5.1.2定積分的概念5.1.3定積分的幾何意義5.1.4定積分的性質(zhì)5.1.5內(nèi)容小結(jié)5.1.1兩個實例圖5.1.1

圖5.1.2

5.1.2定積分的概念5.1.3定積分的幾何意義

5.1.4定積分的性質(zhì)

5.1.5內(nèi)容小結(jié)1.定積分的概念．

2.定積分的幾何意義．

3.定積分的性質(zhì)．

5.2牛頓—萊布尼茨公式

5.2.1變上限的定積分

5.2.２牛頓—萊布尼茨公式

5.2.3內(nèi)容小結(jié)5.2.1變上限的定積分

5.2.2牛頓—萊布尼茨公式5.2.3內(nèi)

容

小

結(jié)5.3定積分的換元法和分部積分法

5.3.1定積分的換元積分法

5.3.2定積分的分部積分法

5.3.3內(nèi)容小結(jié)５.3.1定積分的換元積分法

５.3.2

定積分的分部積分法

５.3.3內(nèi)容小結(jié)５.4廣義積分

５.4.1無窮區(qū)間上的廣義積分

５.4.2被積函數(shù)有無窮間斷點的廣義積分

５.4.3內(nèi)容小結(jié)５.4.1無窮區(qū)間上的廣義積分

５.4.2被積函數(shù)有無窮間斷點的廣義積分

５.4.3內(nèi)容小結(jié)

1.無窮區(qū)間上的廣義積分

2.被積函數(shù)有無窮間斷點的廣義積分

５.５定積分在幾何中的應用５.５.1定積分應用的微元法５.５.2用定積分求平面圖形的面積５.５.3用定積分求平行截面面積為已知的立體的體積５.５.4用定積分求平面曲線的弧長５.５.5內(nèi)容小結(jié)５.５.1定積分應用的微元法

５.５.2用定積分求平面圖形的面積

圖５.５.1

圖５.５.2

圖５.５.3圖５.５.4

圖５.５.5

圖５.５.6

圖５.５.7

５.５.3用定積分求平行截面面積為已知的立體的體積

圖５.５.8

圖５.５.9５.５.4用定積分求平面曲線的弧長

圖５.５.10

上式稱為弧微分公式,於是所求的弧長為圖５.５.11

５.５.5內(nèi)容小結(jié)

５.６定積分其他應用舉例５.６.1定積分物理應用５.６.2定積分經(jīng)濟應用問題舉例５.６.3定積分在工程上的應用

５.６.4內(nèi)容小結(jié)

５.６.1定積分物理應用圖5.6.1圖５．６.2

5.6.2定積分經(jīng)濟應用問題舉例

5.6.3定積分在工程上的應用

5.6.4內(nèi)容小結(jié)行列式、矩陣與線性方程組6.1.1二階行列式

利用消元法求解：（當時)

=二元線性方程組(Ⅰ)的解中，分母都是

注意到在。為了便於記憶，引入一個新的記號

來表示，即

定義1我們稱為二階行列式，其中橫排稱為行，縱排稱為列，第列的元素。稱為二階行列式的展開式。二階行列式可按下列方法展開(如圖)：

二階行列式是一個確定的數(shù)，這個數(shù)稱為行列式的值。根據(jù)上述定義，我們記：

方程組（Ⅰ）的解可表示為:稱為二階行列式第行實對角線上兩元素之積取正號，虛對角線上兩元素之積取負號，然後相加就是行列式的展開式。這就是行列式的對角線展開法.⑴

⑵

解：

⑴⑵例1計算下列二階行列式的值：練習P1061(1)(2)解：方程組化為一般形式：因為

所以，方程組的解為：例2解方程組6.1.2三階行列式三元線性方程組的一般形式為：

（Ⅱ）

用消元法同樣可以求解，但解出來的式子較為複雜，現(xiàn)在的電腦數(shù)學工具（如MATLAB）有專門用於解線性方程組的軟體，這裏我們就不再列出（Ⅱ）解的式子。我們仿照二階行式，記：

左邊叫做三階行列式，右邊叫做這個三階行列式的展開式。三階行列式同樣可以用對角線法展開

實線上三數(shù)之積取正號，虛線上三數(shù)之積取負號，然後相加。例3計算行列式的值．

解：

例4展開行列式解：

與二階行列式相似，可用三階行列式來求解三元線性方程組。

引入記號

，其中行列式D是由方程組(Ⅱ)中未知數(shù)的係數(shù)按原來的順序排列而成，叫做方程組的係數(shù)行列式，行列式是以

一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，當D≠0時，方程組(Ⅱ)的解可表示為：分別分別替換行列式D中的第

例5解方程組解：方程組化為一般形式：因為所以，根據(jù)(6-4)式，方程組的解為：練習P1065（3）所以，方程組的解是6.1.3n階行列式注意：（1）餘子式仍是行列式；（2）餘子式是比原行列式低一階的行列式.中，

例如，在行列式定義1

將行列式中第i行第j列的元素所在的行和列的各元素劃去，其餘元素按原來的相對位置次序排成一個新的行列式，這個新的行列式稱為元素的餘子式，記作

。稱為

的代數(shù)餘子式，記作即

有了代數(shù)餘子式的概念，我們?nèi)菀椎玫饺A行列式按第一行元素展開為（＊）若規(guī)定一階行列式

則二階行列式按第一行元素展開為（＊＊）依照上述（＊）、（＊＊）式來定義n階行列式：稱為n階行列式.定義2將

個數(shù)

排成一個正方形數(shù)表，並在它的兩旁各加一條豎線，即當時，規(guī)定一階行列式

；當時，規(guī)定n階行列式

例6計算行列式的值．

解：根據(jù)定義，在n階行列式中，有一類特殊的行列式，它們形如(6-8)

或（6-9）

我們都稱它們?yōu)槿切涡辛惺?，其中?6-8)稱為下三角形行列式，式(6-9)稱為上三角形行列式．三角形行列式的值等於主對角線上各元素的乘積，即四階和四階以上的行列式稱為高階行列式．6.1.4n階行列式的性質(zhì)按定義計算行列式是一種較複雜的運算方法，下麵學習的n階行列式性質(zhì)，能簡化行列式的計算．

性質(zhì)１行列式所有的行與相應的列互換，行列式的值不變，即這個性質(zhì)說明，對於行列式的行成立的性質(zhì)，對於列也一定成立，反之亦然．

我們把行列式D的行與列互換後所得行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記作

性質(zhì)2

行列式的任意兩行（列）互換，行列式僅改變符號．例如,

性質(zhì)3

若行列式中某兩行（列）對應元素相同，則此行列式的值為零．例如,性質(zhì)4

行列式中某行（列）的各元素有公因數(shù)時，可把公因數(shù)提到行列式符號外面．例如，

例7計算下列行列式的值：（１）（２）（２）解

(1)推論１若行列式有一行（列）各元素都是零，則此行列式等於零．推論２若行列式有二行（列）對應元素成比例，則此行列式等於零．例如，小結(jié)

1．二階行列式；

2．三階行列式；

3．n階行列式及其性質(zhì)；

4．用行列式求解二（三）元線性方程組。

性質(zhì)5若行列式某一行（列）的各元素均是兩項之和，則行列式可表示為兩個行列式之和，其中這兩個行列式的該行（列）元素分別為兩項中的一項，而其他元素不變．

例如，

性質(zhì)6將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)K後加到另一行對應位置的元素上，行列式的值變．例如，

性質(zhì)5在行列式的計算中起著重要的作用．運用性質(zhì)時選擇適當?shù)臄?shù)，可以使行列式的某些元素變?yōu)榱悖囱}交替地使用行列式性質(zhì)，將行列式化為三角形行列式，也是計算行列式的值的常用方法．例1計算下列行列式的值：（１）（２）解：

（１）=1×(-4)×5=-20（２）

在n階行列式的定義中，是將行列式按第一行展開的．事實上，n階行列式也可以按任何一行（列）展開．性質(zhì)7（行列式展開性質(zhì)）行列式等於它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)餘子式乘積之和．例如,例2利用性質(zhì)6計算行列式的值.解：

性質(zhì)7行列式某一行（列）的各元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)餘子式的乘積之和等於零．（這樣會有兩行（列）的元素相同）

例如，在三階行列式中，

或練習P1064(1)解法1解法2６．２克萊姆（Cramer）法則

在上一節(jié)的討論中我們知道，二元、三元線性方程組在係數(shù)行列式時方程組有唯一解，並且解可以表示為:二元線性方程組的解是三元線性方程組的解是一．n元線性方程組的解法n元線性方程組，其一般形式為有如下結(jié)論：定理（克萊姆法則）若n元線性方程組的係數(shù)行列式則n元線性方程組有且僅有一個解：例3解線性方程組解因為線性方程組的係數(shù)行列式所以,方程組有唯一解,又因為

其中Dj(j=1,2,…,n)是把D的第j列元素換成方程組的常數(shù)項b1,b2,…bn而得到的n階行列式.由克萊姆法則,得方程組的解為例4某企業(yè)一次投料生產(chǎn)能獲得產(chǎn)品及副產(chǎn)品共四種，每種產(chǎn)品的成本未單獨核算．現(xiàn)投料四次，得四批產(chǎn)品的總成本如下表所示．試求每種產(chǎn)品的單位成本.解：設(shè)Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種產(chǎn)品的單位成本分別為依題意列方程組利用克萊姆法則解這個方程組,得方程組有唯一解:所以,四種產(chǎn)品的單位成本分別為10元,5元,3元,2元.二．齊次線性方程組的解的概念則當係數(shù)行列式D≠0時,方程組有唯一零解:

我們應該知道，解線性方程組，只有在方程組的未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)相等以及方程組的係數(shù)行列式D≠0時，才能應用克萊姆法則．當D=0，或者未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)不相等時，我們可以用矩陣的知識來解決．如果n元線性方程組的常數(shù)項均為零，即

三．小結(jié)四.課外作業(yè)P1081(1)2.行列式的應用——克萊姆法則若n元線性方程組的係數(shù)行列式對於６．３矩陣的概念、運算

前言行列式產(chǎn)生於線性方程組的求解，是線性代數(shù)中的基本概念之一．矩陣(matrix)是由英國數(shù)學家凱萊於1855年作為一個獨立的概念引入數(shù)學中的，矩陣不僅是解線性方程組的重要工具，而且在工程技術(shù)及經(jīng)濟管理中應用廣泛．６．３矩陣的概念、運算矩陣(matrix)不僅是解線性方程組的重要工具，而且在工程技術(shù)及經(jīng)濟管理中也有著極為廣泛的應用．引例某公司銷售四種商品Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它們在第一季度的銷售量分別如表6-1所示：

如果我們把這些數(shù)按原來的行列次序排出一張矩形數(shù)表：

這種矩形數(shù)表在數(shù)學上就叫做矩陣6.3.1矩陣的概念（6-12）

1.定義1由個數(shù)按一定順序排列成的一個行列的矩形數(shù)表:數(shù)稱為矩陣A的第行列元素.

矩陣通常用大寫英文字母Ａ，Ｂ，C,…或,…表示,也可記為或.稱為行列矩陣.記作2.幾種特殊矩陣

當時，

稱為階方陣，簡稱方陣．

當時，稱為行矩陣．當時，稱為列矩陣．(1)方陣(2)行矩陣．(3)列矩陣

(4)零矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記作O

方陣從左上角到右下角的對角線稱為主對角線．除了主對角線上的元素外，其餘元素均為零的方陣稱為對角矩陣，即(5)對角矩陣(6)單位矩陣

如果對角矩陣中主對角線上的元素均為1，其餘元素均為0，則稱之為單位矩陣，記作I，即例如，

00(6)三角矩陣

如果方陣中主對角線左下方的元素均為零，則稱為上三角矩陣，即或

如果方陣中主對角線右上方的各元素均為零,則稱為下三角形矩陣，即上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣.

兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱它們是同型矩陣．

如果是同型矩陣，並且它們的對應元素相等，即

則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B．3.相關(guān)概念

例如,把矩陣Ａ的行換成相應的列所得的矩陣稱為矩陣Ａ的轉(zhuǎn)置矩陣,記作例如，矩陣

的行列式為

由方陣Ａ的元素按原來的次序所構(gòu)成的行列式稱為矩陣Ａ的行列式．記作

思考題:行列式與矩陣有什麼區(qū)別?引例某運輸公司分兩次將某商品（單位：噸）從３個產(chǎn)地運往４個銷地，兩次調(diào)運方案分別用矩陣Ａ與矩陣Ｂ表示：

顯然所求商品運輸量用矩陣表示為

這個例子說明，在實際問題中有時需要把兩個矩陣的所有對應元素相加．這就是矩陣的加法．6.3.2矩陣的運算1.矩陣的加法與減法求該公司兩次從各產(chǎn)地運往各銷地的商品運輸量．銷地產(chǎn)地產(chǎn)地銷地定義2設(shè)矩陣則矩陣

稱為Ａ與Ｂ的和與差，記作

注意:兩個矩陣只有當它們的行數(shù)和列數(shù)都相同(即為同型矩陣)時，才能進行加減運算.

例1已知

求⑴

解:即即

２．數(shù)與矩陣相乘求例2已知矩陣定義3設(shè)矩陣則矩陣稱為數(shù)K矩陣Ａ相乘，簡稱數(shù)乘矩陣，記作kA,解：

例如,練習P1152數(shù)乘矩陣滿足：

⑴交換律：

⑶結(jié)合律：

(注意:k=0與A=0是不同的兩個概念.)⑵分配律：

其中為任意常數(shù)，Ａ、Ｂ均是m行n列矩陣。３．矩陣與矩陣相乘定義4設(shè)矩陣注意:其中稱矩陣

為矩陣A與矩陣B的乘積,記作1.積的元素是矩陣Ａ的第行的元素與矩陣Ｂ的第列對應位置元素乘積之和.2.只有當矩陣Ａ的列數(shù)等於矩陣Ｂ的行數(shù)時，Ａ才能與Ｂ相乘，並且所得結(jié)果的行數(shù)等於矩陣Ａ的行數(shù)，而列數(shù)等於矩陣Ｂ的列數(shù)．

例3已知

求AB.解例如,求AB,BA,AC.解

例4已知

由此可知：(1) 即矩陣乘法不滿足交換律．因此，矩陣Ａ與矩陣Ｂ的乘積常讀作“Ａ左乘Ｂ”或“Ｂ右乘Ａ”，這時我們稱矩陣Ａ為左矩陣，矩陣Ｂ為右矩陣．⑵由不能推出或(3)不能推出，即矩陣乘法不滿足消去律．

例5解

由此說明矩陣與單位矩陣的乘法滿足（注意：這裏兩個I不一樣）矩陣的乘法還滿足

練習

P1153(1)(4)⑴分配律：⑵結(jié)合律：

其中Ａ、Ｂ、Ｃ是矩陣，是k任意常數(shù)．例8某商店主要銷售甲、乙、丙三種商品，其銷售量如表1所示，每件商品銷售價格及銷售利潤如表2所示，試求該商店第二季度三個月的銷售額及銷售利潤各為多少？解：4月份的銷售額為同理可得：5月份的銷售額為28500元，

5月份的利潤為4700元；

6月份的銷售額為35000元，

6月份的利潤為5800元.4月份的利潤為我們將上運算用矩陣表示：第二季度的銷售額第二季度的利潤小結(jié)1.矩陣的定義及性質(zhì)；2.矩陣的運算.課外作業(yè)P1153(2),(5).復習：1.矩陣的概念及幾種特殊的矩陣同型矩陣相等矩陣轉(zhuǎn)置矩陣矩陣Ａ的行列式2.幾個概念3.矩陣的運算(1)矩陣的加減法(2)數(shù)與矩陣相乘(3)矩陣乘法其中６．４逆矩陣及初等變換6.4.1逆矩陣

6.4.2矩陣的初等變換

新課內(nèi)容:6.4.1逆矩陣

根據(jù)矩陣與矩陣的乘積和矩陣相等的定義，n元線性方程組(6-10)可寫成矩陣形式1.線性方程組的矩陣形式記作式(6-13)稱為矩陣方程。

方程組的矩陣形式其中稱為方程組(6-10)的係數(shù)矩陣；稱為未知數(shù)矩陣；

稱為常數(shù)項矩陣．

定義1

設(shè)Ａ是n階方陣，如果存在一個n階方陣Ｃ，使得

否則稱Ａ是不可逆的（或奇異的）．2.逆矩陣的概念

則稱方陣Ａ是可逆的（或非奇異的），並稱Ｃ為Ａ的逆矩陣，簡稱逆陣，記作注意:(1)只有方陣才可能有逆矩陣;可逆矩陣具有如下性質(zhì)：⑴若Ａ可逆，則其逆陣是唯一的．⑵A逆陣的逆陣是A,即

證明：∵

例1設(shè)

驗證

由逆矩陣的概念，對於下列矩陣方程，若Ａ,B可逆，則

3.用伴隨矩陣求逆矩陣其行列式

中各元素

的代數(shù)餘子式為即將

後轉(zhuǎn)置所得的方陣稱為方陣A的伴隨矩陣，記作按的順序排列成方陣，然定義2設(shè)n階方陣有了伴隨矩陣，我們就有了求逆陣的方法了。所以，有以下定理：

定理1（伴隨矩陣法求逆矩陣法）方陣A

可逆的充要條件是

當A可逆時有（1）因為所以Ａ不可逆．

例2判斷下列矩陣是否可逆？若可逆，求其逆陣．

解（2）因為所以Ａ可逆．所以，

又因為例3解矩陣方程

解：方程兩邊同時右乘得：

練習P1212(1)

練習P1212(1)例4利用逆矩陣解線性方程組

解：方程組的係數(shù)矩陣、未知數(shù)矩陣、常數(shù)項矩陣分別為則得到矩陣方程為因為

得到方程組的解為

所以，例4利用逆矩陣解線性方程組

解：方程組的係數(shù)矩陣、未知數(shù)矩陣、常數(shù)項矩陣分別為則得到矩陣方程為因為

所以，得到方程組的解為

回顧例4的求解步驟:6.4.2矩陣的初等變換1.矩陣的初等變換定義3(P119定義7)對矩陣的行(或列)作以下三種變換,稱為初等變換.

⑴換法變換:矩陣的任意兩行（或列）互換位置．（第i行（或列）與第j行（或列）互換，記作⑵倍法變換:用一個不為零的常數(shù)乘矩陣的某一行（或列）．（數(shù)k乘第i行（或列），記作

⑶消法變換:用一個常數(shù)乘矩陣的某一行（或列），再加到另一行（或列）上去.（數(shù)k乘第i行（或列），再加到第j行（或列）上去，記作例如,注意:矩陣在作初等變換時中間不能用等號.2.用初等變換求逆矩陣即

具體方法是將n階方陣Ａ與單位矩陣組成一個長方矩陣，再對這個長方矩陣施行行初等變換，使虛線左邊的Ａ變成單位矩陣，這時虛線右邊的就變成了（這是求逆陣最有效的方法），例5利用初等變換求矩陣的逆矩陣．

解：

所以,練習P1215(2)解所以,小結(jié)1.逆矩陣的定義；2.初等變換;3.逆矩陣的求法:(1)用伴隨矩陣求逆矩陣即課外作業(yè)P1213(2)(2)用初等變換求逆矩陣即定義1(P119定義5)若矩陣Ａ滿足：

⑴零行（即元素全為零的行）在下方，⑵首非零元（即非零行第一個不為零的元素）的列標號隨行標號的增加而嚴格遞增，則矩陣Ａ稱為階梯形矩陣．

例如，

都是階梯形矩陣．6.4.2矩陣的初等變換(續(xù))1.階梯形矩陣、行簡化階梯形矩陣定義2(P119定義5)

若階梯形矩陣Ａ