專題14.2 因式分解（壓軸題專項(xiàng)講練）（人教版）（原卷版）

專題14.2因式分解【典例1】【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c進(jìn)行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1反過來，就得到：a1我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解為a1xc1像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項(xiàng)－6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)－1，于是x2-x-6就可以分解為(x2)(請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2-x-6=【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：（1）2x2+5x-7（2）6x2-7xy+2【探究與拓展】對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=mxpyjnx（1）分解因式3x2+5xy-2（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy-18y（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1【思路點(diǎn)撥】【閱讀與思考】利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【理解與應(yīng)用】（1）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；（2）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【探究與拓展】（1）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可得到答案；（2）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可求解；（3）根據(jù)二元二次多項(xiàng)式的十字相乘法，對(duì)方程進(jìn)行分解因式，化為二元一次方程，進(jìn)而即可求解．【解題過程】解：【閱讀與思考】畫十字交叉圖：∴x2-x-6=x-3x2故答案是：x-3x2；【理解與應(yīng)用】（1）畫十字交叉圖：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）畫十字交叉圖：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究與拓展】（1）畫十字交叉圖：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如圖，∵關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值為：43或－78；（3）∵x2∴x2畫十字交叉圖：∴(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴x+2y+1=0或x+y+1=0，∵x，y為整數(shù)，∴x=－1，y=0是一組符合題意的值．1．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）分解因式：x6-283．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）分解因式：a4-44．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．5．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）因式分解：6x26．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）分解因式：x+y-2xyx+y-2+7．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）分解因式：（1）x2-7x+10（2（3）x2x2-5x-6（5）x23x2+x-2（7）x2-12x2+25x-12（9）x2x2-y（11）x2a2+4a-9b8．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：（1）x2-2x3+16x2（3）x2(x2-x-3)(x2（5）x29．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）因式分解：（1）x2a2-4b2+12bc-9（3）x210．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·七年級(jí)景德鎮(zhèn)一中校考期末）分解因式：（1）3a(b2+9)2-108ab（3）計(jì)算：24+1414+11．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）把下列多項(xiàng)式分解因式：（1）a2+4ab+4b2-ac-2bc（3）a2-b2-12．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：（1）2aa-12-28a2（3）4x3-2x213．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：x14．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：（1）2（2）x15．（2022秋·北京海淀·七年級(jí)清華附中?？计谀┊?dāng)m為何值時(shí)，多項(xiàng)式6x2+mxy-5y216．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：材料1：將一個(gè)形如x2＋px＋q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個(gè)整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣317．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：x（2）分解因式：9m（3）分解因式：4a18．（2022秋·全國·八年級(jí)期末）因式分解與整式乘法互為逆運(yùn)算．如對(duì)多項(xiàng)式x2﹣7x+12進(jìn)行因式分解：首先，如果一個(gè)多項(xiàng)式能進(jìn)行因式分解，則這個(gè)多項(xiàng)式可看作是有兩個(gè)較低次多項(xiàng)式相乘得來的．故可寫成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一組解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像這種能把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法，稱為待定系數(shù)法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），請(qǐng)寫出一組滿足要求的a，b，c的值：．（3）請(qǐng)你運(yùn)用待定系數(shù)法，把多項(xiàng)式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4進(jìn)行因式分解．19．（2023秋·湖北襄陽·八年級(jí)期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式用上述方法無法分解，例如x2x===這種方法叫分組分解法，請(qǐng)利用這種方法因式分解下列