2023年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)振華學(xué)校數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

2023年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)振華學(xué)校數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，為外一點，分別切于點切于點且分別交于點，若，則的周長為（）A． B． C． D．2．如果一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．113．對于反比例函數(shù)，如果當(dāng)≤≤時有最大值，則當(dāng)≥8時，有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值= D．最小值=4．如圖，P是等腰直角△ABC外一點，把BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，使點P′在△ABC內(nèi)，已知∠AP′B＝135°，若連接P′C，P′A：P′C＝1：4，則P′A：P′B＝（）A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：5．關(guān)于的一元二次方程根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．根的情況無法判斷6．如圖，是等邊三角形，點，，分別在，，邊上，且若，則與的面積比為（）A． B． C． D．7．如圖,扇形AOB中,半徑OA＝2，∠AOB＝120°，C是弧AB的中點,連接AC、BC,則圖中陰影部分面積是()A． B．C． D．8．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是A． B． C． D．9．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．10．已知a≠0，下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．a(chǎn)3÷a2＝a D．（a2）3＝a5二、填空題(每小題3分,共24分)11．計算：＝_____．12．如圖，反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，且圖象上的點與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為2，請你在第三象限的圖象上取一個符合題意的點，并寫出它的坐標(biāo)______________．13．若點A(m，n)是雙曲線與直線的交點，則_________．14．已知點是正方形外的一點，連接，，.請從下面A，B兩題中任選一題作答.我選擇_______題:A．如圖1，若，，則的長為_________.B．如圖2，若，，則的長為_________.15．如圖（1），在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點B落在邊AD上，這時折痕與邊AD和BC分別交于點E、點F．然后再展開鋪平，以B、E、F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”．如圖（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)“折痕△BEF”面積最大時，點E的坐標(biāo)為_________________________．16．《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征．在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等．現(xiàn)在我們來研究另一種特珠的自然數(shù)——“純數(shù)”．定義：對于自然數(shù)n，在計算n+(n+1)+(n+2)時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個自然數(shù)n為“純數(shù)”，例如：32是“純數(shù)”，因為計算32+33+34時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位；23不是“純數(shù)”，因為計算23+24＋25時，個位產(chǎn)生了進(jìn)位．那么，小于100的自然數(shù)中，“純數(shù)”的個數(shù)為___________個．17．已知反比例函數(shù)，當(dāng)_______時，其圖象在每個象限內(nèi)隨的增大而增大．18．如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成6個大小相同的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種顏色．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時，當(dāng)作指向右邊的扇形）．轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤后，指針指向_____顏色的可能性大．三、解答題(共66分)19．（10分）將矩形如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，為邊上的一個動點，過點作交邊于點，且，的長是方程的兩個實數(shù)根，且．（1）設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系(不求的取值范圍)；（2）當(dāng)為的中點時，求直線的解析式；（3）在（2）的條件下，平面內(nèi)是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．（6分）如圖，反比例函數(shù)y＝（x＞0）與直線AB：交于點C，點P是反比例函數(shù)圖象上一點，過點P作x軸的垂線交直線AB于點Q，連接OP，OQ．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點P在反比例函數(shù)圖象上運動，且點P在Q的上方，當(dāng)△POQ面積最大時，求P點坐標(biāo)．21．（6分）如圖，在中，點在邊上，點在邊上，且，．（1）求證：∽；（2）若，，求的長．22．（8分）問題探究：（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形則螞蟻爬行的最短路程即為線段的長）（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程．（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．23．（8分）如圖，已如平行四邊形OABC中，點O為坐標(biāo)頂點，點A(3，0)，B(4，2)，函數(shù)（k≠0）的圖象經(jīng)過點C．（1）求反比例的函數(shù)表達(dá)式：（2）請判斷平行四邊形OABC對角線的交點是否在函數(shù)（k≠0）的圖象上．24．（8分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB邊上一點，D是AC邊上一點，且點D不與A、C重合，ED⊥AC．（1）當(dāng)sinB=時，①求證：BE＝2CD．②當(dāng)△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，請給出證明；若不成立．請說明理由．（2）當(dāng)sinB=時，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求線段CD的長．25．（10分）（定義）在平面直角坐標(biāo)系中，對于函數(shù)圖象的橫寬、縱高給出如下定義：當(dāng)自變量x在范圍內(nèi)時，函數(shù)值y滿足．那么我們稱b-a為這段函數(shù)圖象的橫寬，稱d-c為這段函數(shù)圖象的縱高．縱高與橫寬的比值記為k即：．（示例）如圖1，當(dāng)時；函數(shù)值y滿足，那么該段函數(shù)圖象的橫寬為2-（-1）=1，縱高為4-1=1．則．（應(yīng)用）（1）當(dāng)時，函數(shù)的圖象橫寬為，縱高為；（2）已知反比例函數(shù)，當(dāng)點M(1，4)和點N在該函數(shù)圖象上，且MN段函數(shù)圖象的縱高為2時，求k的值．（1）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A點，B點．①若m=1，是否存在這樣的拋物線段，當(dāng)()時，函數(shù)值滿足若存在，請求出這段函數(shù)圖象的k值；若不存在，請說明理由．②如圖2，若點P在直線y=x上運動，以點P為圓心，為半徑作圓，當(dāng)AB段函數(shù)圖象的k=1時，拋物線頂點恰好落在上，請直接寫出此時點P的坐標(biāo)．26．（10分）給出定義，若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．（1）在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；（2）如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求證：△BCE是等邊三角形；②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據(jù)切線長定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，

∴PB=PA=4，

∵CD切⊙O于點E且分別交PA、PB于點C，D，

∴CA=CE，DE=DB，

∴△PCD的周長=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，

故選：C．【點睛】本題考查的是切線長定理的應(yīng)用，切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．2、A【解析】分析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式及外角的特征計算．詳解：多邊形的外角和是360°，根據(jù)題意得：

110°?（n-2）=3×360°

解得n=1．

故選A．點睛：本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式及外角的特征．求多邊形的邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決．3、D【解析】解：由當(dāng)時有最大值，得時，，，反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時，圖象位于第四象限，隨的增大而增大，當(dāng)時，最小值為故選D．4、C【分析】連接AP，根據(jù)同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP＝CP′，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍，代入整理即可得解．【詳解】解：如圖，連接AP，∵BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：4，∴AP＝4P′A，連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，設(shè)P′A＝x，則AP＝4x，∴PP'＝，∴P'B＝PB＝，∴P′A：P′B＝2：，故選：C．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)以及判定，掌握全等三角形的五種判定方法的解本題的關(guān)鍵.5、A【解析】若△＞0，則方程有兩個不等式實數(shù)根，若△=0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若△＜0，則方程沒有實數(shù)根.求出△與零的大小，結(jié)果就出來了.【詳解】解：∵△=，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根【點睛】本題主要考查根的判別式，掌握一元二次方程的根的判別式是關(guān)鍵.6、C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)先判定是等邊三角形，再利用直角三角形中角的性質(zhì)求得，，進(jìn)而求得答案.【詳解】是等邊三角形，，，，∴，，是等邊三角形，，，，，，，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．7、A【解析】試題分析：連接AB、OC，ABOC，所以可將四邊形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB，進(jìn)行求面積，求得四邊形面積是，扇形面積是S=πr2=,所以陰影部分面積是扇形面積減去四邊形面積即.故選A.8、C【分析】如圖作，F(xiàn)N∥AD，交AB于N，交BE于M．設(shè)DE=a，則AE=3a，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.【詳解】如圖作，F(xiàn)N∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四邊形ANFD是平行四邊形，∵∠D=90°，∴四邊形ANFD是矩形，∵AE=3DE，設(shè)DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴，故選C．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．9、D【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、是中心對稱圖形，故此選項正確；故選：D．【點睛】本題考查的知識點是中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的定義是解此題的關(guān)鍵．10、C【分析】結(jié)合選項分別進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方的運算，選出正確答案．【詳解】A、a2和a3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；B、a2?a3＝a5，原式計算錯誤，故本選項錯誤；C、a3÷a2＝a，計算正確，故本選項正確；D、（a2）3＝a6，原式計算錯誤，故本選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方等運算，掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【詳解】解：原式=．故答案為．12、滿足的第三象限點均可，如（-1，-2）【分析】因為過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值，即S=|k|．【詳解】解：∵圖象上的點與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為2，

∴|k|=2，

∴反比例函數(shù)y=的圖象在一、三象限，k＞0，

∴k=2，

∴此反比例函數(shù)的解析式為．∴第三象限點均可，可?。寒?dāng)x=-1時，y=-2綜上所述，答案為：滿足的第三象限點均可，如（-1，-2）【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即過反比例函數(shù)圖象上任意一點向兩坐標(biāo)軸引垂線，所得矩形的面積為|k|．13、5【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出交點坐標(biāo)，得出m，n的值，即可解決本題.【詳解】解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式：，解得：或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，5，故答案為5.【點睛】本題是對反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合考查，熟練掌握反比例函數(shù)及解一元二次方程知識是解決本題的關(guān)鍵.14、A或B【分析】A.連接，證得，然后用勾股定理即可求得答案；B.將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點與點重合，點旋轉(zhuǎn)至點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得，證得，最后用勾股定理即可求得答案.【詳解】A.如圖，連接，四邊形是正方形，，，，，∴，在中，；B.如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點與點重合，點旋轉(zhuǎn)至點，連接、、，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，，，在中，∴，，．故答案為：A或BA.B.【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知的角構(gòu)造直角三角形是正確解答本題的關(guān)鍵．15、（，2）．【詳解】解：如圖，當(dāng)點B與點D重合時，△BEF面積最大，設(shè)BE=DE=x，則AE=4-x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4-x）2+22=x2，∴x=，∴BE=ED=，AE=AD-ED=，∴點E坐標(biāo)（，2）．故答案為：（，2）．【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題），利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．16、1【分析】根據(jù)題意，連續(xù)的三個自然數(shù)各位數(shù)字是0，1，2，其他位的數(shù)字為0，1，2，3時不會產(chǎn)生進(jìn)位，然后根據(jù)這個數(shù)是幾位數(shù)進(jìn)行分類討論，找到所有合適的數(shù)．【詳解】解：當(dāng)這個數(shù)是一位自然數(shù)時，只能是0，1，2，一共3個，當(dāng)這個數(shù)是兩位自然數(shù)時，十位數(shù)字是1，2，3，個位數(shù)是0，1，2，一共9個，∴小于100的自然數(shù)中，“純數(shù)”共有1個．故答案是：1．【點睛】本題考查歸納總結(jié)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意理解“純數(shù)”的定義，總結(jié)方法找出所有小于100的“純數(shù)”．17、【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍即可．【詳解】∵反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)隨的增大而增大∴解得故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的問題，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18、紅【解析】哪一種顏色多，指針指向那種顏色的可能性就大．【詳解】∵轉(zhuǎn)盤分成6個大小相同的扇形，紅色的有3塊，∴轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤后，指針指向紅顏色的可能性大．故答案為：紅．【點睛】本題考查了可能性大小的知識，解題的關(guān)鍵是看清那種顏色的最多，難度不大．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）或；（3）存在．，，．【分析】（1）利用因式分解法解出一元二次方程，得到OA、OB的長，證明△AOE∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系；（2）列方程求出OE，利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答．【詳解】（1），，∴解得，．∵，∴，．∵，∴∠AEO＋∠DEC＝90，又∵∠AEO＋∠OAE＝90，∴∠OAE＝∠CED，又∠AOE＝∠ECD＝90，∴，∴，∴，∴．（2）當(dāng)為的中點時，．∵，∴．解得，．當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，把A（0，8），E（4，0）代入得解得，∴；當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，把A（0，8），E（8，0）代入得解得，∴直線的解析式為或．（3）當(dāng)點F在線段OA上時，F(xiàn)A＝BD＝4，∴OF＝4，即點F的坐標(biāo)為（0，4），當(dāng)點F在線段OA的延長線上時，F(xiàn)A＝BD＝4，∴OF＝12，即點F的坐標(biāo)為（0，12），當(dāng)點F在線段BC右側(cè)、AB∥DF時，DF＝AB＝12，∴點F的坐標(biāo)為（24，4），綜上所述，以A，D，B，F(xiàn)為頂點的四邊形為平行四邊形時，點F的坐標(biāo)為（0，4）或（0，12）或（24，4）．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20、（1）y＝；（2）P（2，2）【分析】（1）點C在一次函數(shù)上得：m＝，點C在反比例函數(shù)上：，求出k即可．（2）動點P（m，），則點Q（m，﹣2），PQ=-+2，則△POQ面積=，利用-公式求即可．【詳解】解：（1）將點C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：m＝，故點C，將點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得k＝4，故反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝；（2）設(shè)點P（m，），則點Q（m，﹣2），則△POQ面積＝PQ×xP＝（﹣m+2）?m＝﹣m2+m+2，∵﹣＜0，故△POQ面積有最大值，此時m＝＝2，故點P（2，2）．【點睛】本題考查反比例函數(shù)解析式，及面積最大值問題，關(guān)鍵是會利用一次函數(shù)求點C坐標(biāo)，利用動點P表示Q，求出面積函數(shù)，用對稱軸公式即可解決問題．21、（1）證明見解析；（1）AB=1．【分析】（1）由題意根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明∽；（1）根據(jù)題意利用相似三角形的相似比，即可分析求解.【詳解】解：（1）證明：∵，.∴.∵∴，∵為公共角，∴∽.（1）∵∽∴∴∴（-1舍去）∴.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠證得∽是解答此題的關(guān)鍵．22、（1）螞蟻爬行的最短路程為1;（2）最短路程為;（3）螞蟻爬行的最短距離為【分析】（1）螞蟻爬行的最短路程為圓柱側(cè)面展開圖即矩形的對角線的長度，由勾股定理可求得；（2）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中的AA′的連線，可求得△PAA′是等邊三角形，則AA′=PA=4；（3）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中點A到PA的距離．【詳解】（1）由題意可知：在中，即螞蟻爬行的最短路程為1．（2）連結(jié)則的長為螞蟻爬行的最短路程，設(shè)為圓錐底面半徑，為側(cè)面展開圖（扇形）的半徑，則由題意得：即是等邊三角形最短路程為（3）如圖③所示是圓錐的側(cè)面展開圖，過作于點則線段的長就是螞蟻爬行的最短路程．在Rt△ACP中，∵∠P=60°，∴∠PAC=30°∴PC=PA=×4=2∴AC==螞蟻爬行的最短距離為【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，圓周長公式，弧長公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)公式和性質(zhì)定理是本題的解題關(guān)鍵．23、（1）y＝；（2）平行四邊形OABC對角線的交點在函數(shù)y＝的圖象上，見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)結(jié)合點的坐標(biāo)特征先求得點C的坐標(biāo)，繼而求得答案；（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求得對角線交點的坐標(biāo)，再判斷.【詳解】（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，A（3，0），∴CB＝OA＝3，又CB∥x軸，B（4，2），∴C（1，2），∵點C（1，2）在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上，∴k＝xy＝2，∴反比例的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝；（2）∵四邊形OABC是平行四邊形，∴對角線的交點即為線段OB的中點，∵O（0，0），B（4，2），∴對角線的交點為（2，1），∵21=2=k，∴平行四邊形OABC對角線的交點在函數(shù)y＝的圖象上．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24、（1）①證明見解析；②BE＝2CD成立.理由見解析；（2）2或4．【分析】（1）①作EH⊥BC于點H，由sinB=可得∠B=30°，∠A=60°，根據(jù)ED⊥AC可證明四邊形CDEH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得EH=CD，根據(jù)正弦的定義即可得BE＝2CD；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差關(guān)系可得∠CAD＝∠BAE，根據(jù)=可證明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得BE=2CD；（2）由sinB=可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根據(jù)ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如圖，分兩種情況討論，通過證明△ACD∽△ABE，求出CD的長即可.【詳解】（1）①作EH⊥BC于點H，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠C＝90°，∴四邊形CDEH是矩形，即EH=CD.∴在Rt△BEH中，∠B=30°∴BE＝2EH∴BE＝2CD.②BE＝2CD成立．理由：∵△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，∴，∴△ACD∽△ABE，∴，又∵Rt△ABC中，＝2，∴＝2，即BE＝2CD.（2）∵sinB=，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，∠DEB＝90°，分兩種情況：①如圖所示，過A作AF⊥BE于F，則∠F＝90°，當(dāng)∠DEB＝90°時，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四邊形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝2，∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，∴Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF﹣EF＝4，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC：AB＝1：，AD：AE＝1：，∴，∴△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝2；②如圖所示，過A作AF⊥BE于F，則∠AFE＝∠AFB＝90°，當(dāng)∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四邊形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝2，又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，∴Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF+EF＝8，又∵△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝4，綜上所述，線段CD的長為2或