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文檔簡介
甘肅省永昌縣第四中學2024屆數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.的展開式中的系數(shù)為()A. B. C. D.2.要得到函數(shù)的導函數(shù)的圖像,只需將的圖像()A.向右平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍B.向右平移個單位長度,再把各點的縱坐標縮短到原來的倍C.向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標縮短到原來的倍D.向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍3.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.4.在中所對的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.5.設過定點的直線與橢圓:交于不同的兩點,,若原點在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.6.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內(nèi)的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95447.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.8.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點,過的直線交于、兩點,為坐標原點,若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.9.下列不等式正確的是()A. B.C. D.10.若,則的虛部是A.3 B. C. D.11.已知函數(shù),若恒成立,則滿足條件的的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.312.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項和為,且成等差數(shù)列,,數(shù)列的前項和為,則滿足的最小正整數(shù)的值為______________.14.有以下四個命題:①在中,的充要條件是;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點的充要條件是;③對于函數(shù),若,則必不是奇函數(shù);④函數(shù)與的圖象關于直線對稱.其中正確命題的序號為______.15.已知多項式滿足,則_________,__________.16.過直線上一動點向圓引兩條切線MA,MB,切點為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在中,點在上,,,.(1)求的值;(2)若,求的長.18.(12分)已知中,角所對邊的長分別為,且(1)求角的大??;(2)求的值.19.(12分)在平面直角坐標系中,將曲線(為參數(shù))通過伸縮變換,得到曲線,設直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點,.(1)若,求線段的中點的坐標;(2)設點,若,求直線的斜率.20.(12分)已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,,直線過點,且與拋物線交于,兩點.(1)求拋物線的方程及點的坐標;(2)求的最大值.21.(12分)如圖,在長方體中,,為的中點,為的中點,為線段上一點,且滿足,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題意,根據(jù)二項式定理展開式的通項公式,得展開式的通項為,則展開式的通項為,由,得,所以所求的系數(shù)為.故選C.點睛:此題主要考查二項式定理的通項公式的應用,以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運算等有關方面的知識與技能,屬于中低檔題,也是??贾R點.在二項式定理的應用中,注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù),先求出通項公式,再根據(jù)所求問題,通過確定未知的次數(shù),求出,將的值代入通項公式進行計算,從而問題可得解.2、D【解析】
先求得,再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識,選出正確選項.【詳解】依題意,所以由向左平移個單位長度,再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到的圖像.故選:D【點睛】本小題主要考查復合函數(shù)導數(shù)的計算,考查誘導公式,考查三角函數(shù)圖像變換,屬于基礎題.3、C【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當時,且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當時,且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用,由分段函數(shù)解析式求自變量.4、D【解析】
直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎題.5、D【解析】
設直線:,,,由原點在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點睛】本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關系式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.6、C【解析】
根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉(zhuǎn)化為,結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎題.7、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因為,所以為奇函數(shù),排除選項A,B;因為時,,所以排除選項C,選D.點睛:有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復.8、D【解析】
作出圖象,取AB中點E,連接EF2,設F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進而得到e的值【詳解】解:取AB中點E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點睛】本題考查雙曲線定義的應用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題,關鍵是列出含有中兩個量的方程,有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理,從而求出離心率.9、D【解析】
根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項,又由,所以.故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對數(shù)的比較大小問題,其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.10、B【解析】
因為,所以的虛部是.故選B.11、C【解析】
由不等式恒成立問題分類討論:①當,②當,③當,考查方程的解的個數(shù),綜合①②③得解.【詳解】①當時,,滿足題意,②當時,,,,,故不恒成立,③當時,設,,令,得,,得,下面考查方程的解的個數(shù),設(a),則(a)由導數(shù)的應用可得:(a)在為減函數(shù),在,為增函數(shù),則(a),即有一解,又,均為增函數(shù),所以存在1個使得成立,綜合①②③得:滿足條件的的個數(shù)是2個,故選:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù),重點考查了分類討論的數(shù)學思想方法,屬難度較大的題型.12、B【解析】試題分析:由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數(shù)考點:交集及其運算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
本題先根據(jù)公式初步找到數(shù)列的通項公式,然后根據(jù)等差中項的性質(zhì)可解得的值,即可確定數(shù)列的通項公式,代入數(shù)列的表達式計算出數(shù)列的通項公式,然后運用裂項相消法計算出前項和,再代入不等式進行計算可得最小正整數(shù)的值.【詳解】由題意,當時,.當時,.則,.,,成等差數(shù)列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.滿足的最小正整數(shù)的值為1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列求通項公式、裂項相消法求前項和,考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想,考查了不等式的計算、邏輯思維能力和數(shù)學運算能力.14、①【解析】
由三角形的正弦定理和邊角關系可判斷①;由零點存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②;由,結(jié)合奇函數(shù)的定義,可判斷③;由函數(shù)圖象對稱的特點可判斷④.【詳解】解:①在中,,故①正確;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點,比如在存在零點,但是,故②錯誤;③對于函數(shù),若,滿足,但可能為奇函數(shù),故③錯誤;④函數(shù)與的圖象,可令,即,即有和的圖象關于直線對稱,即對稱,故④錯誤.故答案為:①.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點存在定理和對稱性、奇偶性的判斷,考查判斷能力和推理能力,屬于中檔題.15、【解析】∵多項式滿足∴令,得,則∴∴該多項式的一次項系數(shù)為∴∴∴令,得故答案為5,7216、.【解析】
先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時最小為圓心到直線的距離,此時,因為,所以,所以的概率為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,及與長度有關的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)由兩角差的正弦公式計算;(2)由正弦定理求得,再由余弦定理求得.【詳解】(1)因為,所以.因為,所以,所以.(2)在中,由,得,在中,由余弦定理可得,所以.【點睛】本題考查兩角差的正弦公式,考查正弦定理和余弦定理,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,以及兩角和的正弦公式展開,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)構(gòu)造齊次式,利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,得到,結(jié)合余弦定理得到【詳解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因為得∵∴.(2)∵又由余弦定理,得∴【點睛】1.考查學生對正余弦定理的綜合應用;2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問題;3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角,屬于中檔題19、(1);(2).【解析】
(1)由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點參數(shù)和,再利用M點的參數(shù)為A、B兩點參數(shù)和的一半即可求M的坐標;(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到,再利用計算即可,但要注意判別式還要大于0.【詳解】(1)由已知,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其普通方程為,當時,將(為參數(shù))代入得,設直線l上A、B兩點所對應的參數(shù)為,中點M所對應的參數(shù)為,則,所以的坐標為;(2)將代入得,則,因為即,所以,故,由得,所以.【點睛】本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識,考查學生的計算能力,是一道中檔題.20、(1),;(2)1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;(2)設直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【詳解】(1)∵點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,P(2,y0)是拋物線上一點,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x,∵點P(2,n)(n>0)在拋物線C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴設直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是y2+4my﹣4=0的兩個不同實根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2)+4=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8=﹣8m2+8m+5=﹣8(m)2+1.∴當m時,取最大值1.【點睛】本題考查拋物線方程的求法,考查向量的數(shù)量積的最大值的求法,考查拋物線、直線方程、韋達定理等基礎知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)解法
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