重慶市部分區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市部分區(qū)2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分．試題卷總頁(yè)數(shù)：4頁(yè)．2．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效．3．需要填涂的地方，一律用2B鉛筆涂滿涂黑．需要書(shū)寫(xiě)的地方一律用0.5mm簽字筆．4．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，直線的方程可化為，所以斜率為，因?yàn)?，所?故選：B.2.直線l：與圓C：的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.都有可能【答案】A【解析】【分析】利用圓心到直線的距離與半徑比較大小可得答案.【詳解】圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，直線l的方程為，圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.故選：A3.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則m的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】找到橢圓的右焦點(diǎn)，利用的準(zhǔn)線過(guò)焦點(diǎn)，即可求解.【詳解】解：橢圓的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，可得，解得．故選：A．4.如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)．設(shè)，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算直接得解.【詳解】由是的中點(diǎn)，可知，所以，故選：D.5.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用兩直線平行的充要條件得出與平行時(shí)的值，而后運(yùn)用充分必要條件的知識(shí)來(lái)解決即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行.當(dāng)與平行時(shí)可得：，解得或.若時(shí)，由上可得與平行當(dāng)時(shí)，，,此時(shí)兩直線重合.所以當(dāng)與平行時(shí)，故“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：C6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱(chēng)之為“三角垛”．其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第三十六層球的個(gè)數(shù)為（）A.561 B.595 C.630 D.666【答案】D【解析】【分析】通過(guò)前幾層小球的個(gè)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)果.【詳解】由題意，第一層個(gè)球，第二層個(gè)，第三層個(gè)，第四層個(gè)，據(jù)此規(guī)律，第三十六層有小球個(gè).故選：D7.與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）A.橢圓上 B.雙曲線的一支上 C.拋物線上 D.圓上【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，判斷出兩圓的位置關(guān)系，再利用與兩圓都外切的位置關(guān)系得出圓心距離所滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義即可得出答案.【詳解】設(shè)所求圓的半徑為，圓心為，圓：的圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓心，半徑，因?yàn)?，所以兩圓相離，由題意可得，兩式相減得，所以圓心在雙曲線的一支上.故選：B.8.已知，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，與在第一象限的交點(diǎn)為P，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的定義表示出，利用中位線定理找到,的關(guān)系，再結(jié)合，借助勾股定理進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)題意:設(shè)，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，則由橢圓及雙曲線定義可得：，又因?yàn)?，且分別為，的中點(diǎn)，所以,所以到漸近線的距離為，所以，，結(jié)合，可得：①因?yàn)椋约?，整理得：，將①代入，，所?故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間向量，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；又，所以，故D正確；故選：AD10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4C.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則的最小值為5D.若Q為線段MN中點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)可以是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程即可判斷AB；過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，根據(jù)拋物線得定義結(jié)合圖象即可判斷C；假設(shè)Q的坐標(biāo)是，利用點(diǎn)差法求出直線的方程，再判斷焦點(diǎn)是否在直線上，即可判斷D.【詳解】由題意，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)Q的坐標(biāo)是，設(shè)，則，由直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，得，兩式相減得，即，所以，即，所以直線的方程為，即，將代入得，所以直線過(guò)點(diǎn)，符合題意，所以Q的坐標(biāo)可以是，故D正確.故選：BD.11.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列不是等比數(shù)列C.D.中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】由已知得出是以2為公比的等比數(shù)列，表示出和，再分別判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】由得，，所以是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為，故A正確；所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，顯然，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，且，假設(shè)存在能構(gòu)成等差數(shù)列，則，則有，即，所以，因?yàn)椋?，與矛盾；假設(shè)存在能構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，則，即，顯然當(dāng)時(shí)無(wú)解，所以中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等差數(shù)列，故D正確；故選：ABD．12.過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的射線與圓O：分別交于，兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)可能的取值是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】【分析】作出圖像，取中點(diǎn)為，連接，，，則，在中，由和得，設(shè)，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由點(diǎn)的軌跡方程，即可求得的范圍，進(jìn)而得出的范圍．【詳解】由圓方程得，圓心為，半徑為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的射線，與圓O分別交于，兩點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)為，連接，，，則，，如圖所示，在中，，由得，，設(shè)點(diǎn)，則，，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)圓心為,因?yàn)?，所以點(diǎn)在內(nèi)部，①當(dāng)最大時(shí)，；②當(dāng)最小時(shí)，；所以，則，所以的取值可以為，故選：D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫(xiě)出一個(gè)離心率為且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程______．【答案】（答案不唯一）；【解析】【分析】由雙曲線的離心率可得，即可得出答案.【詳解】由，所以，即，又因?yàn)椋?，則，取，所以離心率為且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（答案不唯一）；故答案為：（答案不唯一）.14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取得最大值時(shí)的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，再結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性可得解.【詳解】由已知數(shù)列為等差數(shù)列，則，又，所以，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：.15.已知直線l：經(jīng)過(guò)橢圓C：的左焦點(diǎn)，且與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為16，則此橢圓的短軸長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】確定，根據(jù)周長(zhǎng)確定，得到答案.【詳解】直線l：經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則，，的周長(zhǎng)為，解得，故，橢圓的短軸長(zhǎng)為.故答案為：.16.在中，，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，沿將折起形成直二面角，當(dāng)最短時(shí)，______，此時(shí)三棱錐的體積為_(kāi)_____．【答案】①.②.【解析】【分析】首先作出圖形，在平面內(nèi)作于，連接，則平面，，表示出，即可得出當(dāng)最短時(shí)的值，結(jié)合平面圖形，即可求得和三棱錐的體積．【詳解】如圖，在平面內(nèi)作于，連接，因?yàn)闉橹倍娼?，所以平面，又平面，所以，所以，設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，當(dāng)時(shí)，原平面圖形如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，即，設(shè)，由得，，即，解得，所以；所以，則，則故答案：；．四、解答題：本題共有6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，在正方體中，．（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，求得兩直線的方向向量坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算數(shù)量積為，從而可證；（2）求得和平面的法向量，利用點(diǎn)面距離的向量公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．∵，，，，∴，，∴，∴；小問(wèn)2詳解】∵，，∴，設(shè)面的法向量為，∵，，∵，，∴，令，則，，∴，設(shè)到面的距離為d，∴.18.已知是等差數(shù)列，是公比大于0的等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，且，，，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由是公比大于0的等比數(shù)列及，求出公比，由等差數(shù)列下標(biāo)和定理結(jié)合求出，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式及，求出公差即可得出通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和，結(jié)合等差等比前項(xiàng)和公式計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為d，的公比為．∵，，∴，解得或，∵，∴，∴，∵，∴，∵∴，∴，故，．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，∴．19.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后與圓相切，求反射光線所在直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，代入的坐標(biāo)即可求解；（2）先作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出過(guò)有兩條直線與圓相切，分兩種情況討論即可求解．【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，所以圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】圓的方程可化為，因?yàn)殛P(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，設(shè)切線為直線，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，則過(guò)有兩條直線與圓相切；①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，則設(shè)直線：，即，則圓心到的距離，解得，所以直線：；②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線：，綜上可得反射光線所在直線或．20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E點(diǎn)在AD上，且．（1）求證：平面平面PAC；（2）若直線PC與平面PAB所成的角為45°，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明即可；（2）由題意可得以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問(wèn)2詳解】∵，且，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，取BC中點(diǎn)G，連接AG，∴，即，由（1）可得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系由（1）可得，平面，∴為直線PC與平面所成角，即設(shè)平面的法向量為∵，∵，，∴，令，則，，∴∵x軸⊥平面，∴平面的法向量，設(shè)為二面角的平面角，且為銳角，∴.21.已知數(shù)列滿足，，______，．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線上，并完成下面問(wèn)題．（注：如果兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分）．（1）寫(xiě)出，；（2）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）由數(shù)列的前幾項(xiàng)，結(jié)合所選的條件寫(xiě)出，；（2）結(jié)合所選的條件和數(shù)列的遞推，定義法證明為等比數(shù)列，利用首項(xiàng)和公比求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）結(jié)合所選的條件和數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，使用并項(xiàng)求和法求前2n項(xiàng)和．【小問(wèn)1詳解】數(shù)列滿足，，，，，，選擇①，，；選擇②，，.【小問(wèn)2詳解】選擇①，證明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，∴.選擇②證明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，∴.【小問(wèn)3詳解】選擇①，由（2）可得，∴∴，∴令∴選擇②，由（2）可得，由累加法可得，，∴，∴，∴，令，∴.22.已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)