2024屆河北省邢臺市高三上學期期中考試數(shù)學試題及答案

數(shù)學試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合AB{x|x，則下圖中陰影部分所表示的集合為（）21A.C.B.D.1,21,0i)z2z（2.已知，則）A.10B.2C.10D.413113c，3已知，b，則（）a3132eA.acbB.cabC.abcD.cba3baba2,1b4.已知向量，，，則實數(shù)k的值為（）9941A.B.C.D.14fxm2m3a,bR上單調(diào)遞減，若，且m2m1x5.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在a0b,ab的值（fafb，則）A.恒大于0C.等于0B.恒小于0D.無法判斷1x)xm0，6.若命題“對任意的恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（）xm|mm|m2A.C.B.D.m|mm|m第1頁/共6頁x3sinxy7.函數(shù)的大致圖像是（）e|x|A.B.D.C.π6πfxsinx8.將函數(shù)0的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像關于軸對稱，且y6π上單調(diào)遞增，則函數(shù)在的取值是（）fx61232A.B.2C.D.1二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）的前項和為，且Sn0，則下列結論正確的是（）anS30S319.設等差數(shù)列nSn150nA.C.B.是等差數(shù)列160SSD.對任意nN，都有n15*10.設是定義在R上的奇函數(shù)，且fx在上單調(diào)遞減，，則（）fxf70A.在fx上單調(diào)遞增,0f80B.的解集為7fx,70C.不等式D.的圖象與x軸只有3個交點fxx222,x1fx11.已知函數(shù)有四個不等實根xfx,若關于的方程mx1、x2、3、x1,x12，則下列結論正確的是（）xx23x414312B.A.1m2第2頁/共6頁14xx0D.x21x22logm2的最小值為10C.34BCCD，以AD為斜邊向外作等腰直12.如圖，在中，1，延長BC到點D，使得角三角形ADE，則（）A.AD54B231sinCAD,B.22面積的最大值為1C.ACD2525D.四邊形ACDE面積的最大值為4第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）a2x,x213.已知函數(shù)fx是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________.axx21e1ex1214.已知函數(shù)fxf2mfnf0m0，n0的最小值為______．xmnx,y,zRx2y2z5(x2(y2(z215.已知，且，則的最小值是______g(xf(2，16.已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，f(x)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，2023g(x2)f(x)1gi)________.，則i1四?解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）n1的前項和為，且aSnn17.已知數(shù)列n.n2nn2S（1）求；n第3頁/共6頁1bnb的前n項和n.n（2）若，求數(shù)列Sn1gxx(aa18.已知gx的圖象過點2，又.fxgx，且a（1）若f3xfx5成立，求x的取值范圍；x1,4，不等式f2xgm0恒成立，求實數(shù)m（2）若對于任意x4的取值范圍.fxab1x2x2a3,sinbsinx,2sin（其中0119.已知向量，π的圖象的一條對稱軸是直線fx．x2（1）求的值；π343323π80ff（2）若且，求的值．32AB2C20.在銳角三角形中，內(nèi)角,B,C的對邊分別為a,b,c，且.aba（1）求角B的大??；（2）若b23，求面積的取值范圍.21.為了改善湖泊的水質(zhì)，某市環(huán)保部門于2021年年終在該湖泊中投入一些浮萍，這些浮萍在水中的繁殖速度越來越快，2022年2月底測得浮萍覆蓋面積為360m2，2022年3月底測得浮萍覆蓋面積為480m2，yxx浮萍覆蓋面積m22022年的月份y(kayn(m0)2與可供選擇．（1）分別求出兩個函數(shù)模型的解析式；（2）若2021年年終測得浮萍覆蓋面積為200m2，從上述兩個函數(shù)模型中選擇更合適的一個模型，試估算lg20.30,lg30.48至少到哪一年的幾月底浮萍覆蓋面積能超過8100m2？（參考數(shù)據(jù)：）是等差數(shù)列，4．a(chǎn)a255a322.已知n2n1（1）求的通項公式和aa．in1i2n（2）已知為等比數(shù)列，對于任意kN*，若2k1n21，則babknk1，bnk第4頁/共6頁k22時，求證：k1bk21；（Ⅰ）當k（Ⅱ）求的通項公式及其前項和．bnn第5頁/共6頁數(shù)學試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合AB{x|x，則下圖中陰影部分所表示的集合為（）21A.C.B.D.1,21,0【答案】D【解析】ARBARB【分析】陰影部分表示的集合為【詳解】陰影部分表示的集合為，根據(jù)補集、交集定義進行即可.，eBx|x，又RAeB1,2.所以R故選：D.i)z2z（2.已知，則）A.10B.2C.10D.4【答案】C【解析】z【分析】利用復數(shù)的除法運算求出再求模長可得答案.21i21i1i1i24z3i【詳解】，2z10則.故選：C.第1頁/共20頁131e13c3.已知，b，，則（）a3132A.acb【答案】A【解析】B.cabC.abcD.cbaabc【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，對比出、、三者與特殊值0、1的大小關系，運用中間值法解決問題.【詳解】解：因為函數(shù)y3x為單調(diào)遞增函數(shù)，1a1所以因為1，即；a3330ylog2x為單調(diào)遞增函數(shù)，1所以blog210，即b0；23ylog1x因為所以單調(diào)遞減，3113log11log1log1，e333即0c1，故acb，故選：A.，則實數(shù)k的值為（b3bab，a2,14.已知向量，）9941A.B.C.D.14【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示計算即可.kab2kk3,ab2【詳解】由題意可得：，9432k12k30k所以.故選：Bfxm2m3a,bR上單調(diào)遞減，若，且m2m1x5.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在a0b,ab的值（fafb，則）A.恒大于0B.恒小于0第2頁/共20頁C.等于0【答案】B【解析】D.無法判斷【分析】由冪函數(shù)的定義與性質(zhì)求得函數(shù)解析式，確定其是奇函數(shù)，然后利用單調(diào)性與奇偶性可判斷.m11得m2或m1，【詳解】由m2m2時，f(x)x3在R上是增函數(shù)，不合題意，()fxx3，在(0,)上是減函數(shù)，滿足題意，m1時，所以()fxx3，a0b,ab，則ba0f(a)fb)f(x)x3f(a)f(a)是奇函數(shù)，因此，，，f(a)fb)f(a)fb)0，所以故選：B.6.若命題“對任意的，即1x)xm0，恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（）xm|mm|m2A.C.B.D.m|mm|m【答案】A【解析】1mx【分析】根據(jù)原命題為真可得，即可得出命題為假命題時m的取值范圍．x1111xmxyx2xmx，【詳解】當原命題為真時，恒成立，即xxx由命題為假命題，則m2．故選：A.x3sinxy7.函數(shù)的大致圖像是（）e|x|A.B.第3頁/共20頁C.D.【答案】A【解析】π【分析】首先由函數(shù)的奇偶性判斷出B,D錯誤，再結合當xy0時得出答案．2x3sinxf(x)yx3sinxxR，【詳解】設，e|x|f(x)f(x)由，得f(x)為奇函數(shù)，故B,D錯誤；e|x|πππ3sin3π222由f()=0，故A正確，C錯誤，2ππ||e2e2故選：A．π6πfxsinx8.將函數(shù)0的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像關于軸對稱，且y6π上單調(diào)遞增，則函數(shù)在的取值是（）fx61232A.B.2C.D.1【答案】B【解析】ππππZ，從而求出【分析】首先得到平移后的解析式，根據(jù)對稱性得到，k662π，結合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，即可得解.x由的取值范圍求出x6π6πππ6fxsinx【詳解】gxsinx的圖像向左平移個單位長度后，得到，66πππππgxsinyπ26k，解得，xkZ，kZ因為關于軸對稱，所以6，6662πxπππ6π因為0，故當時，x,，6666πππππ，解得0,2因為函數(shù)在，fx,上單調(diào)遞增，所以666621326k2，解得k,0k0，故2.故，因為kZ，所以第4頁/共20頁故選：B二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）的前項和為，且Sn0，則下列結論正確的是（）anS30S319.設等差數(shù)列nSn150nA.C.B.是等差數(shù)列160SSD.對任意nN，都有n15*【答案】ABD【解析】Snn(ndan}的公差為，根據(jù)d1【分析】設等差數(shù)列可判斷選項B；利用2aa)S10S0，a016a0a0C可判斷選項C，1630152可判斷選項D．n(ndSnn(ndan}的公差為dSna1【詳解】設等差數(shù)列，則，得，n122Sn1n1Snnnd(nddSnnd11，所以{}是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，選項B正確；2222aa)S10a160，選項C錯誤；，即230(aa)S3013015(aa)0a160a0，所以，A正確，15,由于15162a0a0n15SSS時，取得最大值，故對任意nN，恒有，選項D正n15*因為確．，，所以當1516n故選：ABD10.設是定義在R上的奇函數(shù)，且fx在上單調(diào)遞減，，則（）fxf70A.在fx上單調(diào)遞增,0f80B.fx解集為,770的C.不等式D.的圖象與x軸只有3個交點fx【答案】BCD【解析】第5頁/共20頁【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷作答.【詳解】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且fx在上單調(diào)遞減，fx函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯誤；fx,0由f70f7，則0f8f(7)0，B正確；，得當x0時，fxf(7)，則fx，當x0時，，則x7f(7)0x7，因此不等式fx0的解集為，C正確；,70,7當x0時，函數(shù)的圖象交x軸于點fxfx的圖象交x軸于點(7,0)，當x0時，函數(shù)，(f(0)0fxfx是函數(shù)的圖象與x軸的公共點，所以的圖象與軸只有3個交點，Dx而，則點正確.故選：BCDx222,x1fx11.已知函數(shù)有四個不等實根fxx1、x2、3mx,若關于的方程、x1,x12，則下列結論正確的是（）xx23x414312A.1m2B.14xx0D.x2x22logm2的最小值為10C.341【答案】AD【解析】【分析】作出圖象，計算出、f1的值，結合圖象可判斷A選項；解不等式f21fx21,214，可判斷B選項；由對數(shù)的運算性質(zhì)可得出1，求出31的取值范131x2圍，結合雙勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；利用韋達定理結合基本不等式可判斷D選項.x222,x1fx【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：x1,x12第6頁/共20頁根據(jù)圖象知：f2，f，21ym的圖象有四個交點，則1fxm2，A對；因為直線與函數(shù)fx2x222可得01221，對于B選項，由圖可知，12，由11所以，312，B錯；130x0x11x1對于C選項，由圖可知，，則，434xxxx，2324f3f4由得，即232411x14x，化簡得到41.所以，31311412fxx11,2由3，可得31，321114344314315，所以，313111,gx4x由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知在42上單調(diào)遞減，x1143154251，所以，3121134x154450x3且，當時取等號，3314414xx0所以，由2x22m可得，C錯；342x4x4log2m0，xx2x4x4log2m0所以，、為方程的兩根，12xx412由根與系數(shù)的關系可得，xx4m122第7頁/共20頁122logm2xx22xx21682m2x21所以，1212m2m2112log2m822log2m810，22m2log2m12log2m當且僅當時，即當m2時等號成立，D對.2log2m故選：AD.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.BCCD，以AD為斜邊向外作等腰直12.如圖，在中，1，延長BC到點D，使得角三角形ADE，則（）A.AD54B231sinCAD,B.22面積的最大值為1C.ACD2525D.四邊形ACDE面積的最大值為4【答案】ACD【解析】【分析】A選項：利用余弦定理列等式即可；B選項：由題意得的范圍，即可得到sinACD的范圍；C選項：根據(jù)幾何的知識得到當CD時，S最大，利用三角形面積公式求面積即可；ACD第8頁/共20頁541D選項：將四邊形ACDE的面積轉(zhuǎn)化成式和三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】在△ABDS，得到面積BsinB，再利用輔助角公2中，由余弦定理得AD2AB2BD22BDB54B，正確；AπBπBπACBCAB,ACDπACB,π，則2222CAD，所以sinCAD，B錯誤；21SCDSBADSACD1S易得當時，取最大值，C正確；CAD22AD215sinBB42421252515152555sinB12sinB12，其中sin,22，24445D正確．故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）a2x,x213.已知函數(shù)fx是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________.ax2x【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)兩端均為增函數(shù)及端點處函數(shù)值左小右大可得．【詳解】函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，fxfx故a20a2，在上單調(diào)遞增，則，fx,2a1212a21a3且在x2處，有a，所以a的取值范圍是.故答案為：.第9頁/共20頁1e1exx1214.已知函數(shù)fxf2mfnf0m0，n0的最小值為______．mn【答案】8【解析】2mn1fx得到結果.1e1exx21e【詳解】因為fx的定義域為R，關于0對稱，且單調(diào)遞減，1xex1xxex11e1eex且fx，即函數(shù)為奇函數(shù)，fxfx1ex1exex1e1e000，所以，f2mfn1f00又因為f02mn10，所以2mn1，即則1212n4mn4m2mn4248，mnmnmnmn141n4mm當且僅當mn時，即，取等號.2mn1n2128的最小值為.所以mn故答案為：8x,y,zRx2y2z5(x2(y2(z的最小值是______215.已知，且，則【答案】36【解析】9[x52y12z3]3242【分析】應用柯西不等式可得，注意等號成立條件，即可得目標式的最小值.22222【詳解】由x5y1z31222y12z3x522324，第10頁/共20頁x3x5y1z3所以x52y12z32y3時取等號．z136，當且僅當，即122故答案為：36g(xf(2，16.已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，f(x)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，2023g(x2)f(x)1gi)________.，則i1【答案】2023【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得fx2fx，進而可得函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，且，進而可得結果fxfx1fx2fx30.g(xg(xg(x，【詳解】因為為偶函數(shù)，則g(xf(x1g(xf(x1，g(x2)f(x)1又因為，則，f(x1f(x1f(xf(x，即，可得f(0)0，且，因為f(x)為奇函數(shù)，則f(x)fx可得f(xfx，即fx1，則，fx1fx2fxfx4fx2fxfx，可得所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，fx2fx，可得fx2fx由，0，0fx3fx1f1f10，則fxfx1fx2fx30即，202320232023fi2)1f0f120232023.gi)fi2)2023f1所以i1i1i1故答案為：2023.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．四?解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）n1的前項和為，且aSnn17.已知數(shù)列n.n2nn2第11頁/共20頁S（1）求（2）若；n1bnb的前n項和n.n，求數(shù)列Sn1Snn2n1【答案】（1）nTn（2）2n4【解析】1）分為n2，n1兩種情況，結合等差數(shù)列前n項和公式求解；（2）利用裂項相消法可求n.【小問1詳解】n162n25n1n4n2n1.當n2時，S5n2當n1時，Sa5，也適合上式.11Snn2n1.故【小問2詳解】11111n2bn由（1）可得，n2322nnnn111123341111nTbbb則.n12nn1n22n22n4gxx(aa18.已知gx圖象過點2，又.fxgx，且a（1）若f3xfx5成立，求x的取值范圍；x1,4，不等式f2xgm0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.（2）若對于任意x413,【答案】（1）3294m（2）【解析】第12頁/共20頁3x10x501）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，解不等式即可得出答案.3x1x5x（2）由題意可得對于任意x1,4恒成立等價于mf2xg4，利用換元法求出x4f2xg即可得出答案.【小問1詳解】gxx(aa因為的圖象過點2，ag442所以，所以a24，因為aa1，a2fxgxxx所以a2，所以gxlog2x，又因為，12fx1x而在上單調(diào)遞減，2f3x1fx5可得：由3x11332x5x,所以解得，3x1x13,x所以的取值范圍為.32【小問2詳解】x4因為m0，f2xgx4x4mf2xg對于任意x4恒成立等價于mf2xg所以因為，xxyf2xg2x2244xx2log2x2x2.222ulog2x,1x4，則u0,2令，1229yu2u2u，所以4第13頁/共20頁121294當u，即log2x，即x2時，y，9m所以.4fxab1xx2a3,sinbsinx,2sin（其中0119.已知向量，2π的圖象的一條對稱軸是直線fx．x2（1）求的值；π34323π80ff（2）若且，求的值．32323【答案】（1）2210（2）3【解析】1）由題意可得的解析式，由對稱軸列式求解即可；fx2ππ23π，)fx2sin(x))，進而可得，由兩角和的正弦公式（2）由（1）可得3666可得答案．【小問1詳解】x3sinx2sin21fxab1由題意得2π3sinxcosx2sin(x)，6π∵函數(shù)的圖象的一條對稱軸是直線，fxx2πππ2π,kZ，得2k,kZ∴，262323∵01，∴．【小問2詳解】2πfx2sin(x)由（1）可得，3634π43π2f2sin())，即由得，23663ππππππ50)1sin2)結合，，得，3662663第14頁/共20頁323π8ππππππf2sin[()]2sin()2cos()sin∴6464642252221022．32323AB2C20.在銳角三角形中，內(nèi)角,B,Ca,b,c，且.aba（1）求角B的大小；（2）若b23，求面積的取值范圍.π【答案】（1）B3（2）23,33.【解析】2331可得bcosAacosBbsinC化簡即可得出答案；a4sin,c4sinC（2）由正弦定理求出【小問1詳解】，表示出面積結合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.23由已知條件得bcosAacosBbsinC，3233由正弦定理得sinBcosAcosBsinAsinB.sinC，23即sinABsinBsinC.3sinABsinC0，因為在中，3所以sinB.2π又B是銳角，所以B【小問2詳解】.3第15頁/共20頁acb2334由正弦定理得sinAsinCsinB，2a4sin,c4sinC則，3312Sac4AsinC43sin(CsinC43cosCsinCsinC所以432623sin(2C3=6sinCC23sin2C.π2ππππ0C,0CC由，得，23262162ππ5πC，所以sin(2C,1所以，666623sin(2C323,33所以所以..面積的取值范圍為23,3321.為了改善湖泊的水質(zhì)，某市環(huán)保部門于2021年年終在該湖泊中投入一些浮萍，這些浮萍在水中的繁殖速度越來越快，2022年2月底測得浮萍覆蓋面積為360m2，2022年3月底測得浮萍覆蓋面積為480m2，yxx浮萍覆蓋面積m22022年的月份y(kayn(m0)2與可供選擇．（1）分別求出兩個函數(shù)模型的解析式；（2）若2021年年終測得浮萍覆蓋面積為200m2，從上述兩個函數(shù)模型中選擇更合適的一個模型，試估算lg20.30,lg30.48至少到哪一年的幾月底浮萍覆蓋面積能超過8100m2？（參考數(shù)據(jù)：）4054y()x，y24x2642【答案】（1）23（2）2023年2月【解析】xx31）將分別代入兩個函數(shù)表達式中即可求解，x0（2）根據(jù)確定選用的函數(shù)，即可利用對數(shù)的運算求解.【小問1詳解】第16頁/共20頁yx(k，a0，若選擇模型23360434052a，k則，解得，4804054y()，x故函數(shù)模型為234mn360y2n(m0)，則若選擇模型，9mn480解得m24，k264，故函數(shù)模型為y24x2264．【小問2詳解】4054()4052x0x0yxy202.5，把把代入代入可得，23y24x2264y264可得，，∵202.5200264200，4054xy()∴選擇函數(shù)模型更合適，23405444y()8100x，可得(