專(zhuān)題06 相似三角形中的基本模型-半角模型（解析版）

專(zhuān)題06相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類(lèi)問(wèn)題就信心更足了。本專(zhuān)題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見(jiàn)模型及結(jié)論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結(jié)論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結(jié)論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·山西·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的兩點(diǎn)，且，、分別交于、．下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】證明△ABN∽△ADM，可得結(jié)論④正確．把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADH．證明△AEF≌△AHF，推出∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．可得②正確．證明△AMN∽△AFE．可得結(jié)論③正確．由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，可得①正確．【詳解】解：∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°，∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠AMD．又∠ABN＝∠ADM＝45°，∴△ABN∽△MDA，∴AB：BN＝DM：AD．∵AD＝AB，∴AB2＝BN?DM．故④正確；把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADH．∵∠ADF＝∠ADH＝90°，∴D、F、H在同一直線上，∵∠BAD＝∠EAH＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°．∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．故②正確；③∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN．∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，∴∠AFE＝∠AMN．又∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE．∴AM：AF＝AN：AE，即AM?AE＝AN?AF．故③正確；由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．故①正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、相似（包括全等）三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．例2．（2023·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長(zhǎng)是．【答案】【分析】取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，交AF于H，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝MH，連接AG，先證出四邊形ABNM是正方形，利用SAS證出ABG≌AMH，再利用SAS證出AEG≌AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行證出AHM∽AFD，列出比例式即可求出結(jié)論．【詳解】解：取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，交AF于H，延長(zhǎng)CB至G，使BG＝MH，連接AG，∵點(diǎn)M，點(diǎn)N是AD，BC的中點(diǎn)，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵AD∥BC，∴四邊形ABNM是平行四邊形，∵AB＝AM＝4，∴四邊形ABNM是菱形，∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴ABG≌AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE∴AEG≌AEH（SAS）∴EH＝GE，∴EH＝2+MH，在RtHEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝∵M(jìn)N∥CD，∴AHM∽AFD，∴∴DF＝×＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，此題難度較大，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．例3．（2023·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知中，，，點(diǎn)在邊上，．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，再利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”判斷，最后利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，最后利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∴，，∵，，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及圖形的相似可求DE的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作于，作于．中，，．∴．在中，．，．．．．．．．．．，即．．由勾股定理得：．．．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形是求解本題的關(guān)鍵．例5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②或【分析】（1）證，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可；（2）①連接，證，列出比例式，根據(jù)相似比即可求解；②分點(diǎn)H為AG中點(diǎn)和點(diǎn)N為EC中點(diǎn)兩種情況，根據(jù)相似比，求出比值即可．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，，，；，，，是等邊三角形；（2）①連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，由（1）知，是等邊三角形，，平分，，，，即，，，②如圖，當(dāng)點(diǎn)H為AG中點(diǎn)時(shí)，即；∵是的中點(diǎn)，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,∵，∴，即；同理，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)N為EC中點(diǎn)時(shí)，ON∥AE，；連接FG，作FP⊥BC，交BC延長(zhǎng)線與點(diǎn)P，∵，，∴,∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，，∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，設(shè)EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，，∵EN=CN=4，；綜上，的值為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)幾何知識(shí)，構(gòu)建幾何模型證明相似或全等．例6．（2023·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形中，交于點(diǎn)交于點(diǎn)，分別交于，連接．求證：；求的值；若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析；；【分析】（1）通過(guò)證明即可得出答案；連接，由四邊形是正方形，可得，由條件證明即可得出即可求出的值；由正方形的邊長(zhǎng)為5，，可得由（1）中結(jié)論可得故，結(jié)合、可得：，可證明利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】證明：四邊形為正方形，又，連接，四邊形是正方形．，∵正方形的邊長(zhǎng)為5∴BD=∴由得由，同理得：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．（2023·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）正方形，、分別在邊、上（不與端點(diǎn)重合），，與交于點(diǎn)．(1)如圖①，若平分，直接寫(xiě)出線段，，之間等量關(guān)系；(2)如圖②，若不平分，(1)中線段，，之間等量關(guān)系還成立嗎？若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，矩形，，．點(diǎn)、分別在邊，上，，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)(1)中線段，，之間的等量關(guān)系還成立，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明得，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：，，相加可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)H，截取，連接，根據(jù)定理可得出，故可得出，再由，可得出，由定理可得，故，可得結(jié)論；（3）作輔助線，構(gòu)建正方形，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程可得的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng)，最后由勾股定理可得結(jié)論；【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，平分，，在與中，，，，，，，平分，平分，，，；（2）解：（1）中線段，，之間等量關(guān)系還成立，證明如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)H，截取，連接，在與中，，，，，，，，即，在與中，，；（3）解：如圖：取、的中點(diǎn)P、Q，連接交于點(diǎn)H，連接，，，，，四邊形是正方形，在中，，，，，，由（1）同理得：，設(shè)，則，，在中，，，解得，是的中點(diǎn)，，，，，，由勾股定理得：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022春·浙江紹興·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC，DC上，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，連接CN、EN，且CN=EN．下列結(jié)論：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④；⑤圖中有4對(duì)相似三角形．其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【詳解】解：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADH，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=BC=AD，∠BAD＝∠ABC=90°，∠ABD＝∠CBD=45°，在△BNA和△BNC中，所以△BNA≌△BNC，所以AN=CN，∠NEC=∠NCE=∠BAN，因?yàn)椤螻EC+∠BEN=180°，所以∠BAN+∠BEN=180°，所以∠ABC+∠ANE=180°，所以∠ANE=90°，所以AN=NE，AN⊥NE，故①正確，因?yàn)椤?=45°，∠1=∠4，所以∠2+∠4=∠2+∠1=45°，所以∠3=∠FAH=45°，因?yàn)锳F=AF,AE=AH，所以△AFE≌△AFH，所以EF=FH=DF+DH=DF+BE,∠AFH=∠AFE，故②正確，因?yàn)椤螹AN=∠NDF=45°，∠ANM=∠NDF，所以∠AMN=∠AFD，又因?yàn)椤螦FE=∠AFD，∠DFE=∠AFE+∠AFD，所以∠DFE=2∠AMN，故③正確；因?yàn)椤螹AN=∠EAF，∠AMN=∠AFE，所以△AMN∽△AFE，所以，所以MN，如圖2中,將△ABN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG，易證△ANG≌△ANM,△GDN是直角三角形，所以MN=GN，所以，所以，故④正確；圖中相似三角形有△ANE∽△BAD∽△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故⑤錯(cuò)誤；故選B.2．如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長(zhǎng)是（）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】構(gòu)造如圖所示的正方形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解直角三角形FNP即可．【詳解】如圖，延長(zhǎng)CE，F(xiàn)G交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作，延長(zhǎng)交于，∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四邊形CMPD是矩形，根據(jù)折疊，∠MCN=∠GCN，CD=CG，，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴，∴，四邊形為正方形，∴，∴，，，，設(shè),則，在中，由可得解得；故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊問(wèn)題，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度較大．作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，等腰直角三角形，D?E是上的兩點(diǎn)，且，過(guò)D?E分別作、，垂足分別為M、N，、交于點(diǎn)F，連接、．以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形是正方形；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，先判定四邊形AMFN是矩形，再證明AM＝AN，從而可判斷①；利用SAS可判定△ABE≌△ACD，從而可判斷②；在沒(méi)有∠DAE＝45°時(shí)，無(wú)法證得DE'＝DE，故可判斷③；由∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA可判定△ADE∽△CDA，從而可判定④．【詳解】解：∵DM、EN分別垂直AB、AC，垂足為M、N，∴∠AMF＝∠ANF＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴四邊形AMFN是矩形；∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝45°，∵DM⊥AB，EN⊥AC，∴△BDM和△CEN均為等腰直角三角形，又∵BD＝CE，∴△BDM≌△CEN（AAS），∴BM＝CN∴AM＝AN，∴四邊形AMFN是正方形，故①正確；∵BD＝CE，∴BE＝CD，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠C＝45°，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正確；如圖所示，將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABE'，則CE＝BE'，∠E'BA＝∠C＝45°，由于△BDM≌△CEN，故點(diǎn)N落在點(diǎn)M處，連接ME'，則D、M、E'共線，∵∠E'BA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠DBE'＝90°，∴BE'2＋BD2＝DE'2，∴CE2＋BD2＝DE'2，當(dāng)∠DAE＝45°時(shí)，∠DAE'＝∠DAM＋∠EAN＝90°?45°＝45°，∵AE＝AE'，AD＝AD，∴△ADE≌△ADE'（SAS），∴DE'＝DE，∴在沒(méi)有∠DAE＝45°時(shí)，無(wú)法證得DE'＝DE，故③錯(cuò)誤；∵AB＝AC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∴當(dāng)∠DAE＝45°時(shí)，∠ADE＝∠AED＝67.5°，∵∠C＝45°，∴∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA，∴，∴AD2＝DE?CD，故④正確．綜上，正確的有①②④，共3個(gè)故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，BM、DN分別是正方形的兩個(gè)外角的平分線，點(diǎn)P，Q分別是平分線BM、DN上的點(diǎn)，且滿足∠PAQ＝45°，連接PQ、PC、CQ．則下列結(jié)論：①BP?DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】運(yùn)用正方形的性質(zhì)；角平分線的定義；全等三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)綜合推理判斷．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，∵∠PAQ＝45°，∴∠BAP+∠QAD=45°，∵BM是正方形的外角的平分線，∴∠MBC=135°，∴∠BAP+∠APB=45°，∴∠QAD＝∠APB，∴②正確；∵BM、DN分別是正方形的兩個(gè)外角的平分線，∴∠ABP=∠QDA=135°，∵∠QAD＝∠APB，∴△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∴BP?DQ＝，∴①錯(cuò)誤；∵△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∴BP：BC=DC：DQ，∵BM、DN分別是正方形的兩個(gè)外角的平分線，∴∠PBC=∠QDC=45°，∴△BPC∽△DCQ，∴∠BCP=∠DQC，∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°.∴③正確；如圖，將△AQD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接PF．則△ABF≌△ADQ．∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°．∴∠PAF=∠PAQ．又∵AP=AP，∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．∴在Rt△BPF中，，∴．∴④正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)；角平分線的定義；全等三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．熟練掌握上述性質(zhì)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖求解是解題的關(guān)鍵.5．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，D，E是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接，下列結(jié)論：①平分；②；③；④點(diǎn)C轉(zhuǎn)至點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為，正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①由旋轉(zhuǎn)90°得∠FAD=90°，可得∠FAE=∠DAE=45°，即AE平分∠FAD；②利用圖形的旋轉(zhuǎn)不變性得到△ADC≌△AFB，∠DAF=90°，利用SAS公理即可判定△AED≌△AEF；③利用相似三角形的判定與性質(zhì)可以驗(yàn)證結(jié)論錯(cuò)誤；④利用已知條件得到∠BAC=90°，利用弧長(zhǎng)公式，可得④的結(jié)論正確．【詳解】解：∵將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠DAF=90°．∴AF=AD．∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°-∠EAD=45°．∴∠FAE=∠DAE．∴平分，故①的結(jié)論正確；在△AED和△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS）．②的結(jié)論正確；∵AB=AC．，∴∠ABE=∠ACD．∴當(dāng)∠BAE=∠CAD時(shí)，△ABE∽△ACD，∴．當(dāng)∠BAE≠∠CAD時(shí)，△ABE與△ACD不相似，比例式不成立，∴不一定成立．③的結(jié)論錯(cuò)誤；由△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，得：∠BAC=90°，∵AB=AC=6，∴點(diǎn)C轉(zhuǎn)至點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為．④的結(jié)論正確；綜上，結(jié)論正確的有：①②④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用圖形的旋轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東·統(tǒng)考一模）如圖，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE=m，CD=n．下列結(jié)論：（1）圖中有三對(duì)相似而不全等的三角形；（2）m?n=2；（3）BD2+CE2=DE2；（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【詳解】試題分析：（1）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析即可；（2）可根據(jù)（1）中的相似三角形BAE和CDA得出關(guān)于AB，BE，CD，AC的比例關(guān)系，AB，AC可通過(guò)等腰直角三角形求出，因此根據(jù)比例關(guān)系即可得出m，n的函數(shù)關(guān)系式．（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，我們知道HB⊥BD，那么DH2=BH2+BD2，而B(niǎo)H=CE，于是關(guān)鍵是證明HD=DE，連接AH，DH那么可通過(guò)證三角形AHD和ADE全等來(lái)求解．（4）若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到∠BAD≠∠CAE，于是△ABD與△ACE不一定全等，（5）當(dāng)AF與AB重合時(shí)，AE=AF，AB=AF，得到DF≠AF，于是由AE與DF不一定相等；試題解析：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，故（1）錯(cuò)誤；（2）∵△ABE∽△DCA，∴由題意可知CA=BA=，∴∴m=，∴mn=2；（1＜n＜2）；故（2）正確；（3）證明：將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH的位置，則CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°．連接HD，在△EAD和△HAD中，∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，∴△EAD≌△HAD．∴DH=DE．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，∴BD2+CE2=DH2，即BD2+CE2=DE2；故（3）正確；（4）若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∴∠BAD≠∠CAE，∴△ABD與△ACE不一定全等，∴（4）錯(cuò)誤；（5）當(dāng)AF與AB重合時(shí)，AE=AF，AB=AF，∴DF≠AF，∴AE與DF不一定相等；∴（5）錯(cuò)誤．故選A．考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．等腰直角三角形．7．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，分別交，于點(diǎn)，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)．下列結(jié)論不正確的是(

)A． B． C．與相切 D．【答案】D【分析】延長(zhǎng)到，使，連接．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得．證得，在上截取．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，證得．根據(jù)勾股定理得到．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．等量代換得到；判斷選項(xiàng)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到．推出，又，于是得到，判斷B選項(xiàng)；過(guò)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，于是得到與相切；判斷C選項(xiàng)；由，而不一定等于，于是得到不一定平行于，判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使，連接．在和中，，，，，又，，，．在和中，，在上截取，連接、，在和中，，，，又，．．在和中，，．；故A正確；，．，，，又，，故B正確；過(guò)作于，，，，與相切；故C正確；，而不一定等于，不一定等于，不一定平行于，故D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2022·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，點(diǎn)，在上且，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①點(diǎn)為的中點(diǎn)，②，③，④，其中正確結(jié)論的序號(hào)是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明，，判斷①和②，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，證明判斷③，分別求出的積，判斷④．【詳解】解：∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，故①正確；同法可得：，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴；故②錯(cuò)誤；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

則：，，，，∴，∴點(diǎn)在同一條直線上，∴，又，∴，∴；故③正確；在中，，∵，∴，∴，∵，∴，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考填空題中的壓軸題．9．如圖，已知△PMN是等邊三角形，∠APB=120．求證：AM·PB=PN·AP【答案】詳見(jiàn)解析.【解析】根據(jù)相似三角形的判定方法可證△PMA∽△BNM，然后利用相似三角形的性質(zhì)就可以證得結(jié)論．試題解析：證明：∵△PMN是等邊三角形，

∴∠PMN=∠PNM=60°=∠MPN．∴∠A+∠APM=60°，∠AMP=∠PNB=120°．

∵∠APB=120°，∴∠APM+∠NPB=60°．∴∠A=∠NPB．

∴△PMA∽△BNP．∴AM：PN=AP：PB∴AM?PB=PN?AP．10．已知：如圖邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，∠MAN的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠MAN＝45°①求證：MN＝BM+DN；②若AM、AN交對(duì)角線BD于E、F兩點(diǎn)．設(shè)BF＝y(tǒng)，DE＝x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM′，根據(jù)正方形的性質(zhì)和且∠MAN=45°可進(jìn)行證明．

（2）證明△BFA∽△DAE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可列出函數(shù)式．試題解析：（1）證明：將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADM′，如圖，

∵∠M′AN=∠DAN+∠MAB=45°，AM′=AM，BM=DM′，

∵M(jìn)′AN=∠MAN=45°，AN=AN，∴△AMN≌△AM′N(xiāo)′，

∴MN=NM′，∴M′N(xiāo)=M′D+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN．

（2）解：∵∠AED=45°+∠BAE，∠FAB=45°+∠BAE，∴∠AED=∠FAB，

∵∠ABF=∠ADE，∴△BFA∽△DAE，∴，∴，∴y=.11．（2023上海市中考數(shù)學(xué)二模試題）已知：Rt△ABC斜邊AB上點(diǎn)D，E，滿足∠DCE＝45°．(1)如圖1，當(dāng)AC＝1，，且點(diǎn)D與A重合時(shí)，求線段BE的長(zhǎng).(2)如圖2，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，求證：AD2+BE2＝DE2.(3)如圖3，當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)，設(shè)AD＝x，BE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】(1)如圖1，根據(jù)勾股定理得到AB＝2，過(guò)B作BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于F，得到∠F＝∠ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，根據(jù)SAS證得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代換即可解答；(3)如圖3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，由∠HFG＝∠B，∠HGF＝∠CGD＝∠A，∠A+∠B＝90°，得到∠DHF＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：(1)如圖1，∵∠ACB＝90°，，AC＝1，∴AB＝2，過(guò)B作BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于F，∴∠F＝∠ACE，∵∠BCA＝90°，∠DCE＝45°，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠BCE＝∠F，∴，∵△BEF∽△AEC，∴，∴；(2)證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，CF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE(SAS)，∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∵∠ACF＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE(SAS)，∴DF＝DE，∵AD2+AF2＝DF2，∴AD2+BE2＝DE2；(3)如圖3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，∵∠DCE＝45°，∠ACB=90°，則C,F,G在同一直線上，∵∠HFG＝∠B，∠HGF＝∠CGD＝∠A，∠A+∠B＝90°，∴∠DHF＝90°，∵FG＝4-3=1，∠B＝∠F，當(dāng)AC＝3，BC＝4時(shí)∵△ABC∽△GFH∴∴，∵EH2+HD2＝ED2，∴，∴．∵x≥0，60-28x≥0，21-5x＞0∴故.【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是中輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理以及面積法進(jìn)行求解．12．（2023江蘇九年級(jí)期末）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F，連接EF．設(shè)CE=a，CF=b．（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值；（3）如圖3，探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中a、b滿足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）當(dāng)∠EAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，判斷出△ADF≌△FCE，②當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，同①的方法，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠AFC+∠CAF=45°，判斷出∠CAF=∠AEC，進(jìn)而判斷出△ACF∽△ECA，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCF=∠DCE=90°∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，∵∠EAF被對(duì)角線AC平分，∴∠CAF=∠CAE，在△ACF和△ACE中，，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE，∵CE=a，CF=b，∴a=b，∵△ACF≌△ACE，∴∠AEF=∠AFE，∵∠EAF=45°，∴∠AEF=∠AFE=67.5°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°，∴∠CAE=∠CEA，∴CE=AC=4，即：a=b=4；（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，∴∠AFD+∠CFE=90°，∵∠CEF+∠CFE=90°，∴∠AFD=∠CEF∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF，在△ADF和△FCE中∴△ADF≌△FCE，∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，∴a=8，b=4②當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，同①的方法得，CF=8，CE=4，∴a=4，b=8．（3）ab=32，理由：如圖，∵AB∥CD∴∠BAG=∠AFC，∵∠BAC=45°，∴∠BAG+∠CAF=45°，∴∠AFC+∠CAF=45°，∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，∴∠CAF=∠AEC，∵∠ACF=∠ACE=135°，∴△ACF∽△ECA，∴，∴EC×CF=AC2=2AB2=32∴ab=32．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷△ACF∽△ECA，也是本題的難點(diǎn)．13．（2023江蘇中考數(shù)學(xué)一模）（1）如圖①，在正方形中，E，F(xiàn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可以證明，進(jìn)一步推出，，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）在圖①中，連接分別交和于P，Q兩點(diǎn)，求證：；（3）如圖②，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接分別與邊，交于M，N．當(dāng)時(shí)，猜想，，之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），證明見(jiàn)解析【分析】（1）證明，可得出和的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明和，即可證明；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)與重合，轉(zhuǎn)到點(diǎn)，在上取，連接，，利用，證明，，再證明是直角三角形即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：；理由：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，在和中，，，，∵，；（2）如圖，由（1）知：，

，又四邊形是正方形，，，，是正方形的對(duì)角線，，，，又，，又，；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)與重合，轉(zhuǎn)到點(diǎn)，在上取，連接，，如圖，

，又，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．14．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第三中學(xué)?？计谥校┰谡叫蜛BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．(1)若點(diǎn)G在邊CB的延長(zhǎng)線上，且BG＝DF，（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；(2)若直線EF與AB，AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：；(3)將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形（如圖③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，請(qǐng)你直接寫(xiě)出△CEF的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先證明△ABG≌ADF，可得AF＝AG，∠EAF＝∠GAE＝45°，故可證△AEG≌△AEF；（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連接GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG＝EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE＝CF，BE＝BM，NFDF，然后證明∠GME＝90°，MG＝NF，利用勾股定理得出，等量代換即可證明；（3）延長(zhǎng)EF交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連接HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，結(jié)合勾股定理以及相等線段可得，所以，利用結(jié)論求出EF即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，∴∠ABG=∠D=90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌ADF，∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE，∵∠EAF