最短路徑知識(shí)點(diǎn)

最短路徑問(wèn)題

一、基本模型與方法

問(wèn)題1：“牽牛從點(diǎn)A動(dòng)身，到河邊/喝水，再到點(diǎn)B處吃草，走哪條路徑最短？”

即在/上找一點(diǎn)P,使得PA+PB和最小.

(1)A,B兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，連接AB交/于P,則PA+PB和最小.

a?

I

*

B

(2)A,B兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，在/上找一點(diǎn)P,使得PA+PB和最小.

作B點(diǎn)關(guān)/的對(duì)標(biāo)點(diǎn)B：連接AB，交/于點(diǎn)P,即為所要找的P點(diǎn)，使PA+PB和最小.

(3)變式爭(zhēng)論：在/上找一P點(diǎn)，使得4PAB周長(zhǎng)最小.

問(wèn)題2：在/上找一點(diǎn)P,使得PA—PB|最大

(1)A,B兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，連接AB井延長(zhǎng)交/于P,則|PA-PB|最大

B

(2)A,B兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，作B點(diǎn)關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)B，，連接AB，并延長(zhǎng)交/于點(diǎn)P,即為所

要找的P點(diǎn)，使|PA—PB|最大.

B

A.

(3)當(dāng)兩定點(diǎn)A、8在直線/同側(cè)時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)P,使得最小.

.A

B

問(wèn)題3：(1)在直線小乙上分別求點(diǎn)M、N,使aPMN周長(zhǎng)最小

做法：分別作點(diǎn)P關(guān)于直線/1、/2的對(duì)稱點(diǎn)Pl,P2連接Pl，P2與/1、/2交點(diǎn)即為M,N

(2)變式：在直線八、/2上分別求點(diǎn)M、N,使四邊形PMQN周長(zhǎng)最小.

做法：分別作點(diǎn)P,Q關(guān)于直線I”L的對(duì)稱點(diǎn)P',Q',連接P',Q'與h,12交點(diǎn)即為M,N

/l

問(wèn)題4：點(diǎn)在銳角NAOB內(nèi)部，在0B邊上求作一點(diǎn)D,在0A邊上求作一點(diǎn)C,使PD+CD最

小

做法：做點(diǎn)P關(guān)于直線0B的對(duì)稱點(diǎn)P，，過(guò)P，向直線0A作垂線與0B的交點(diǎn)為所求點(diǎn)D,

垂足即為點(diǎn)C

問(wèn)題5：(1)直線并且h與12之間的距離為d,點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線小/2的兩

側(cè)，在直線八、七上分別求一點(diǎn)M、N,使AM+MN+AB的和最小.

作法：將點(diǎn)A向下平移d個(gè)單位到Ai，連結(jié)A,B交b于點(diǎn)N,過(guò)N作MN1垂足為M,

連結(jié)AM,則線段AM+MN+NB的和最小，點(diǎn)M,N即為所求.

A

(2)直線/的同側(cè)有兩點(diǎn)A,B,在直線/上求兩點(diǎn)C、D,使得AC+CD+DB的和最小，且CD

的長(zhǎng)為定值m點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè).

作法：將點(diǎn)A向右平移〃個(gè)單位到A”作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)名B”連結(jié)A”Bi交直

線/于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作AC//A1D交直線/于點(diǎn)G,連結(jié)BD,則線段AC+CD+DB的和最小.

點(diǎn)C、D即為所求

二、基本題型訓(xùn)練（歡迎大家補(bǔ)充練習(xí)題并上傳?。?/p>

1.如圖，已知AABC為等腰直角三角形，AC=BC=4,/BCD=150,P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則-PB\

的最大值是多少？

解答：

如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AC,連接48并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是-PB\

的值最大時(shí)的點(diǎn)，倒-PB\^A'B.

:△A8C為等腰直角三角形，AC=BC等于4,AZACB=90°.

VZBCD=15°,AZACD=750.

?.?點(diǎn)A、A，關(guān)于CD對(duì)稱，.?.AALCD,AC=CA',