4.3.14.3.2等比數(shù)列的概念 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 原卷版

4..2：等比數(shù)列的概念等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：等比數(shù)列的概念1．定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．遞推公式形式的定義：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).考點(diǎn)二：等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.考點(diǎn)三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．考點(diǎn)四：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣和變形等比數(shù)列{an}的公比為q，則an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝eq\f(a1,q)·qn.③其中當(dāng)②中m＝1時(shí)，即化為①.當(dāng)③中q>0且q≠1時(shí)，y＝eq\f(a1,q)·qx為指數(shù)型函數(shù)．等比數(shù)列的應(yīng)用及性質(zhì)考點(diǎn)五：實(shí)際應(yīng)用題常見的數(shù)列模型1．儲蓄的復(fù)利公式：本金為a元，每期利率為r，存期為n期，則本利和y＝a(1＋r)n.2．總產(chǎn)值模型：基數(shù)為N，平均增長率為p，期數(shù)為n，則總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n.考點(diǎn)六：等比數(shù)列的常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．(3)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列．(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}都是等比數(shù)列，且公比分別是q，eq\f(1,q)，q2.(5)若{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是p和q，那么{anbn}與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比數(shù)列，公比分別為pq和eq\f(p,q).【題型歸納】題型一：等比數(shù)列中的基本運(yùn)算1．（2023下·河南許昌·高二校考期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，，則公式q等于（

）A． B．3 C．3 D．2．（2023下·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比（

）A．2 B． C．2或 D．或3．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）已知為遞增的等比數(shù)列，且滿足，，則（

）A． B．1 C．16 D．32題型二：等比中項(xiàng)的應(yīng)用4．（2023下·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則（

）A．16 B．64 C．72 D．1285．（2023下·福建·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．6．（2023下·湖北武漢·高二武漢市洪山高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C． D．題型三：等比數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)及其應(yīng)用7．（2023下·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則（

）A．2 B． C． D．8．（2023下·河南周口·高二統(tǒng)考期中）在等比數(shù)列中，，則等于（

）A．64 B． C． D．89．（2023下·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┑缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．題型四：等比數(shù)列子數(shù)列的性質(zhì)10．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．32 D．6411．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，如果，，那么（

）A． B． C． D．12．（2021·全國·高二周測）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．2 C．30 D．32題型五：等比數(shù)列與其它知識交匯問題13．（2022·高二）已知等比數(shù)列中，公比q＝2，若，則等于（

）A． B． C． D．14．（2022上·貴州黔西·高三?？迹┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．15．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？迹┮阎葹檎龜?shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足，，若對任意的，恒成立，則k的值為（

）A．50 B．49 C．100 D．99題型六：等比數(shù)列的證明16．（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列的首項(xiàng)．(1)若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列．17．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式為(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．18．（2023下·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（

）．A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列20．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．21．（2023下·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．322．（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．823．（2023上·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學(xué)校考期中）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.若數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)構(gòu)成集合，則公比為（

）A．16 B．4 C． D．24．（2023上·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)校考期中）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．2 D．425．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項(xiàng)．(1)求45和80的等比中項(xiàng)；(2)已知兩個(gè)數(shù)和的等比中項(xiàng)是2k，求k．26．（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【高分突破】一、單選題27．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．28．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校?023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國家、92個(gè)國際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為10.9萬億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1位小數(shù)）約為（

）．參考數(shù)據(jù)：29．（2023上·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足且.若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（）A． B．C． D．31．（2023下·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，．設(shè)，若對于任意的，．恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題32．（2023下·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列，則（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，的最大值是或D．當(dāng)時(shí)，的最小值是或33．（2023上·甘肅臨夏·高二校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列中，滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．單調(diào)遞增34．（2023上·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列35．（2023上·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若a，b，c是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列B．若a，b，c是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列C．若a，b，c是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列D．若a，b，c是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列36．（2023下·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列存在最大值三、填空題37．（2023下·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則.38．（2023下·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）若，b，c為實(shí)數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，則b的值為39．（2023上·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，且，則.40．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）某教育網(wǎng)站本月的用戶為1000人，網(wǎng)站改造后，預(yù)計(jì)平均每月的用戶都比上一個(gè)月增加，則從本月起，使網(wǎng)站用戶達(dá)到5000人至少需要經(jīng)過個(gè)月（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.41．（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，2，6，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．四、解答題42．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)