高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 求準(zhǔn)提速 基礎(chǔ)小題不失分 第3練 復(fù)數(shù)練習(xí) 文試題

第3練復(fù)數(shù)[明考情]復(fù)數(shù)是高考必考題，以選擇題形式出現(xiàn)，題目難度為低檔，多數(shù)在第一題或第二題的位置.[知考向]1.復(fù)數(shù)的概念.2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算.3.復(fù)數(shù)的幾何意義.考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位.若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(4)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R).1.設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＋eq\f(1,z)的虛部是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)iC.eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)i答案A解析因?yàn)閦＝1＋i，所以z＋eq\f(1,z)＝1＋i＋eq\f(1,1＋i)＝1＋i＋eq\f(1－i,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(i,2)，所以虛部為eq\f(1,2)，故選A.2.(2017·全國(guó)Ⅲ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1＋i)z＝2i，則|z|等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.2答案C解析方法一由(1＋i)z＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.方法二∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝eq\r(2).故選C.3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A.1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.2答案A解析由eq\f(1＋z,1－z)＝i，得1＋z＝i－zi，∴z＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝i，∴|z|＝|i|＝1.4.已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)a＝b＝1時(shí)，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反過(guò)來(lái)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，則a2－b2＝0，2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要條件，故選A.5.(2016·江蘇)復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是________.答案5解析z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的實(shí)部為5.6.復(fù)數(shù)(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虛數(shù)，則實(shí)數(shù)答案{m|m≠6且m≠－1}考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法技巧復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).7.(2017·山東)已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足zi＝1＋i，則z2等于()A.－2i B.2iC.－2 D.2答案A解析方法一∵z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,i－i)＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝－2i.方法二∵(zi)2＝(1＋i)2，即－z2＝2i，∴z2＝－2i.故選A.8.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(3＋4i)z＝25，則z等于()A.3－4i B.3＋4iC.－3－4i D.－3＋4i答案A解析由題意得z＝eq\f(25,3＋4i)＝eq\f(253－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(253－4i,25)＝3－4i，故選A.9.設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)等于()A.－2 B.－2iC.2 D.2i答案C解析由題意知，eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝eq\f(1＋i,i)＋i(1－i)＝eq\f(1＋ii,i2)＋1＋i＝1－i＋1＋i＝2，故選C.10.復(fù)數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2＝________.答案－1解析eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(2i,2)＝i，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2＝i2＝－1.11.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－ai,1＋i)(a∈R)的虛部為－3，則|z|＝________.答案eq\r(13)解析因?yàn)閦＝eq\f(1－ai,1＋i)＝eq\f(1－ai1－i,2)＝eq\f(1－a－a＋1i,2)＝eq\f(1－a,2)－eq\f(a＋1,2)i，所以－eq\f(a＋1,2)＝－3，解得a＝5，所以z＝－2－3i，所以|z|＝eq\r(－22＋－32)＝eq\r(13).考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R).(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).12.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1－2i)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，位于第一象限.13.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，z1＝2＋i，則z1z2等于()A.－5 B.5C.－4＋i D.－4－i答案A解析由題意知，z2＝－2＋i，所以z1z2＝－5，故選A.14.(2016·全國(guó)Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(－3，1) B.(－1，3)C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)答案A解析由復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1，故選A.15.已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2017,1＋i)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_______象限.答案一解析因?yàn)閕4n＋k＝ik(n∈Z)，且i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i，所以z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1＋i,2)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，在第一象限.16.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，則|z1＋z2|＝_________.答案2解析由題意知，z1＝－2－i，z2＝i，∴z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.1.設(shè)z1，z2∈C，則“z1，z2中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“z1－z2是虛數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析若虛數(shù)z1，z2的虛部相等，則z1－z2是實(shí)數(shù)，故充分性不成立；又若z1，z2全是實(shí)數(shù)，則z1－z2不是虛數(shù)，故必要性成立.故選B.2.設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)，則x＋y＝______.答案4解析由題意得eq\f(x,2)(1＋i)＋eq\f(y,5)(1＋2i)＝eq\f(5,10)(1＋3i)，∴(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝5，,5x＋4y＝15，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5，))∴x＋y＝4.解題秘籍(1)復(fù)數(shù)的概念是考查的重點(diǎn)，虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準(zhǔn)確.(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算中除法運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)，運(yùn)算時(shí)要分母實(shí)數(shù)化(分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù))，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件在復(fù)數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到.1.(2017·全國(guó)Ⅱ)eq\f(3＋i,1＋i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i答案D解析eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.2.復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋i,1－2i)的虛部為()A.－eq\f(1,5)B.eq\f(1,5)C.－eq\f(3,5)D.eq\f(3,5)答案D解析z＝eq\f(1＋i,1－2i)＝eq\f(1＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，所以其虛部為eq\f(3,5).3.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足eq\f(z,1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則eq\x\to(z)等于()A.1－i B.1＋iC.－1－i D.－1＋i答案A解析∵eq\f(z,1－i)＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴eq\x\to(z)＝1－i.4.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(2i,1－i)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2ii＋1,2)＝－1＋i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，－1＋i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(－1，1)，該點(diǎn)位于第二象限，故選B.5.eq\f(1＋i3,1－i2)等于()A.1＋i B.1－iC.－1＋i D.－1－i答案D解析由已知得eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1＋i21＋i,1－i2)＝eq\f(2i1＋i,－2i)＝－1－i.6.若a為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a等于()A.－1B.0答案B解析因?yàn)閍為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得7.eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z等于()A.1＋i B.－1－iC.－1＋i D.1－i答案D解析設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi.由z＋eq\x\to(z)＝2，得a＝1，由(z－eq\x\to(z))i＝2，得b＝－1，所以z＝1－i，故選D.8.“復(fù)數(shù)z＝eq\f(3＋ai,i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限”是“a≥0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案D解析由題意得z＝a－3i，若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則a＜0，故選D.9.已知a＞0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，則a等于()A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.1答案B解析eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－ai＋1,1)))＝eq\r(－a2＋1)＝2，即a2＝3.又∵a＞0，∴a＝eq\r(3).10.已知復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部是____________.答案21解析由題意知z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，其實(shí)部為21.11.(2016·天津)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若