7-5空間向量及應(yīng)用學(xué)案高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)練案（第33期）編寫人：朱老師審查人：劉老師使用日期：2023.1275空間向量及應(yīng)用自主復(fù)習(xí)【查】【必備知識(shí)】1.空間向量定義在空間，具有和的量叫做空間向量．2.向量共線、共面定理(1)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使.(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使.如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝.(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?.②a·a＝＝.③cos〈a，b〉＝.(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ()＝a·()交換律a·b＝分配律a·(b＋c)＝設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法a＋b＝減法a－b＝數(shù)乘λa＝，λ∈R數(shù)量積a·b＝平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?(a，b均為非零向量)模|a|＝eq\r(a·a)＝夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則(1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝.7.空間中平行關(guān)系的向量表示線線平行設(shè)兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2??線面平行設(shè)l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α??面面平行設(shè)α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β??＝λ8.空間中垂直關(guān)系的向量表示線線垂直設(shè)直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)，則l1⊥l2??線面垂直設(shè)直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α???＝(λ∈R)面面垂直設(shè)平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β???【考試要求】1．了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置，會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用空間兩點(diǎn)間的距離公式．2．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示．能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直．二、師生研學(xué)【研】[考點(diǎn)分類突破]考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算【例11】如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點(diǎn)，則（

）A．B．C． D．【例12】如圖所示，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量.(1)；(2)；(3).歸納總結(jié)：進(jìn)行向量線性運(yùn)算時(shí)，需注意以下幾個(gè)問(wèn)題：一、結(jié)合圖象明確圖中各線段的幾何關(guān)系；二、要準(zhǔn)確運(yùn)用向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義(易出現(xiàn)用錯(cuò)運(yùn)算法則)；三、注意平面向量的三角形法則和平行四邊形法則在空間仍然成立?！揪毩?xí)11】如圖所示，已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，、分別為、上的點(diǎn)，且，，求滿足的實(shí)數(shù)的值．考點(diǎn)二空間向量的共線、共面問(wèn)題【例21】如圖，在長(zhǎng)方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且．求證：與、共面．歸納總結(jié)：(1)證明點(diǎn)共線的方法證明點(diǎn)共線的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問(wèn)題，如證明A，B，C三點(diǎn)共線，即證明eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))共線，即證明eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→)).(2)證明點(diǎn)共面的方法證明點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PB,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(OP,\s\up8(→))＋xeq\o(PB,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))或eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件【練習(xí)21】如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，求．考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【例31】如圖所示，已知空間四邊形ABDC的對(duì)角線和每條邊長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)．計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．歸納總結(jié)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.【練習(xí)31】如圖，在平行六面體中，，，，，．求：(1)(2)的長(zhǎng)．歸納總結(jié)：空間向量數(shù)量積的兩個(gè)應(yīng)用1、求夾角設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角2、求長(zhǎng)度(距離)運(yùn)用公式，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.考點(diǎn)四向量法證明平行、垂直【例41】如圖，在直三棱柱中，3，=4，5，(1)求證；(2)在上是否存在點(diǎn)，使得并說(shuō)明理由歸納總結(jié)：向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探索性問(wèn)題的思路(1)根據(jù)題設(shè)條件中的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示。(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．【練習(xí)41】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．三、提升訓(xùn)練【練】1．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝()A．－1B．0C．1D．不確定2．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°．(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)求AC與BD1夾角的余弦值．3．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．作業(yè)布置（見(jiàn)作業(yè)紙）四、師生總結(jié)【結(jié)】1、空間向量的概念、兩個(gè)定理、運(yùn)算法則；2、空間向量的應(yīng)用：（1）線面位置關(guān)系的證明；（2）求線段的長(zhǎng)度或有關(guān)的夾角；3、解決探索性問(wèn)題的思路。75空間向量及應(yīng)用作業(yè)題題號(hào)12345678答案1．在正三棱錐中，是的中心，，則(

)A． B． C． D．2．如圖，在三棱錐中，設(shè)，，，若，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則等于（

）A． B．C． D．4．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N是矩形內(nèi)（包括邊界）的任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．【多選題】正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線與，相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．如圖所示，在正方體中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是______.（填序號(hào)）.①；

②；③；

④.7．在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分