復(fù)變函數(shù) 吉林大學(xué) 5-1

第五章

留數(shù)§5.1

孤立奇點(diǎn)§5.2留數(shù)(Residue)§5.3

留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用2概述留數(shù)理論是級(jí)數(shù)與積分理論相結(jié)合的產(chǎn)物，是復(fù)變函數(shù)論的主要理論，是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具.先對(duì)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類，再討論各類孤立奇點(diǎn)的有效判斷方法。而后，給出留數(shù)的定義，介紹留數(shù)的計(jì)算方法。最后，給出留數(shù)定理，并利用它計(jì)算閉路的積分。它可以把計(jì)算沿著閉路的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)?。。?1.定義

2.分類3.性質(zhì)4.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系§5.1孤立奇點(diǎn)41.孤立奇點(diǎn)的定義例如----z=0為孤立奇點(diǎn)----z=0及zn

=1/n

(n=1,2,…)都是它的奇點(diǎn)----z=-1,2為孤立奇點(diǎn)定義~~~~~~~~~5xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的。62.孤立奇點(diǎn)的分類以下在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)將f(z)展成洛朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開(kāi)式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類?？疾欤禾攸c(diǎn)：沒(méi)有負(fù)冪次項(xiàng)特點(diǎn)：只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)特點(diǎn)：有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)7定義1.1

設(shè)z0是f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0

的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級(jí)數(shù)沒(méi)有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn);只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為m級(jí)極點(diǎn);有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn)。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~判斷孤立奇點(diǎn)類型的第一種方法！83.性質(zhì)

判斷孤立奇點(diǎn)類型的第二種方法！證明：9f(z)在去心鄰域內(nèi)有界!!Cauchy不等式10

z0為f(z)的m(m1)

級(jí)極點(diǎn)分析：例如：11顯然12

z0為f(z)的本性奇點(diǎn)例1.2z=0為f(z)的一個(gè)三級(jí)極點(diǎn)，z=2為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)。例1.3134.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義1.5

對(duì)于不恒等于0的解析函數(shù)f(z),如果它能表示成：則稱z=z0為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。例如：14定理1.3事實(shí)上，必要性得證！充分性略！15例如16定理1.4證明“”

若z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)（函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理）1718定理1.5例如1.5m級(jí)零點(diǎn)n級(jí)零點(diǎn)有哪些奇點(diǎn)？19解：20例如1.7解：起著坐標(biāo)變換的作用??！215.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)下面在擴(kuò)充復(fù)平面上討論函數(shù)的奇點(diǎn)：定義1.6~~~~~~~~~提出問(wèn)題:如何研究函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的性質(zhì)？解決問(wèn)題的方法：要研究函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)

只需考察在零點(diǎn)處的性質(zhì)：為此，我們考察如下反演映射：~~~~~~~22如何映射區(qū)域？23如何構(gòu)造解析函數(shù)？級(jí)數(shù)的復(fù)合運(yùn)算規(guī)定:24定義1.7（1）孤立奇點(diǎn)的判斷方法！注意：變量變換負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)正冪項(xiàng)系數(shù)25于是觀察二者主要部