空間點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系

第八章立體幾何與空間向量§8.3空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系內(nèi)容索引根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類(lèi)深度剖析思想與方法系列思想方法感悟提高練出高分根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.四個(gè)公理公理1：如果一條直線(xiàn)上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi).公理2：過(guò)

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們

過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)

.兩點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上有且只有一條平行知識(shí)梳理1答案2.直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(lèi)平行相交任何(2)異面直線(xiàn)所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角).銳角(或直角)②范圍：.答案3.直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有

、

、

三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有

、

兩種情況.5.等角定理空間中如果兩個(gè)角的

，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).平行相交在平面內(nèi)平行相交兩邊分別對(duì)應(yīng)平行答案判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)如果兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線(xiàn)a，就說(shuō)平面α，β相交，并記作α∩β＝a.()(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線(xiàn).()(3)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于A點(diǎn)，并記作α∩β＝A.()(4)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線(xiàn)段BC.()(5)經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.()(6)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn).()√×××√×答案思考辨析1.以下命題正確的個(gè)數(shù)為()①梯形可以確定一個(gè)平面；②假設(shè)兩條直線(xiàn)和第三條直線(xiàn)所成的角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行；③兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3解析②中兩直線(xiàn)可以平行、相交或異面，④中假設(shè)三個(gè)點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，那么兩個(gè)平面相交，①③正確.C考點(diǎn)自測(cè)2解析答案123452.a，b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c平行于直線(xiàn)a，那么c與b()A.一定是異面直線(xiàn) B.一定是相交直線(xiàn)C.不可能是平行直線(xiàn) D.不可能是相交直線(xiàn)解析由得直線(xiàn)c與b可能為異面直線(xiàn)也可能為相交直線(xiàn)，但不可能為平行直線(xiàn)，假設(shè)b∥c，那么a∥b，與a、b為異面直線(xiàn)相矛盾.C解析答案123453.(教材改編)兩兩平行的三條直線(xiàn)可確定_____個(gè)平面.解析三直線(xiàn)共面確定1個(gè)，三直線(xiàn)不共面，每?jī)蓷l確定1個(gè)，可確定3個(gè).

1或3解析答案123454.(教材改編)如下圖，在長(zhǎng)方體ABCD－EFGH中，AB＝，AD＝，AE＝2，那么BC和EG所成角的大小是___，AE和BG所成角的大小是_____.∴∠EGF＝45°，∴∠GBF＝60°.45°

60°解析答案12345解析答案12345返回在△MON中，MN<OM＋ON∴④正確.答案④

解析

如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接MO、NO，返回題型分類(lèi)

深度剖析例1如下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；證明如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面.平面根本性質(zhì)的應(yīng)用題型一解析答案(2)CE、D1F、DA三線(xiàn)共點(diǎn).證明∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，如下圖.那么由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線(xiàn)DA.∴CE、D1F、DA三線(xiàn)共點(diǎn).解析答案思維升華公理1是判斷一條直線(xiàn)是否在某個(gè)平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線(xiàn)共面的依據(jù)；公理3是證明三線(xiàn)共點(diǎn)或三點(diǎn)共線(xiàn)的依據(jù).思維升華如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝

AD，BE∥AF且BE＝

AF，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；證明由FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，∴四邊形BCHG為平行四邊形.跟蹤訓(xùn)練1解析答案(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面.解析答案例2(1)(2023·廣東)假設(shè)直線(xiàn)l1和l2是異面直線(xiàn)，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線(xiàn)，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交判斷空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系題型二解析答案解析假設(shè)l與l1，l2都不相交，那么l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交.答案D(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，那么以下判斷錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行解析答案解析連接B1C，B1D1，那么點(diǎn)M是B1C的中點(diǎn)，MN是△B1CD1的中位線(xiàn)，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1與B1D1相交，∴MN與A1B1不平行，應(yīng)選D.答案D(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，那么表示直線(xiàn)GH、MN是異面直線(xiàn)的圖形有________.(填上所有正確答案的序號(hào))解析答案解析圖①中，直線(xiàn)GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線(xiàn)GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.答案

②④思維升華空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對(duì)于異面直線(xiàn)，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線(xiàn)，可利用三角形(梯形)中位線(xiàn)的性質(zhì)、公理4及線(xiàn)面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.思維升華如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開(kāi)圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線(xiàn)；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________.跟蹤訓(xùn)練2解析答案解析把正四面體的平面展開(kāi)復(fù)原，如下圖，GH與EF為異面直線(xiàn)，BD與MN為異面直線(xiàn)，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④例3(1)如下圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝∶1，那么異面直線(xiàn)AB1與BD所成的角為_(kāi)__.解析取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，故∠AB1E＝60°.60°求兩條異面直線(xiàn)所成的角題型三解析答案思維升華(2)空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小.解析答案思維升華解如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，解析答案思維升華由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.思維升華(1)求異面直線(xiàn)所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類(lèi)型：利用圖中已有的平行線(xiàn)平移；利用特殊點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線(xiàn)平移；補(bǔ)形平移.(2)求異面直線(xiàn)所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求〞.其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)〞，通過(guò)作三角形的中位線(xiàn)，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線(xiàn)所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，進(jìn)而求解.思維升華(1)(2023·大綱全國(guó))正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)CE與BD所成角的余弦值為()跟蹤訓(xùn)練3解析答案設(shè)其棱長(zhǎng)為2，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，連接CO，那么EF∥BD，那么∠FEC就是異面直線(xiàn)CE與BD所成的角.△ABC為等邊三角形，那么CE⊥AB，解析畫(huà)出正四面體ABCD的直觀(guān)圖，如下圖.解析答案答案B故CE＝CF.因?yàn)镺E＝OF，所以CO⊥EF.(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，假設(shè)∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，那么異面直線(xiàn)BA1與AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°解析答案返回∴AC1∥BD1.∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1.又易知△A1BD1為正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1與AC1成60°的角.答案C解析如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，返回思想與方法系列典例m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β為兩個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：①假設(shè)m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；②假設(shè)m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；③假設(shè)m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；④假設(shè)m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n.其中所有正確的命題是()A.①④ B.②④ C.① D.④思維點(diǎn)撥構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體模型，找出適合條件的直線(xiàn)與平面，在長(zhǎng)方體內(nèi)判斷它們的位置關(guān)系.思想與方法系列15.構(gòu)造模型判斷空間線(xiàn)面位置關(guān)系思維點(diǎn)撥解析答案溫馨提醒返回解析借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)解決此題，對(duì)于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對(duì)于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示，故②不正確；對(duì)于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示，故③不正確；對(duì)于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因?yàn)閚∥β，所以過(guò)n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線(xiàn)g平行，因?yàn)閙⊥g，所以m⊥n，故④正確.答案A返回溫馨提醒(1)構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造合題意的直觀(guān)模型，然后將問(wèn)題利用模型直觀(guān)地作出判斷，這樣減少了抽象性，防止了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤；(2)對(duì)于線(xiàn)面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體化抽象為直觀(guān)去判斷.返回溫馨提醒思想方法

感悟提高1.主要題型的解題方法(1)要證明“線(xiàn)共面〞或“點(diǎn)共面〞可先由局部直線(xiàn)或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線(xiàn)或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法〞).(2)要證明“點(diǎn)共線(xiàn)〞可將線(xiàn)看作兩個(gè)平面的交線(xiàn)，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線(xiàn)上，因此共線(xiàn).方法與技巧2.判定空間兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線(xiàn)和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).(2)反證法：證明兩線(xiàn)不可能平行、相交或證明兩線(xiàn)不可能共面，從而可得兩線(xiàn)異面.3.求兩條異面直線(xiàn)所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線(xiàn)，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線(xiàn)所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往可以選在其中一條直線(xiàn)上(線(xiàn)面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.1.正確理解異面直線(xiàn)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)〞的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)〞.2.不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線(xiàn)〞條件.3.兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是(0°，90°].失誤與防范返回練出高分12345678910111213141.在以下命題中，不是公理的是()A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B.過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C.如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)15解析答案1234567891011121314解析

選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來(lái)的，而公理是不需要證明的.答案A152.(2023·廣東)假設(shè)空間中四條兩兩不同的直線(xiàn)l1，l2，l3，l4，滿(mǎn)足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定123456789101112131415解析答案解析在如下圖的長(zhǎng)方體中，23456789101112131415不妨設(shè)l2為直線(xiàn)AA1，l3為直線(xiàn)CC1，那么直線(xiàn)l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；這三組直線(xiàn)相交，平行，垂直，異面，應(yīng)選D.答案D1234567891011121314153.直線(xiàn)a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線(xiàn)b和c，那么直線(xiàn)b和c的位置關(guān)系是()A.相交或平行 B.相交或異面C.平行或異面 D.相交、平行或異面解析依題意，直線(xiàn)b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，應(yīng)選D.D解析答案123456789101112131415A解析答案123456789101112131415解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CD∥AB，那么CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.B解析答案1234567891011121314156.(教材改編)如下圖，平面α，β，γ兩兩相交，a，b，c為三條交線(xiàn)，且a∥b，那么a與c，b與c的位置關(guān)系是________.解析∵a∥b，a?α，b?α，∴b∥α.又∵b?β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.a∥b∥c解析答案1234567891011121314157.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直線(xiàn)EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)_.解析EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行.所以與EF相交的側(cè)面有4個(gè).4解析答案1234567891011121314158.(2023·浙江)如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)AN，CM所成的角的余弦值是________.解析答案123456789101112131415解析如下圖，連接DN，取線(xiàn)段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK.∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴MK∥AN，∴∠KMC為異面直線(xiàn)AN，CM所成的角.∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)，解析答案123456789101112131415在△CKM中，由余弦定理，得19.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，那么在空間中與三條直線(xiàn)A1D1，EF，CD都相交的直線(xiàn)有________條.23456789101112131415解析答案123456789101112131415解析方法一在EF上任意取一點(diǎn)M，直線(xiàn)A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線(xiàn)MN與這3條異面直線(xiàn)都有交點(diǎn).如下圖.解析答案1方法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，那么PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線(xiàn).由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與三條直線(xiàn)A1D1，EF，CD都相交.23456789101112131415答案無(wú)數(shù)12345678910111213141510.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿(mǎn)足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過(guò)E、F、G的平面交AD于點(diǎn)H.(1)求AH∶HD；解析答案123456789101112131415∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.123456789101112131415(2)求證：EH、FG、BD三線(xiàn)共點(diǎn).∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形.令EH∩FG＝P，那么P∈EH，而EH?平面ABD，又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線(xiàn)共點(diǎn).解析答案12345678910111213141511.以下四個(gè)命題中，①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)；②假設(shè)點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，那么點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③假設(shè)直線(xiàn)a、b共面，直線(xiàn)a、c共面，那么直線(xiàn)b、c共面；④依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析答案123456789101112131415解析①中顯然是正確的；②中假設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，那么A、B、C、D、E五點(diǎn)不一定共面；③構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，如圖顯然b、c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線(xiàn)段不共面，故只有①正確.答案B112.如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線(xiàn)DE翻折成△A1DE.假設(shè)M為線(xiàn)段A1C的中點(diǎn)，那么在△ADE翻折過(guò)程中，下面四個(gè)命題中不正確的選項(xiàng)是()A.|BM|是定值B.點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)C.存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CD.存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE23456789101112131415解析答案1解析取DC中點(diǎn)N，連接MF，BF，MF∥A1D且MF＝

A1D，23456789101112131415FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得A、B正確.由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正確；A1C在平面ABCD中的射影與AC