高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步練習(xí)與檢測試卷

選擇性必修二《4.4數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步練習(xí)

基礎(chǔ)練

一、單選題

1.如果f(n)=l+1+1+"?+」一(ndN),那么f(n+l)-f(n)等于()

233?-1

A.」±1

H-----------

3n+2民3〃+1

3n

±11

C.H-------------1------------

3〃+l3n+23〃+13幾+2

31151Dl.3±n

2.觀察下列式子：1+]<1+7

一

++一+

一

<+一

2-3-1〈一，…，則可歸納出

232232424

11

小于()

(〃+1產(chǎn)

n2n-l八2〃+l02n

A.B.----C,-----D.----

n+1〃+1〃+ln+\

3.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足“當(dāng)f(k)NY成立時總可推出

何1<+1)與(1<+1)2成立.”則下列命題總成立的是()

A.若f(3)29成立,則當(dāng)k》l時,均有f(k)成立

B.若f(5)>25成立,則當(dāng)kW5時,均有f(k)2k2成立

C.若f(7)<49成立,則當(dāng)kN8時,均有f(k)<k?成立

D.若f(4)=25成立,則當(dāng)k>4時，均有f(k)2k?成立

4.已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-1+---+-+—=2|—^+——

234nA[〃+2〃+42/2

時，若已假設(shè)n=k(k22,k為偶數(shù))時命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證()

A.n=k+1時等式成立B.n=k+2時等式成立

C.n=2k+2時等式成立D.n=2(k+2)時等式成立

5.在數(shù)歹!J{a#中,a[二』，且Sn=n(2n—l)an,通過求a2,a3,a1,猜想an的表達式為()

3

111

A.----------B.---------C.-------------

(〃-1)(〃+1)2〃(2〃+1)(2n-l)(2n+l)

D.―1

(2〃+1)(2〃+2)

6.己矢口f+'+———I——-—+…+',則()

n-1nn+l〃+2n~

A.f(n)中共有n項，當(dāng)n=2時,f(2)=』+L

23

B.f(n)中共有(n+1)項,當(dāng)n=2時,f(2)=1+4+,+，

234

C.f(n)中共有(r?-n+2)項，當(dāng)n=2時,f(2)=1+—+—+—

234

D.f(n)中共有(n'-n+l)項,當(dāng)n=2時,f(2)=1+—+—+—

234

二、填空題

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題"1+!+!+…組工(n《N.,且n,2)”時,第一步要證明

232"2

的結(jié)論是.

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式,當(dāng)n=k時,表達式為

1X4+2X7+…+k(3k+l)=k(k+1)2,1則當(dāng)n=k+l時,表達式為.

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的不等式」一+—!—+…+」->上(n￡N),由n=k遞推到

n+1n+2In24

n=k+l時,不等式的左邊的變化為.

三、解答題

10.用數(shù)學(xué)歸納法證明J+22+32+…+/=幽上IX也里2(nGN.).

參考答案

1.【答案】D

【解析】Vf(n+l)=l+—+-+???+

233/?-13/13(〃+1)-23(〃+1)-1

111

fn/(nx)=l+—!>一+???+----

233〃-l

+」

/.f(n+1)-f(n)=—H---------

3n3(〃+1)?23(〃+1)-1

111

------1-------------1------------

3n3n+l3〃+2

故選D

2.【答案】C

【解析】所猜測的分式的分母為n+1,而分子3,5,7,…,恰好是第(n+1)個正奇數(shù),即2n+l.

故選C

3.【答案】D

【解析】由數(shù)學(xué)歸納法原理可得，

若f(3)29成立,則當(dāng)心3時,均有f(k)2k2成立,即A不正確.

若f(5)225成立,則當(dāng)k25時,均有f(k)2k2成立,即B不正確.

若f(7)<49成立,則當(dāng)kW6時,均有f(k)。?成立,即C不正確.

若f(4)=25>4?成立,則當(dāng)心4時,均有f(k)2k?成立.

故選D

4.【答案】B

【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟,若已假設(shè)n=k(k22,k為偶數(shù))時命題成立,則還需要用歸

納假設(shè)證下一個偶數(shù),即n=k+2時等式成立.

故選B

5.【答案】C

【解析】:,由ai=—,S?=n(2n-l)a?,得S2=2(2X2-l)a2,

3

BPa.i+a2=6a2,o,2=—=---.

153x5

S3=3(2X3-1)as,即'+'+a產(chǎn)15a”

315

—

355x7

同理可得出=—!-.

7x9

]

據(jù)此可猜想a?=

(2〃-1)(2〃+1)

故選C

6.【答案】C

【解析】f(n)中共有n'-(n-O+^n'-n+S項，當(dāng)n=2時,f(n)=l+—+—+—.

234

故選C

__1112+2

7.【答案】1+—+-+—>---

2342

【解析】因為n》2,所以第一步要證的是當(dāng)n=2時結(jié)論成立，即1+：+；+；>竽.

2342

1112+2

故填1+—+—+—>-------

2342

8.【答案】lX4+2X7+-+k(3k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+l)(k+2)2

【解析】lX4+2X7+-+k(3k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+l)(k+2)2

故填lX4+2X7+-+k(3k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+l)(k+2)2

9.【答案】增加，一1

2k+\2k+2

【解析】假設(shè)n=k時,不等式成立，即…+-L>11,

k+\k+22k24

則當(dāng)n=k+l時,不等式左邊=一一~\-------------------+???+-------1---------------1---------------

(z+1)+1(&+1)+22k2k+12(k+1)

11111

-----------1----------+???+-------1---------------1-------------

k+2k+32k2k+i2k+2

iiiCiii

----------1-----------+???+--------F------------1------------------------

攵+1k+22k(2火+12k+2k+1

-----+------+…+—+-------1

A+lk+22k2k+l2k+2

故填增加，一

2k+12&+2

10.【答案】證明略

【解析】證明：⑴當(dāng)n=l時，左邊=代1,右邊=1x0+m2x1+1)=],等式成立

6

⑵假設(shè)當(dāng)n=k(k'l,kwN)時等式成立，即l2+22+-+k^fe(fe+1)(2A：+1),

6

則當(dāng)n=k+l時,

(表+1)(2/+7表+6)/+1)(%+2)(2%+3)

-6一丁

(A+1)[(A+1)+1][2(4+1)+1]

6，

即當(dāng)n=k+l時等式也成立.

由(1)和(2),可知等式對任何nGN.都成立.

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步練習(xí)

提高練

一、單選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明"5"-2"能被3整除”的第二步中,n=k+l時,為了使用假設(shè),應(yīng)將5k

2皿變形為()

A.(5"-2k)+4X5k-2kB.5(5k-2k)+3X2kC.(5-2)(5k-2k)

D.2(5k-2")-3X5.

2.已知1+213+3*32+4><33+“5><3鵬=3"(碉-1))+(:對一切門3+都成立,則小1),<:的值為

()

A.a=—,b=c=—B.a=b=c=—

244

C.a=0,b=c=—D.不存在這樣的a,b,c

4

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式;+g+；+…+擊>]-1(〃6'*,〃22)時，以下說法正

確的是()

A.第一步應(yīng)該驗證當(dāng)〃=1時不等式成立

B.從“〃=%到〃=k+1”左邊需要增加的代數(shù)式是二

C.從“〃=%到〃=%+1”左邊需要增加2*項

D.從到九=%+1”左邊需要增加的代數(shù)式是"一+Y—+???+】

2?】+i2^4-22人

4.已知數(shù)列｛%｝滿足0<4<1,a｝(Ze/?),若對于任意〃eN"都有

n+an+,

o<??<an+l<3,則f的取值范圍是()

A.(-1,3]B.[0,3]C.(3,8)

D.(8,+00)

二、填空題

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n￡N,時，1+2+22+2%…+2麗'是31的倍數(shù)"，當(dāng)n=l時，原式

為，從k到k+1時需增添的項是.

6.已知函數(shù)/(x)=土，對于〃eN*，定義(尤)=工［力(力］，則力39(力的解析

式為—

三、解答題

7.1?22+2?32+3?44…+n?(n+l)'幽土2?(ad+bn+c)對于一切正整數(shù)n都成立?并說

12

明你的結(jié)論.

答案解析

1.【答案】B

【解析】假設(shè)當(dāng)n=k時,A2k能被3整除，當(dāng)n=k+l時，作如下變形:小引飛襦*-

2X2=5X5-5X2k+3X2k=5(5k-2k)+3X2k,就可以應(yīng)用假設(shè).故選B.

故選B

2.【答案】A

【解析】???等式對一切neN.都成立，當(dāng)n=l,2,3時等式成立,將其分別代入等式,得

1=3(a-b)+c,

<1+2x3=32(2a-b)+c,解得a=,，b=c=L.

1+2X3+3X32=33(3>a-b)+c,

故選A

3.【答案】D

【解析】第一步應(yīng)該驗證當(dāng)〃=2時不等式成立，所以A不正確;

11111111、111

因為1-----1-----F,■?H---;(1-----1-----1-…H;~~-)=-;~~:------1;~~:-------F-------，

2342*2342t-1+12k-'+22k

所以從“〃=%到〃=Z+1”左邊需要增加的代數(shù)式是L++…+

7r,所以

2k~'+12"'2

3不正確;

所以從“〃=攵到〃=左+1”左邊需要增加21項，所以C不正確。

故選D

4.【答案】B

4a+3

【解析】用排除法：當(dāng)1=3時，?！?】=明顯有為>°，

4+2

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明4<3,

當(dāng)〃=1時，0<q<1<3,成立;

假設(shè)當(dāng)〃=%時，為<3成立，

4劣+35.5、

則當(dāng)“=%+1時，％+i=——=4------<4-——=3,

ak+2ak+23+2

所以當(dāng)〃=Z+I時，%+i<3成立，

綜上：對任意〃wN*，都有〃〃<3；

44+3_4a?+3-c^n-2a?_(-??+3)(??+1)

另外％一?！↘"一

所以4<《用，

所以當(dāng)，=3時，。<%<4,+i<3恒成立，排除CD；

1

當(dāng)一加心4a--44a—

"2,若〃=1,則’2,因為0<q<l,此時生<0

Ct9—

q+2~q+2

是有可能的，故排除A,

故選B.

5.［答案］1+2+22+23+2',25k+25ktl+25kt2+25k*3+25l<M

【解析】；當(dāng)n=l時,原式應(yīng)加到25X1=2",

原式為1+2+22+23+24.

從k到k+1時需添上25k+25k，1+-+25(ktl)-1.

2345k5k+15kt25M5kt4

故填1+2+2+2+2,2+2+2+2+2

x

6.【答案】

2019x4-1

【解析】?.?函數(shù)對于〃eN*，定義口仆）=九/.（功,

X

771二%

x+]2x+1

X+1

X

X

力（力=加&（幻］=工2x+l=1

2x4-1，+1飛+1

2x+l

.￥

x3x+l二尢

力（幻=）［力（X）］=J

3x+l上+J4x+1

3x+l

由此可以猜想/,（%）=x

nx+\

x

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)〃=1時，/（尤）=彳，顯然成立;

Y

假設(shè)〃=%時成立，即入（x）=^一

依+1

X

X,4—

則〃=攵+1時，加（力=川啟切=息+1西訶也成“

kx+\

x

故工(x)=

nx+l

x

?二人019(%)=

2019x+l

X

故填一--.

2019X+1

7.【答案】存在a=3,b=ll,c=10使等式對一切正整數(shù)n都成立，證明略

【解析】假設(shè)存在常數(shù)a,b,c,使等式對于一切正整數(shù)n成立,

4=，(〃+/7+c),

令n=l,2,3得《22=—(4a+2b+c),

2

70=9。+3人+c,

a+b+c=24,4=3,

整理得《4。+2。+c=44,解得<b=ll,

9。+3〃+c=70,c=10.

令S?=l?2?+2?32+3?42+-+n?(n+1)2.

?(+

于是對于n=l,2,3,等式Sn=--(3n2+lln+10)成立.

12

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對于一切nGN,都成立,過程如下：

①當(dāng)n=l時，已得等式成立.

②假設(shè)n=k(k2l,keN)時,等式成立，

即Sk=」"+D(3k2+llk+10),

12

2

則n=k+l時,Sk+i=Sk+(k+l)(k+2)

=k**0(3k2+llk+10)+(k+l)(k+2)2

12

='*+1)(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)2

12

=(A+l)("+2)[k(3k+5)+12(k+2)]

12

=(左+l)(Z+2)=(k+i)2+ii(k+i)+io]

12

/.當(dāng)n=k+l時,等式也成立.

根據(jù)①②可以斷定,對于一切n^N,等式都成立,即存在a=3,b=U,c=10使等式對一切正整數(shù)

n都成立.

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步檢測試卷

一、單選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明—1+3—5+…+(—1)"(2〃-1)=(—1)”“，成立.那么，“當(dāng)

“=1時，命題成立”是“對時，命題成立”的()

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“i+a+/+3+M+i=L_^(awL〃￡N*)"，在驗證〃=1是

1一。'7

否成立時，左邊應(yīng)該是()

A.1B.1+。C.1+。+。2D.\+a+a2+CT1

3.某個命題與自然數(shù)〃有關(guān)，若〃=k(ZeN")時命題成立，那么可推得當(dāng)〃=%+1時該

命題也成立，現(xiàn)已知〃=5時，該命題不成立，那么可以推得()

A.〃=6時該命題不成立B.〃=6時該命題成立

C.〃=4時該命題不成立D.〃=4時該命題成立

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式工+,+,+…+二>"—1（〃61<,〃..2）時，以下說法正

2342"-12'7

確的是（）

A.第一步應(yīng)該驗證當(dāng)〃=1時不等式成立

B.從“〃=%到〃=攵+1”左邊需要增加的代數(shù)式是］

C.從“〃=%到〃=Z+1”左邊需要增加力項

D.以上說法都不對

42

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+〃2=L±ZL,則當(dāng)〃=左+1時，左端應(yīng)在〃=人的

2

基礎(chǔ)上加上（）

A.左2+1B.（左+1）

C,伊+1）+（女2+2）+…+（2+1）2口.（"+1）+（"+1

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，1+2+3+…+2〃=〃（2"+1）時，由“=%到〃=k+l時，等

式左邊應(yīng)添加的項是（）

A.2k+\B.2k+2

C.（2攵+1）+（2攵+2）D.（左+1）+（攵+2）+…+2左

7.用數(shù)學(xué)歸納法證：1+^+1+…+，一<

:〃（〃wN*時〃>1）第二步證明中從“k

2320-1

到k+1”左邊增加的項數(shù)是（）

A.2"+1項B.2*—1項C.項I）.2*項

8.已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

,1111（11…+二］時，若已假設(shè)〃=女色22為偶數(shù)）

1一一+-----+...+----=2----+----+

23471+1［〃+2〃+42n）

時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證〃=（）時等式成立

A.〃=攵+1B.n=k+2C.n=2k+2D.〃=2伙+2）

11,N。時，從〃=攵到〃=攵+1,不等式左邊

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明---------1------+---...+

幾+1n+23〃6

需添加的項是（）

1111

A.-----1-------------1-------B.+」

3女+13后+23k+33Z+13k+23k+3k+1

11

C.-----D.

3&+13A+3

nr1+1）

10.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+〃，則當(dāng)〃=Z+1時，左端應(yīng)在

~2

〃=人的基礎(chǔ)上加上（）

A.k2+1B.（女+1）2

D.（公+貼+2）

C.（左2+1）+（左2+2）+…+（左+1）2

2

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明"5"-2"”能被3整除”的第二步中〃=左+1時，為了使用假設(shè),

應(yīng)將5』一2=變形為（）

A.（5*-2i'）+4x5i-2*B.5（5A'_2i'）+3x2*

C.（5-2）（5x-2A）D.5（5*-2A）-3X5"

12.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S”=/,數(shù)列也｝滿足d=k）g,4盧（0<“<1）,（是

數(shù)列也,｝的前“項和，若M“=glog“a”+1,則工,與M”的大小關(guān)系是（）

A.Tn>MnB.Tn>MnC.Tn<M?D.T?<M?

二、填空題

13.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+；+；+?一+5匕<〃（〃€7^*,〃>1）”時，由〃=k（%>l）不

等式成立，推證〃=左+1時，則不等式左邊增加的項數(shù)共項

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，1+2+3+…+2〃=〃（2"+1）時，由〃=左至!]〃=k+l時，

等式左邊應(yīng)添加的項是

（2攵+1）+（24+2）（24+1）+（2Z+2）15.凸n邊形的對角線的條數(shù)為/（〃），則凸〃+1

邊形有對角線條數(shù)/'（〃+1）為

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明」一+—1—+……時，從〃=攵到〃=%+1,不等式左

n+1〃+23力6

邊需添加的項是.

17.已知正項數(shù)列｛?！埃凉M足4=1,前〃項和5.滿足45“=（47+3）2（〃22,〃€叱），

則數(shù)列｛4｝的通項公式為.

18.已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,數(shù)列⑸｝的前"項積為7；,若S,+27；=l,

則數(shù)列|\中最接近2019的是第項?

三、解答題

19.求證：（〃+1）（〃+2）…（2〃）=2"…?（2〃—1）.

20.用數(shù)學(xué)歸納法證明：l+2+1+，+...+I—

2342”-1

八1、

21.已知數(shù)列4用=（1+—）??,〃eN*，且q=1.

2

（1）若也｝的前"項和為g,求｛〃,,｝和也｝的通項公式

,o9

（2）若仇=〃",求證：an<—

22.設(shè)數(shù)列｛%｝為前〃項和為S“，4=2,數(shù)列｛S.+2｝是以2為公比的等比數(shù)列.

（1）求;

（2）抽去數(shù)列?！敝械牡?項，第4項，第7項，…，第3”—2項，余下的項順序不變,

組成一個新數(shù)列｛5｝,若｛j｝的前〃項和為北，求證：

答案解析

一、單選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明一1+3-5+…+（-1）"（2〃-1）=（一1）”〃，成立.那么，“當(dāng)

〃=1時，命題成立”是“對〃eN*時，命題成立”的（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】“當(dāng)〃=1時，命題成立”不能推出“對〃wN*時，命題成立”，

“對〃eN*時，命題成立”可以推出“當(dāng)〃=1時，命題成立”，

所以“當(dāng)〃=1時，命題成立"是“對“wN*時，命題成立”的必要不充分/

故選B

1_〃〃+2

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明"1+4+42+.??+征用=，在驗證〃=1是

1-（2V'

否成立時，左邊應(yīng)該是（）

A.1B.1+aC.l+a+a~D.1+

【答案】C

【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+4+〃2+...+尸=1?。╝wl,〃eN*）”,在驗證

”=1時，把”=1代入，左邊=1+。+/.

故選C.

3.某個命題與自然數(shù)〃有關(guān)，若〃=女伙eN*）時命題成立，那么可推得當(dāng)〃=%+1時該

命題也成立，現(xiàn)已知〃=5時，該命題不成立，那么可以推得（）

A.〃=6時該命題不成立B.〃=6時該命題成立

C.〃=4時該命題不成立D.〃=4時該命題成立

【答案】C

【解析】假設(shè)“=4時該命題成立，由題意可得〃=5時，該命題成立，而〃=5時，該命

題不成立，所以〃=4時，該命題不成立.而〃=5時，該命題不成立，不能推得〃=6該命

題是否成立.

故選C.

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4+，+，+…+人>〃—時，以下說法正

確的是()

A.第一步應(yīng)該驗證當(dāng)〃=1時不等式成立

B.從“〃=々到〃=%+1”左邊需要增加的代數(shù)式是]

C.從“〃=%到〃=攵+1”左邊需要增加2*項

D.以上說法都不對

【答案】D

【解析】第一步應(yīng)該驗證當(dāng)n=2時不等式成立,所以A不正確；

…1111/111、111

因為1---1--1-…H(1----1--1-…d-)=——----1-----F??■―-,

2342*2342k-'2k-'+12*-|+22*

所以從“〃=%到〃=后+1”左邊需要增加的代數(shù)式是7+^/一^+…+所以

2^+121+22人

B不正確；

所以從“〃=%到”=后+1”左邊需要增加21項，所以C不正確。

故選D

42

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+...+〃2=土上匕，則當(dāng)“=%+1時，左端應(yīng)在“=女的

2

基礎(chǔ)上加上()

A.k2+\B.(左+1)?

C.(公+1)+(左2+2)+…+(左+])2D.(>+1)+("+1)

【答案】C

【解析】當(dāng)n=k時,等式左端=1+2+…+k)

當(dāng)n=k+l時等式左端=1+2+…+?+1^+1+1^+2+…+(k+1)?增加了項(k2+l)+(kz+2)+

(k2+3)+???+(k+1)2.

故選c.

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，1+2+3+...+2〃=〃（2〃+1）時，由〃=%到〃=%+1時，等

式左邊應(yīng)添加的項是（）

A.2k+\B.2k+2

C.（2攵+1）+（2攵+2）D.（左+1）+（左+2）+...+2左

【答案】C

【解析】因為要證明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由〃=%到〃=左+1時，等式左邊

增加了

[1+2+3+.??+2&+（2左+1）+2（左+1）]—（1+2+3+.—+2左）=（2k+1）+（2&+2）,

故選C.

7.用數(shù)學(xué)歸納法證：1+2+1+?"+，一<〃（〃€N*時〃>1）第二步證明中從“上

232"-1

到Z+1”左邊增加的項數(shù)是（）

A.2"+1項B.2衣-1項C.21項D.2人項

【答案】D

【解析】當(dāng)〃=%時，左邊=l+；+g+…+手匕，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有

2k-1項；

當(dāng)〃=%+1時，左邊=1+^+^+"'+王七，共有2印一1項：

所以從“出到k+1”左邊增加的項數(shù)是2"1—1—（2*-1）=2"項.

故選D

8.已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

1—q+彳—…H------2|-----+???+-若已假設(shè)〃—k（k>2為偶數(shù)）

234n+1<〃+2〃+4In）

時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證〃=（）時等式成立

A.n=k+\B.n=k+2C.〃=2左+2I）.〃=2（左+2）

【答案】B

【解析】若己假設(shè)n=k（k22,k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù),

所以還需要證明好1<+2成立.、

故選B.

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明」一+」一+

+—>-Bt,從〃=%到〃=%+1,不等式左邊

n+\n+23n6

需添加的項是（）

111

A.-----1-------1------

3左+13k+23k+33k+13k+23k+3Zc+1

、11

“3k+]3A+3

【答案】B

【解析】當(dāng)〃=攵時，所假設(shè)的不等式為:二+丁=+……+

k+lk+23k6

當(dāng)〃=Z+1時，要證明的不等式為

，+，+…+L

k+2k+23k3左+13女+23k+36

故需添加的項為:--------1----------1-----------------

3&+13k+23k+3&+1

故選B.

〃2儲2+。

10.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+"=」____L,則當(dāng)“=2+1時，左端應(yīng)在

2

〃=人的基礎(chǔ)上加上（）

A.k2+lB.（左+1）?

C.（公+1）+儼+2）+…+（左+爐口.（*+]）（*+2）

【答案】C

【解析】當(dāng)"=%時，等式左端=1+2+...+/,

當(dāng)〃=攵+1時，等式左端=1+2+...+%2+左2+1+&2+2+3+（左+［）2,

增加了項儼+1）+（%2+2）+（公+3）+…+（k+i）2.

故選C.

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明能被3整除”的第二步中〃=左+1時，為了使用假設(shè)，

應(yīng)將51_2川變形為（）

A.（5"—2"）+4x5*—2&B.5（5*—2*）+3x2*

C.（5-2）（5*-2*'）D.5（5*-2。-3x5*

【答案】B

【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，

當(dāng)〃=攵+1時，

應(yīng)將5日—2A+I變形為5（5?—2"）+3x2。

此時，5（5"—2”）和3x2k都可以被3整除.

故該變形是合理的.

故選瓦

12.已知數(shù)列｛q｝的前w項和S”=/,數(shù)列也卜滿足“=log“4盧（0<。<1）,7；是

數(shù)列也｝的前〃項和，若此=Jog“a用，則q與此的大小關(guān)系是（）

A.Tn>MnB.Tn>MnC.Tn<MnD.T?<Mn

【答案】C

【解析】因為S,=〃2,所以4=1,4=5.-51=2"-1（〃22）適合11=1,所以%二2〃-1.

2〃

所以a=log"：；_

2n-l

i2[4]6]2ni2462n.

所以7；=log?-+log?-+log“-+log?-~~-=log（z-x-x-x...-~-）

1352n-la1352n-l

=；log??,I+I=1log?（2n+1）=log?J2〃+1,

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式…X嚓（嵩（女心

右邊W

（1）當(dāng)〃=1時，左邊左邊（右邊，不等式成立,

2

,2n—12n

(2)?.?4n2-l<4n2,即(2〃+1)(2〃-1)<(2〃y.HP^—<-~~-

2〃2/1+1

.以+1_1_

"2(k+1)(J2k+3'

假設(shè)當(dāng)〃=%時，原式成立，BP^X1X...X^-1<-=L=,

232k2k+1

m,,，…i12k2k+112k+\12k+l1

那么當(dāng)〃=Z+1時，1即1rl1X—X...X-----X------<—,?-------=-------<—],

232k2(^+1)V2I+T2(*+1)2a+1)

即〃=%+1時結(jié)論成立.

根據(jù)（1）和（2）可知不等式對任意正整數(shù)〃都成立.所以

246277

—X—X—X->V2n+1,

1352n-l

2462n1-----

因為0<aVl,所以----)<logrt5/277+1,

1352〃一1

所以r

故選c

二、填空題

13.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+,+!+…時，由"=-4>1）不

等式成立，推證〃=k+1時，則不等式左邊增加的項數(shù)共項

【答案】2k

【解析】當(dāng)〃=左（左>1）時，不等式左邊為1+,+工+…+一一，

232*-1

當(dāng)“=%+1伏>1）時，不等式左邊為1H----1-----1■…H—------1——+,??H——-----,

232*-12k2k+'-1

則由〃=/（%>1）不等式成立，推證〃=左+1時，

則不等式左邊增加的項數(shù)共一1—2*+1=2*項，

故填

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，1+2+3+...+2〃=〃（2"+1）時，由〃=々到“=k+l時，

等式左邊應(yīng)添加的項是.

【答案】（24+1）+（2%+2）

【解析】因為要證明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由〃=%到〃=%+1時，等式左邊

增加了

口+2+3+.—+2女+（2左+1）+2（女+1）］—（1+2+3+.—+2女）=（2女+1）+（2左+2）

故填（2Z+l）+（2Z+2）.

15.凸n邊形的對角線的條數(shù)為/（〃），則凸〃+1邊形有對角線條數(shù)/（〃+1）為

【答案】fW+n-l

【解析】在凸n邊形的一邊外加一點，此點與該邊的兩點連接可得到凸〃+1邊形，因此原

凸n邊形的這條邊變?yōu)閷蔷€，增加的第〃+1個頂點與原來凸n邊形的〃-2頂點的連線

也是增加的對角線，共增加了〃-2+1=〃一1條，所以/（〃+1）=/（"）+”-1.

故填/（〃）+〃—1.

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明」一+―!—+……時，從〃=%到〃=%+1,不等式左

H+1〃+23〃6

邊需添加的項是.

【答案】,/,+_/_+_/_--r~—

3k+13Z+23%+3攵+1

【解析】當(dāng)〃=%時，所假設(shè)的不等式為丁工+丁工+……,

k+\k+23k6

當(dāng)〃=%+1時，要證明的不等式為

+-------+.....+-----1-

A+2k+23k3&+13k+23k+36

故需添加的項為:

3A+13k+23A+3Z+l

故填------1-----------1-------------------.

3k+l3k+23k+3k+\

17.已知正項數(shù)列｛4,｝滿足q=1,前〃項和S“滿足4s“=(《-+3)2(〃N2,〃wN*),

則數(shù)列｛4｝的通項公式為an=.

【答案】2〃一1

【解析】當(dāng)〃=1時，4=1；

當(dāng)〃