高三百日沖刺金卷全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（三）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國(guó)II卷·理數(shù)（三)注意事項(xiàng)：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置．3．全部答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．本試卷滿分150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘．5．考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容．第I卷一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合,根據(jù)補(bǔ)集定義，即可求得答案?！驹斀狻?.故選:C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)集運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握集合補(bǔ)集定義，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2。已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為(）A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)，求得，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)定義,即可求得答案?！驹斀狻俊９蔬x：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,解題關(guān)鍵是掌握共軛復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。3.在中，，，為上一點(diǎn),且，，則的長(zhǎng)為（)A。 B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】分析】設(shè),由余弦定理，,即可求得答案.【詳解】設(shè),由余弦定理;即①;即，②又③由①②③可得.,.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)余弦定理解三角形,解題關(guān)鍵是掌握余弦定理公式和靈活使用誘導(dǎo)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。4。在正多邊形中,只有三種形狀能用來(lái)鋪滿一個(gè)平面圖形而中間沒有空隙，分別是正三角形、正方形、正六邊形，稱之為“正多邊形的鑲嵌規(guī)律”．已知如圖所示的多邊形鑲嵌的圖形,在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形的概率是(）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出整個(gè)的面積以及符合條件的面積,代入幾何概型計(jì)算公式即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)小三角形的邊長(zhǎng)為，每個(gè)小三角形的面積為，個(gè)小三角形的面積之和為，又因長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，所以個(gè)正方形的面積為，所以此點(diǎn)取自正方形的概率是．故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5。某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A。 B. C. D。【答案】A【解析】【分析】結(jié)合三視圖可得該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，高為的正四棱錐，上半部分是一個(gè)直徑為的半球，即可求得答案.【詳解】結(jié)合三視圖可得該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，高為的正四棱錐，上半部分是一個(gè)直徑為的半球，該幾何體的體積為：。故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求幾何體體積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和椎體體積公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)，分別在雙曲線的兩條漸近線上,軸，，四邊形為梯形，則雙曲線離心率的取值范圍是()A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，然后求解的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可.【詳解】解：設(shè),所以，直線的方程為，直線的方程為，解得,,又直線的方程為,則，，又因?yàn)?，所以，?。故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，結(jié)合向量知識(shí),屬于基礎(chǔ)題。7。函數(shù)的圖象大致為()A。 B.C。 D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性,結(jié)合具體函數(shù)值,進(jìn)行排除即可.【詳解】易知定義域?yàn)椋?，為偶函?shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，排除C，又，排除A和D.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷,考查了函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題。8.如圖給出的是計(jì)算的值的程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是（）A。 B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,分析循環(huán)中各變量值的變化情況，即可求得答案?！驹斀狻吭摮绦虻墓δ苁抢醚h(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,可得,，,，，，，,，，。故選：C.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握框圖基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知大于的實(shí)數(shù)，滿足,則下列結(jié)論正確的是（)A。 B.C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】因?yàn)?，，因?yàn)?，所?逐項(xiàng)判斷,即可求得答案?！驹斀狻浚?，，，，,對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，可得，故B正確；對(duì)于C，,大小不確定,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,根據(jù)，可得,故D錯(cuò)誤。故選:B.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和不等式基礎(chǔ)知識(shí),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，若拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的不同兩點(diǎn)和，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(）A。 B. C. D。【答案】A【解析】【分析】求得曲線,設(shè)點(diǎn)，，代入曲線方程,求出，又由,關(guān)于直線對(duì)稱得出，進(jìn)而求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)?！驹斀狻拷猓阂?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，所以．設(shè)點(diǎn),．則,則,,又,關(guān)于直線對(duì)稱．，即，，又的中點(diǎn)一定在直線上,．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A。【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。11。已知三棱柱，四邊形與均為邊長(zhǎng)為的正方形，，分別是，的中點(diǎn),,則與所成角的余弦值為(）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，可知，取中點(diǎn)，連接,再取的中點(diǎn)，連接，則,同理可證，所以為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），即可求得答案?！驹斀狻?，，取中點(diǎn)，連接,再取的中點(diǎn),連接，則,同理可證,為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）.又，根據(jù)勾股定理，，，，在中，由余弦定理得，故異面直線與所成角的余弦值為。故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求異面直線夾角余弦值，解題關(guān)鍵是掌握異面直線夾角定義和余弦定理公式，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題。12。設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當(dāng)時(shí),取到最大值,若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，由得出對(duì)稱中心及對(duì)稱軸，得出，再得出的解析式,再有變換得出，再分別畫出與圖象,得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，,即，又，為的一條對(duì)稱軸，且,則為的一個(gè)對(duì)稱中心，由于,所以與為同一周期里相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則，．又，且,解之得，．故,由圖象變換可得，．因?yàn)樵谔幍那芯€斜率為，在處切線斜率不存在，即切線方程為．所以右側(cè)圖象較緩,如圖所示，同時(shí)時(shí)，，所以的零點(diǎn)有個(gè)．故選：D。【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)及零點(diǎn),轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，屬于難題。第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4小題,每小題5分13.已知向量，,則_________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)公式，即可求得答案.【詳解】,,可得，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積坐標(biāo)公式，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。14.已知函數(shù)在處的切線方程為，則滿足的的取值范圍為_________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥恳?yàn)?可得，即,所以，是上的增函數(shù)，結(jié)合已知,即可求得答案。【詳解】，，，,是上的增函數(shù)，又，，，.即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)切線方程求參數(shù)和解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法和導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題。15。若，則_________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑?，展開化簡(jiǎn)可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】由，展開化簡(jiǎn)可得整理可得：，。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵是掌握正弦兩角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。16.某飲料廠生產(chǎn)，兩種飲料。生產(chǎn)桶飲料，需該特產(chǎn)原料公斤,需時(shí)間小時(shí)；生產(chǎn)桶飲料,需該特產(chǎn)原料公斤，需時(shí)間小時(shí)，每天飲料的產(chǎn)量不超過(guò)飲料產(chǎn)量的倍,每天生產(chǎn)兩種飲料所需該特產(chǎn)原料的總量至多公斤，每天生產(chǎn)飲料的時(shí)間不低于生產(chǎn)飲料的時(shí)間，每桶飲料的利潤(rùn)是每桶飲料利潤(rùn)的倍，若該飲料廠每天生產(chǎn)飲料桶，飲料桶時(shí)利潤(rùn)最大，則_________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)每天，兩種飲料的生產(chǎn)數(shù)量分別為桶，桶，則有，畫出可行域,結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】設(shè)每天，兩種飲料的生產(chǎn)數(shù)量分別為桶,桶，則有則其表示的可行域如圖中陰影部分所示，設(shè)B飲料每桶利潤(rùn)為1，則目標(biāo)函數(shù)為，則，表示直線在軸上的截距，，只取整數(shù)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)即，時(shí)，取得最大值，故.故答案為：。【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)所給的約束條件準(zhǔn)確地畫岀可行域和目標(biāo)函數(shù)．在平面區(qū)域中，求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義,從而確定目標(biāo)函數(shù)在何處取得最優(yōu)解．三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17。已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求與的通項(xiàng)公式；設(shè)為奇數(shù)時(shí),，為偶數(shù)時(shí)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】，；.【解析】【分析】根據(jù)題意,，，得出，所以，由，，,求出；根據(jù)題意,數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,首項(xiàng)為，公比為，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,首項(xiàng)為，公差為，列出前項(xiàng)和的式子.【詳解】解：根據(jù)題意，，，，,，所以，因?yàn)?，又，所以．根據(jù)題意，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以；故．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及分組求和法來(lái)求和，考查了轉(zhuǎn)化思想，方程思想，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.18。已知某快遞公司收取快遞費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)元；重量超過(guò)的包裹,在收費(fèi)元的基礎(chǔ)上，每超過(guò)（不足,按計(jì)算)需再收元．該快遞公司承攬了一個(gè)工藝品廠家的全部玻璃工藝品包裹的郵寄事宜，該廠家隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了件這種包裹的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)表如下：表包裹重量包裹數(shù)損壞件數(shù)表包裹重量出廠價(jià)（元件）賣價(jià)（元件)估計(jì)該快遞公司對(duì)每件包裹收取快遞費(fèi)的平均值；將包裹重量落入各組頻率視為概率，該工藝品廠家承擔(dān)全部運(yùn)費(fèi),每個(gè)包裹只有一件產(chǎn)品，如果客戶收到有損壞品的包裹,該快遞公司每件按其出廠價(jià)的賠償給廠家．現(xiàn)該廠準(zhǔn)備給客戶郵寄重量在區(qū)間和內(nèi)的工藝品各件，求該廠家這兩件工藝品獲得利潤(rùn)的分布列和期望．【答案】元；見解析，?！窘馕觥俊痉治觥坑山y(tǒng)計(jì)表估計(jì)該快遞公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值;重量在的產(chǎn)品數(shù)為，其損壞率為,重量在的產(chǎn)品數(shù)為,其損壞率為，設(shè)重量在的這件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為，重量在的這件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為，，，，，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出該廠家這兩件工藝品獲得利潤(rùn)的分布列和期望．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值為，（元）．重量在的產(chǎn)品數(shù)為，其損壞率為．重量在的產(chǎn)品數(shù)為,其損壞率為，設(shè)重量在的這件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為，則，，設(shè)重量在的這件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為，則，，所以，,,,則,，，所以其分布列為：利潤(rùn)根據(jù)題意，．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題.19.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，,，為三棱錐外一點(diǎn)，且為等邊三角形．證明：；若平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】證明見解析；.【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，證明平面，可得到結(jié)論；以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出二面角的余弦值，得出結(jié)論.【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，,因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?所以平面，因?yàn)槠矫?，故．因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面，所以平面，且，,故以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，連接,，同理可證平面，，，設(shè)，則，,，，所以，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則,，令，則．因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以,所以，,所以或．因?yàn)闉槿忮F外一點(diǎn)，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題。20.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，圓經(jīng)過(guò)橢圓的短軸端點(diǎn)．求橢圓的方程；過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別與橢圓相交于，和，四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】；.【解析】【分析】根據(jù)題意求出，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn),則，所以，列出橢圓的方程；對(duì)直線的斜率情況討論，當(dāng)斜率不存在或?yàn)闀r(shí)，四邊形，當(dāng)直線的斜率存在時(shí),，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出四邊形面積的最小值.【詳解】解：根據(jù)題意,四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形為菱形，其面積為，，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn),則，所以，，故橢圓的方程為．當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，由消去得，,．同理得，．令,則．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，,當(dāng)直線的斜率為零時(shí),,，.，四邊形面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21.已知函數(shù)的最小值為。(1）求的解析式；(2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證:.【答案】（1）(2)證明見解析【解析】【分析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋瑥亩?，令，由于，則；故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減,即可求得答案；(2）根據(jù)題意，，因?yàn)?，是函?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，即可求得答案?！驹斀狻浚?）,定義域?yàn)?，從而，令，由于，則；故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減，故，，故，。（2），，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),，兩式相減，可得即，故.，。令,其中，則,構(gòu)造函數(shù),則。對(duì)于，恒成立，故,即.可知，?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)最值求函數(shù)表達(dá)式和根據(jù)導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)求最值的方法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)證不等式恒成立的證法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題。請(qǐng)考生從第22、23題中任選一題作答,并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方框涂黑,按所選涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分;多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分；不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分．【選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22。在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已