6-2 矩陣級(jí)數(shù)課件

矩陣論電子教程DepartmentofMathematics,CollegeofSciences6-2矩陣級(jí)數(shù)

矩陣分析第六章§6.2矩陣級(jí)數(shù)一,矩陣級(jí)數(shù)的定義 由中的矩陣序列構(gòu)成的無(wú)窮和稱為矩陣級(jí)數(shù)，記為，二,矩陣級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散

若由矩陣級(jí)數(shù)的部分和構(gòu)成的矩陣序列收斂，且有極限S則稱矩陣級(jí)數(shù)收斂且有和S，記為:為矩陣級(jí)數(shù)的部分和。稱:

不收斂的矩陣級(jí)數(shù)稱之為發(fā)散的定義1.

中的矩陣級(jí)數(shù)收斂相當(dāng)于F上的個(gè)級(jí)數(shù)都收斂判斷矩陣級(jí)數(shù)的斂散性

例1.已知矩陣序列的通項(xiàng)為定理1.n[解答]

考察上述矩陣級(jí)數(shù)的部分和

矩陣級(jí)數(shù)收斂，且其和為三.矩陣級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂定義2.

設(shè):,矩陣級(jí)數(shù)若對(duì)某一個(gè)矩陣范數(shù)滿足:由矩陣范數(shù)的等價(jià)性知,矩陣的絕對(duì)收斂與矩陣范數(shù)的選擇無(wú)關(guān)是收斂的,則稱矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂是正項(xiàng)級(jí)數(shù).說(shuō)明必要性：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由可知n矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充要條件是每個(gè)數(shù)值定理2.設(shè)級(jí)數(shù)都收斂,即絕對(duì)收斂.證明：先給出矩陣范數(shù)由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，可知個(gè)數(shù)值級(jí)數(shù)從而矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。n收斂，由矩陣范數(shù)的等價(jià)性及正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，可知上述命題對(duì)均成立. 充分性：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，可知級(jí)數(shù)收斂。若每個(gè)數(shù)值級(jí)數(shù)都收斂,其相加所構(gòu)成的級(jí)數(shù)都收斂,由于4，若矩陣級(jí)數(shù)收斂（或絕對(duì)收斂），則矩陣級(jí)數(shù)也收斂（或絕對(duì)收斂），并且有:定理3：設(shè)，，其中:則1，2，3，絕對(duì)收斂的矩陣級(jí)數(shù)必收斂，并且任意調(diào)換其項(xiàng)的順序所得的矩陣級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.5，若與均絕對(duì)收斂，則它們按項(xiàng)相乘所得的矩陣級(jí)數(shù)證明：只證4.及5.4.因，記，則在此基礎(chǔ)上考察級(jí)數(shù)的部分和的極限可見(jiàn)收斂，且也絕對(duì)收斂，且其和為AB由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知絕對(duì)收斂若絕對(duì)收斂收斂，由于

首先由命題的條件可知，級(jí)數(shù)與均收斂。記考察矩陣級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的范數(shù)由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,記:則再記由矩陣范數(shù)的三角不等式及相容性再由可得定義3：設(shè)，稱形如：的矩陣級(jí)數(shù)為矩陣冪級(jí)數(shù)。四,矩陣的冪級(jí)數(shù)定理4：設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為為階方陣若，則矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若，則發(fā)散。證明：設(shè)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為其中于是其中所以當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)都是絕對(duì)收斂的，故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散。例2:

證明對(duì)任意的矩陣冪級(jí)數(shù):絕對(duì)收斂.[證明]由于并且:所以,原矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,從而也是收斂的

我們知道,若矩陣級(jí)數(shù)收斂,且收斂與矩陣S則稱S為級(jí)數(shù)的和,記為:下面規(guī)定幾個(gè)收斂的矩陣級(jí)數(shù)的和:且其和為：定理5：設(shè)矩陣冪級(jí)數(shù)[證明]

絕對(duì)收斂性由定理4立即可以得到,下證令則