期中數(shù)學(xué)考前提醒

老師給你提個(gè)醒

即將邁進(jìn)考場(chǎng)時(shí)，對(duì)于以下問題，

你是否有清醒的認(rèn)識(shí)？

1.集合中的元素具有無序性和互異性。

如集合｛。，2｝隱含條件"2,

集合｛xI(x—l)(x-Q)=。｝不能直接化成

｛1,。｝o

2.研究集合問題，一定要抓住集合中的

代表元素，如：｛xiyTgH與｛yiyTgH及

｛(%,刈戶3｝三集合并不表示同一集合;

再如："設(shè)A=｛直線｝,B=｛圓｝，問A

GB中元素有幾個(gè)？能回答是一個(gè)，

兩個(gè)或沒有嗎？”與"A=｛(x,y)|x+

2y=3｝,B=｛(x,y)|x2+y2=2｝,

AAB中元素有幾個(gè)？”有無區(qū)別？

過關(guān)題：設(shè)集合M=*iy=x+3｝,集合N

=^y\y=x2+l,xeM）,則=

（答：口+⑹）

3.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要

忘了集合本身和空集的特殊情況，不

要忘了借助于數(shù)軸和韋恩圖進(jìn)行求

解；若AnB=。，則說明集合A和集合

B沒公共元素，你注意到兩種極端情

況了嗎？A=0或八°；對(duì)于含有〃個(gè)

元素的有限集合M,其子集、真子集、

和非空真子集的個(gè)數(shù)分別是2〃、2n-l

和2〃-2,你知道嗎？你會(huì)用補(bǔ)集法求

解嗎？

A是B的子集=AqBoAUB=B=AG

B=A,若A=你可要注意A的情況。

過關(guān)題：已知集合人={-1,2},B={x|m

x+1=0},若AGB=B,則所有實(shí)數(shù)m

組成的集合為.

4.求不等式（方程）的解集，或求定義

域時(shí)，你按要求寫成集合或區(qū)間的形

式了嗎？

5.求一個(gè)函數(shù)的解析式，你注明了該函

數(shù)的定義域了嗎？

6.犯種命題是指原命題、逆命題、否命

題和逆否命題，它們之間有哪三種關(guān)

系？只有互為逆否的命題同真假！命

題的否定和否命題不一樣，差別在哪

呢？充分條件、必要條件和充要條件

的概念記住了嗎？如何判斷？反證法

證題的三部曲你還記得嗎？假設(shè)、推

矛、得果。

原命題：P=>0逆命題：9二夕；否命

題：7ng;逆否命題：2=萬；互為逆否的

兩個(gè)命題是等價(jià)的.如：“升"5”是

“叱2或"3”的條件。（答：充分

非必要條件）

7.絕對(duì)值的幾何意義是什么？不等式

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)的解法掌握

了嗎？

過關(guān)題：|x+x-l|<a的解集

非空，則a的取值范圍是

x-恒成立,

則a的取值范圍是O

2

8.如何利用二次函數(shù)求最值？注意對(duì)X

項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行討論了吃?

若(〃-2)12+2(〃-2)x-1<0恒成立，你對(duì)

0—2二0的情況進(jìn)行討論了嗎？

右改為一次不等式(〃-2)犬+2(a-2)x-1<0恒

成立，情況又怎么樣呢?

9.(1)二次函數(shù)的三種形式：一般式、

交點(diǎn)式、和頂點(diǎn)式,你了解各自的

特點(diǎn)嗎？

(2)二次函數(shù)與二次方程及一元二次

不等式之間的關(guān)系你清楚嗎？你能

相互轉(zhuǎn)化嗎？

(3)方程有解問題，你會(huì)求解嗎？處

理的方法有幾種？

過關(guān)題：不等式ax2+bx+2>0

的解集為,則a+b

*

過關(guān)題：方程2x2-X+a-1=0

在［-1,1］上有實(shí)數(shù)解，則a的取值

曷

特別提醒：二次方程ax2+bx+c=0的兩根

即為不等式ax2+bx+C>0(<0)解集的端

點(diǎn)值，也是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖

象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,你了解系數(shù)。也c

對(duì)圖象開口方向、在,軸上的截距、

對(duì)稱軸等的影響嗎？

對(duì)函數(shù)y二］g(-2QX+i)若定義域?yàn)镽,則

2以+1的判別式小于零；若值域?yàn)?/p>

R,則/-2ax+1的判別式大于或等于

零，你了解其道理嗎？

例如：y=lg（x」+l）的值域?yàn)?

y二lg（x,-1）的值域?yàn)?

你有點(diǎn)體會(huì)嗎？

10.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，你考慮函數(shù)的定

2

義域了嗎？如求函數(shù)y=log2（x-2x-3）的單

調(diào)增區(qū)間？再如已知函數(shù)）“=喀（/一2歐-1）

在區(qū)間⑵3］上單調(diào)增，你會(huì)求。的范

嗎？

若函數(shù)y=x2-2ax+2的單調(diào)增區(qū)間為

［2,+00）,則a的范是什么?

若函數(shù)y=x2-lax+2在［2,+oo）上單調(diào)遞

增，則。的范圍是什么？

兩題結(jié)果為什么不一樣呢？

11.函數(shù)單調(diào)性的證明方法是什么？（定

義法）判定和證明是兩回事呀！判斷

方法：圖象法等。還記得函數(shù)單調(diào)性

與奇偶性逆用的例子嗎？（⑴比較大

??；⑵解不等式；⑶求參數(shù)的范O）

如已知JW=5sinx+x3,xe(-l,l),

2

/(l-rz)+/(l-?)<0,求Q的范o

求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，易錯(cuò)誤地在多個(gè)單

調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“U”和“或”；

單調(diào)區(qū)間是區(qū)間不能用集合或不等式

12.判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，注意到定義域

特點(diǎn)了嗎？（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這

個(gè)函數(shù)具有奇偶性的必要非充分條

件）。

過關(guān)題：f（x）=ax?+bx+3a+

b是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a-1,2a],

貝lja=,b=o

13.常見函數(shù)的圖象作法你掌握了嗎？

哪三種圖象變換法？（平移、對(duì)稱、伸

縮變換）

函數(shù)的圖象不可能關(guān)于不軸對(duì)稱，（為

什么？)如：y2=4x是函數(shù)嗎？

函數(shù)圖象與x軸的垂線至多一個(gè)公共

點(diǎn)，但與>軸的垂線的公共點(diǎn)可能沒有，

也可能任意個(gè)。

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是偶函數(shù)，圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是奇函數(shù)，反函

數(shù)兩圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

過關(guān)題：函數(shù)y=f(X-1)+2的圖

象可以由函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過怎

樣的變換得到？

過關(guān)題：已知函數(shù)y=f(x)(aWxWb),

則集合{(x,y)|y二f

(x),aWxWb}Cl{(x,y)|x二0}

中，含有元素的個(gè)數(shù)為個(gè)

14.由函數(shù)股/⑴圖象怎么得到函數(shù)

y=〃-x)的圖象？由函數(shù)尸/⑴圖象怎么

得到函數(shù)y=-fM的圖象？由函數(shù)y=/(%)

圖象怎么得到函數(shù)y=-"T)的圖象？

由函數(shù)y=/(x)圖象怎么得到函數(shù)y=

的圖象？

15.函數(shù)y=x+*＞。)的圖象及單調(diào)區(qū)間掌

握了嗎？血何利用它求函數(shù)的最值？

與利用基本不等式求最值的聯(lián)系是什

么？若kVO呢？你知道函數(shù)

了二公+白(a＞0,b＞。)的單調(diào)區(qū)間嗎？

求函數(shù)的最值，一般要指出取得最值

時(shí)相應(yīng)的自變量的值。

16.(1)切記：研究函數(shù)性質(zhì)注意一定在

該函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行！一般是先求

定義域，后化簡(jiǎn)，再研究性質(zhì)。

過關(guān)題：尸1嗎(3+2”的單調(diào)遞增區(qū)間是

2

(答(1,2))o

已知函數(shù)f(x)=log3x+2,xG[1,

9],則函數(shù)g(x)=[f(x)]2+f(x2)

的最大值為O求解中你注意

到函數(shù)g(X)的定義域嗎？

(2)抽象函數(shù)在填空題中，你會(huì)用特殊

函數(shù)去驗(yàn)證嗎？

過關(guān)題：已知〃%)是定義在R上的奇函

數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期

為T,貝U/(-夕=(答：0)

幾類常見的抽象函數(shù)：

①正比例函數(shù)型：f(x)=kx(k手0)

f(x+y)=f(x)+f(y)?

②塞函數(shù)型：fW=x-

--------------/(肛)=/。)/(丁)，二

③指數(shù)函數(shù)型：/。)=優(yōu)

④對(duì)數(shù)函數(shù)型：/(x)=logax

一一一〃盯)=,/(1)=

17.解對(duì)數(shù)函數(shù)問題曲注意到真數(shù)與底

數(shù)的限制條件了嗎？指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

的圖象特征與性質(zhì)明確了嗎？對(duì)指數(shù)

函數(shù)產(chǎn)優(yōu)，底數(shù)。與1的接近程度確

定了其圖象與直線尸1接近程度；對(duì)數(shù)

函數(shù)廣叫〃呢？你還記得對(duì)數(shù)恒等式

=N）和換底公式嗎？

知道：=log?mN"嗎？

指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：。?行，。工土,。。=1,

an

loga1=0,log6/a=1,Ig2+lg5=l9logex=\nx,

gaN

d=Nolog.N=b（a>0,awl,N>0）,a°=No

如（廣8的值為（答：*）

18.你總結(jié)過常見的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方

程的類型及其解法嗎？

19.求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)的步驟掌握了

嗎？（（1）反解出x,（2）互換x,y,

（3）注明定義域）

20.反函數(shù)的性質(zhì)你了解嗎？奇函數(shù)若

存在反函數(shù)，反函數(shù)也是奇函數(shù)；偶函

數(shù)、周期函數(shù)沒有反函數(shù)；函數(shù)尸f(x)

在［a,b］上單調(diào)，則f(x)在［a,b］

上一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)與原函數(shù)

具有相同的單調(diào)性。

21.以下幾個(gè)結(jié)論你記住了嗎？

⑴如果函數(shù)/(%)滿足/(x+。)=-于(x),

那么函數(shù)/⑴是周期函數(shù)，周期是

T=2a?

⑵如果函數(shù)函X)滿足/(%-。)="%-6),那

么函數(shù)/⑴是周期函數(shù)，最小正周期

是T=l〃-6；

⑶如果函數(shù)/⑴的圖象關(guān)于直線

元=。成軸對(duì)稱，那么

于(a+x)=/(〃_x)的⑴=f(2a-x)o

(4)如果函數(shù)/⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)(。力)

成中心對(duì)稱，那么

f(a+x)+f(a-x)=2b^f(x)+f(2a-x)=2b

22.重要不等式的指哪幾個(gè)不等式？

若凡八0,（1）場(chǎng)心堂2疝24（當(dāng)且

ah

僅當(dāng)…時(shí)取等號(hào)）；（2）a、b、ceR,

a2+b2+c2>ab-\-bc-\-ca（當(dāng)且僅當(dāng)=c

時(shí)，取等號(hào)）；（3）若4”〉0,心0,則/智

（糖水的濃度問題）。

23.倒數(shù)法則還記得嗎？（指

常用如下形式：a>b>0^>0<-<-,

Q/7（Xb

。小。=?！?）用此求值域的注意點(diǎn)是什

么？

如求函數(shù)尸“的值域，求函數(shù)片20

的值域呢？

24.不等式證明的基本方法都掌握了

嗎？（比較法、分析法、綜合法、放縮

法、反證法）等號(hào)成立

的條件是什么？

25.利用重要不等式求函數(shù)的最值時(shí)，是

否注意到一正，二定，三等？

如：①函數(shù)廣4%-9；（%>；）的最小

值o（答8）

②若若x+2y=l9則2r4,的最小值是

（答：272）?

③正數(shù)羽〉滿足％+2y=l,貝畤+：的最小

人y

值為（答：3+2行）；

26.二元函數(shù)求最值的三種方法掌握了

嗎？方法一：轉(zhuǎn)化為一元問題，用消

元或換元的方法；方法二：利用基本

不等式；方法三：數(shù)形結(jié)合法，距離

型、截距型、斜率型）

過關(guān)題：若正數(shù)a,b滿足ab=a+

b+3,則+b的取值范

是O（答：［9,+8））

基本變形：①a+b>

號(hào)）2，；

27.不等式解集的規(guī)范格式是什么？（一

般要寫成區(qū)間或集合的形式），另外

“數(shù)軸標(biāo)根法”解不等式的注意事項(xiàng)

是什么？將不等式整理成一邊為零的

形式，將非零的那邊因式分解，要求

每個(gè)因式中未知量工的最高次數(shù)項(xiàng)

的系數(shù)均為正值，求各因式的零點(diǎn)，

畫軸，穿線，注意零點(diǎn)的重?cái)?shù)，在寫

解集時(shí)還得考慮解集中是否包含零

點(diǎn)。

如：解不等式（x+3）（x-l）3（x+2）2>0o（答：

或3或X=-2｝）；

28.解分式不等式黑>。叱。）應(yīng)注意什么

問題？（在不能肯定分母正負(fù)的情況下,

一般不能去分母而是移項(xiàng)通分）

29.解含參數(shù)不等式怎樣討論？注意解

完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集

是…”

解不等式罟〉x（"R）（綜上，當(dāng)”0時(shí),

原不等式的解集是WX<。｝；

當(dāng)?！?。時(shí)，原不等式的解集是｛皿弓或

x<0｝?

當(dāng)〃<0時(shí)，原不等式的解集是｛七。<。｝或

x<0｝）

30.含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去絕

對(duì)值？（一般是根據(jù)定義分類討論、平方

轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）

31.解對(duì)數(shù)不等式應(yīng)注意什么問題？（化

成同底，利用單調(diào)性，底數(shù)和真數(shù)都大

于零）

過關(guān)題：解關(guān)于x的不等式：

logj（x2—x—2）>log]Jx—1——o

452

32.不等式恒成立問題有哪幾種處理方

式？（特別注意一次函數(shù)型和二次

函數(shù)型，還有恒成立理論)

過關(guān)題：對(duì)任意的a￡[-L,1],函數(shù)

f(x)=x2+(a-4)x+4-2a

的值總大于0,則x的取值范

33.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明思路

明確了嗎？各種平行、垂直轉(zhuǎn)換的條件

是什么？

①空間兩直線:平行、相交、異面;判

定異面直線用定義或反證法

②直線與平面：a〃a、aCla=A(a.

a)、aua

34.⑴求線面角的關(guān)鍵是什么？(找直線

的射影)是什么?

過關(guān)題：在正方體ABCD-ABGD1

中，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，異面直

線BP與AD1所成的角為9,則角0

的取值范是

兩條異面直線所成的角、直線與平

面所成的角的取值范圍依次是:

（。，§、嗚］。

“作、證、算”三個(gè)步驟可一個(gè)都不能

少??！

直線和平面所成的角：（1）范曷[0°,90°]?

（2）斜線與平面中所有直線所成角中最

小的角。：（3）求法：作垂線找射影或求

點(diǎn)線距離（向量法）；

如（1）正三棱錐、正四棱錐的性質(zhì),

你記得嗎？它們的特征直角三角形，你

會(huì)應(yīng)用嗎？

（2）求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什

么？（直接法、等體積法、換點(diǎn)法）

（3）求多面體體積的常規(guī)方法有哪

些？（直接法、等體積法、割補(bǔ)法）

35.平行六面體