(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)2.7《對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》(原卷版)

第第頁§2.7對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考試要求1.理解對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.通過實(shí)例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．知識(shí)梳理1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作lgN.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作lnN.2．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：loga1＝0，logaa＝1，SKIPIF1<0＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．常用結(jié)論1．logab·logba＝1，SKIPIF1<0＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．3．對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(3)函數(shù)y＝logaeq\f(1＋x,1－x)與函數(shù)y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)是同一個(gè)函數(shù)．()(4)函數(shù)y＝log2x與y＝SKIPIF1<0的圖象重合．()教材改編題1．函數(shù)y＝loga(x﹣2)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)．2．計(jì)算：(log29)·(log34)＝.3．若函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝.題型一對數(shù)式的運(yùn)算例1(1)設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于()A.eq\r(10)B．10C．20D．100(2)計(jì)算：log535＋SKIPIF1<0﹣log5eq\f(1,50)﹣log514＝.教師備選計(jì)算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝.思維升華解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，則a＋b＝.(2)計(jì)算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.題型二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b﹣1)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A．0<a﹣1<b<1B．0<b<a﹣1<1C．0<b﹣1<a<1D．0<a﹣1<b﹣1<1(2)若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．教師備選已知x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝ex＋x﹣2，g(x)＝lnx＋x﹣2的零點(diǎn)，則SKIPIF1<0＋lnx2的值為()A．e2＋ln2B．e＋ln2C．2D．4思維升華對數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝logax＋b的圖象如圖所示，那么函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象可能為()(2)設(shè)x1，x2，x3均為實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0＝lnx1，SKIPIF1<0＝ln(x2＋1)，SKIPIF1<0＝lgx3，則()A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3題型三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較指數(shù)式、對數(shù)式大小例3(1)設(shè)a＝log3e，b＝e1.5，c＝SKIPIF1<0，則()A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．a(chǎn)<c<b(2)設(shè)a＝log63，b＝log126，c＝log2412，則()A．b<c<aB．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<cD．c<b<a命題點(diǎn)2解對數(shù)方程不等式例4若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．命題點(diǎn)3對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例5設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減教師備選1．已知a＝log23，b＝2log53，c＝SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>c>bB．a(chǎn)>b>cC．b>a>cD．c>b>a2．若f(x)＝lg(x2﹣2ax＋1＋a)在區(qū)間(﹣∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)思維升華求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．跟蹤訓(xùn)練3(1)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2<logc2<0，則下列關(guān)系中正確的是()A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．a(chǎn)<c<b(2)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x≥2，,－logax－4，0<x<2))存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．(3)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，設(shè)函數(shù)g(x)＝f2(x)＋f(x2)，則g(x)max﹣g(x)min＝.課時(shí)精練1．設(shè)a＝eq\f(1,2)，b＝log7eq\r(5)，c＝log87，則()A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．c>b>aD．c>a>b2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)且f(2)＝1，則f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．SKIPIF1<0D．2x﹣23．我們知道：人們對聲音有不同的感覺，這與它的強(qiáng)度有關(guān)系．一般地，聲音的強(qiáng)度用(W/m2)表示，但在實(shí)際測量時(shí)，聲音的強(qiáng)度水平常用L1＝10lg

eq\f(I,I0)(單位：分貝，L1≥0，其中I0＝1×10﹣12是人們平均能聽到的最小強(qiáng)度，是聽覺的開端)．某新建的小區(qū)規(guī)定：小區(qū)內(nèi)公共場所的聲音的強(qiáng)度水平必須保持在50分貝以下，則聲音強(qiáng)度I的取值范圍是()A．(﹣∞，10﹣7)B．[10﹣12，10﹣5)C．[10﹣12，10﹣7)D．(﹣∞，10﹣5)4．設(shè)函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0若f(a)>f(﹣a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(﹣1,0)∪(0,1)B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)C．(﹣1,0)∪(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)5.(多選)函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>1B．0<c<1C．0<a<1D．c>16．(多選)已知函數(shù)f(x)＝ln(e2x＋1)﹣x，則()A．f(ln2)＝ln

eq\f(5,2)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增D．f(x)的最小值為ln27．log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的值等于．8．函數(shù)f(x)＝log2eq\r(x)·SKIPIF1<0的最小值為．9．設(shè)f(x)＝log2(ax﹣bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，求f(x)的最大值．10．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)﹣loga(1﹣x)，a>0且a≠1.(1)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(2)當(dāng)a>1時(shí)，求使f(x)>0的x的解集．11．設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A．a(chǎn)＋b<ab<0B．a(chǎn)b<a＋b<0C．a(chǎn)＋b<0<abD．a(chǎn)b<0<a＋b12．若實(shí)數(shù)x，y，z互不相等，且滿足2x＝3y＝log4z，則()A．z>x>yB．z>y>xC．x>y，x>zD．z>x，z>y13．函數(shù)f(x)＝|log3x|，若正實(shí)數(shù)m，n(m<n)滿足f(m)＝f(n)，且f(x)在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2，則n﹣m等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(80,9)C.eq\f(1