2024屆黑龍江省齊齊哈爾市龍江二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆黑龍江省齊齊哈爾市龍江二中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-42．在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，曲線(xiàn)與射線(xiàn)的交點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．3．設(shè)集合M={0，1，2}，則（）A．1∈MB．2?MC．3∈MD．{0}∈M4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入和年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入萬(wàn)8.38.69.911.112.1支出萬(wàn)5.97.88.18.49.8根據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程，其中，元，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶(hù)收入為16萬(wàn)元家庭年支出為（）A．12.68萬(wàn)元 B．13.88萬(wàn)元 C．12.78萬(wàn)元 D．14.28萬(wàn)元5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿(mǎn)足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則“”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知的分布列為-101設(shè)，則的值為（）A．4 B． C． D．18．在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ的圓心坐標(biāo)為（）A．(1,π2) B．(-1,π9．某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線(xiàn)如圖所示，正態(tài)變量X在區(qū)間，，內(nèi)取值的概率分別是，，，則成績(jī)X位于區(qū)間(52,68]的人數(shù)大約是（）A．997B．954C．683D．34110．若6名男生和9名女生身高（單位：）的莖葉圖如圖，則男生平均身高與女生身高的中位數(shù)分別為()A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，16811．拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線(xiàn)的距離相等，則的值等于（）A． B． C．16 D．12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的公差為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則n等于_________.14．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_(kāi)_________．15．已知棱長(zhǎng)為1的正四面體，的中點(diǎn)為D，動(dòng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上，則直線(xiàn)與平面所成角的取值范圍為_(kāi)___________；16．用反證法證明“若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（1）求過(guò)點(diǎn)P(3,4)且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)l1（2）求過(guò)點(diǎn)A(3,2)，且與直線(xiàn)2x-y+1=0垂直的直線(xiàn)l218．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)與相切于點(diǎn)，求的值；（2）若是函數(shù)圖象的切線(xiàn)，求的最小值.19．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．（12分）已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于的不等式的解集為．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分條件，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）甲將要參加某決賽，賽前，，，四位同學(xué)對(duì)冠軍得主進(jìn)行競(jìng)猜，每人選擇一名選手，已知，選擇甲的概率均為，，選擇甲的概率均為，且四人同時(shí)選擇甲的概率為，四人均末選擇甲的概率為．（1）求，的值；（2）設(shè)四位同學(xué)中選擇甲的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，.（1）求橢圓的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為動(dòng)點(diǎn)，其中，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值?！绢}目詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時(shí)，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時(shí)，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。2、B【解題分析】分析：將兩方程聯(lián)立求出，再根據(jù)的幾何意義即可得到OA的值.詳解：由題可得：，由的幾何意義可得，故選B.點(diǎn)睛：考查極坐標(biāo)的定義和的幾何意義：表示原點(diǎn)到A的距離，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】解：由題意，集合M中含有三個(gè)元素0，1，1．∴A選項(xiàng)1∈M，正確；B選項(xiàng)1?M，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)3∈M，錯(cuò)誤，D選項(xiàng){0}∈M，錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合關(guān)系的判定，一個(gè)元素要么屬于集合，要么不屬于這個(gè)集合，二者必居其一，這就是集合中元素的確定性．4、A【解題分析】

由已知求得，，進(jìn)一步求得，得到線(xiàn)性回歸方程，取求得值即可．【題目詳解】，．又，∴．∴．取，得萬(wàn)元，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)性回歸方程的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．5、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，在不等式兩邊同時(shí)乘以化為，即，然后利用函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時(shí)乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問(wèn)題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解.6、C【解題分析】

先令，求出，再由時(shí)，根據(jù)，求出，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，數(shù)列是等比數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，，，，所以，是充分必要條件。故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分必要條件的判定，熟記概念，以及數(shù)列的遞推公式即可求解，屬于?？碱}型.7、B【解題分析】

由的分布列，求出，再由，求得.【題目詳解】，因?yàn)?，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)變量的期望計(jì)算，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量，具有線(xiàn)性關(guān)系，直接利用公式能使運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.8、D【解題分析】

把圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心直角坐標(biāo)即可．【題目詳解】由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，化簡(jiǎn)為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2-2x=0，即x-12所以圓心（1，0），即圓心（1，0）的極坐標(biāo)為（1，0）.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】分析：先由圖得，再根據(jù)成績(jī)X位于區(qū)間(52,68]的概率確定人數(shù).詳解：由圖得因?yàn)?，所以成?jī)X位于區(qū)間(52,68]的概率是，對(duì)應(yīng)人數(shù)為選C.點(diǎn)睛：利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè).10、C【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【題目詳解】6名男生的平均身高為,9名女生的身高按由低到高的順序排列為162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位數(shù)為168.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查由莖葉圖求平均數(shù)和中位數(shù),難度容易.11、C【解題分析】

根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知，定點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)定點(diǎn)坐標(biāo)求得．【題目詳解】根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知，定點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且，，解得：.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線(xiàn)的定義，考查對(duì)概念的理解，屬于容易題．12、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件得，由此可得的值，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，解得．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的形式特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】

由題意可知，，解得n，得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，所以有，解得，故答案是8.【題目點(diǎn)撥】這是一道考查二項(xiàng)式定理的題目，解題的關(guān)鍵是明確二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，由二項(xiàng)式定理可得，二項(xiàng)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，從而求得結(jié)果.14、【解題分析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【題目詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問(wèn)題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).15、；【解題分析】

當(dāng)與重合時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角為0最小，當(dāng)從向移動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角逐漸增大，到達(dá)點(diǎn)時(shí)角最大．【題目詳解】如圖，是在底面上的射影，是在底面上的射影，由于是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，正四面體棱長(zhǎng)為1，則，，，，，∴，，∴．．∴所求角的范圍是．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與平面所成的角，解題時(shí)首先要作出直線(xiàn)與平面所成的角，同時(shí)要證明所作角就是要求的角，最后再計(jì)算，即一作二證三計(jì)算．16、【解題分析】

反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立?！绢}目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立，所以應(yīng)假設(shè)，填?！绢}目點(diǎn)撥】反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）4x-3y=0或x+y-7=0（2）x+2y-7=0【解題分析】

（1）需分直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，過(guò)原點(diǎn)設(shè)直線(xiàn)l1:y=kx，不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l2:xa+y【題目詳解】解：（1）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)方程為：4x-3y=0；當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為x+y=a，把點(diǎn)P3,4代入直線(xiàn)方程，解得a=7所以直線(xiàn)方程為x+y-7=0．（2）設(shè)與直線(xiàn)l：2x-y+1=0垂直的直線(xiàn)l1的方程為：x+2y+m=0，把點(diǎn)A3,2代入可得，3+2×2=m，解得m=-7．∴過(guò)點(diǎn)A3,2，且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)l【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線(xiàn)方程的求法，屬于簡(jiǎn)單題型.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用函數(shù)與相切于點(diǎn)，切線(xiàn)即可求的值.（2）若是函數(shù)圖象的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)，表達(dá)函數(shù)的切線(xiàn)方程，表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)，求其最小值即可.【題目詳解】（1）由函數(shù)，則，，.所以，.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線(xiàn)方程為，即，亦即，由題意得.∴令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；∴∴的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用通項(xiàng)公式，可得，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可得到數(shù)列和．【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋傻茫?，又由，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由題意知，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的分組求和，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）【解題分析】

（1）由含參二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函數(shù)定義域的求法求得，再結(jié)合命題間的充要性求解即可.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分條件，可得是的真子集，則當(dāng)時(shí)，則，即；當(dāng)時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，則，即，綜上可知：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)定義域的求法、含參二次不等式的解法及充要條件，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法及簡(jiǎn)易邏輯，屬中檔題.21、(1)(2)的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望為2【解題分析】

（1）根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式列出關(guān)于的方程組，即可求解出答案．（2）根據(jù)題意先列出隨機(jī)變量的所有可能取值，然后根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率計(jì)算公式得出各自的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解出結(jié)果．【題目詳解】解：（1）由已知可得解得（2）可能的取值為0，1，2，3，4，，，，，．的分布列如下表：01234．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查逆用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求解概率問(wèn)題以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求解．22、（1），；（2）在定點(diǎn)【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓