遼寧省朝陽市凌源市凌源三中2024屆高二數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

遼寧省朝陽市凌源市凌源三中2024屆高二數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，則下列結論正確的是()A． B． C． D．2．設集合，|，則（）A． B． C． D．3．如圖，向量對應的復數(shù)為，則復數(shù)的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．4．若則有（）A． B．C． D．5．若不等式|ax+2|＜6的解集為（﹣1，2），則實數(shù)a等于（）A．8 B．2 C．﹣4 D．﹣86．已知定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，則不等式（為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則=（）A． B． C． D．8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．9．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．310．若隨機變量X的分布列：X01P0.2m已知隨機變量且，，則a與b的值為(

)A． B． C． D．11．如圖，在正方體中，E為線段的中點，則異面直線DE與所成角的大小為（）A． B． C． D．12．下面是利用數(shù)學歸納法證明不等式（，且的部分過程：“……，假設當時，＋＋…＋，故當時，有，因為，故＋＋…＋，……”，則橫線處應該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數(shù)學歸納法證明時，從“到”，左邊需增乘的代數(shù)式是___________.14．已知向量的夾角為，且，則________.15．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程是，則直線l被圓C截得的弦長為____________．16．求經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上的截距2倍的直線方程為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為，證明：．18．（12分）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)在上恒成立，求實數(shù)m的值．19．（12分）我們稱點到圖形上任意一點距離的最小值為點到圖形的距離，記作（1）求點到拋物線的距離；（2）設是長為2的線段，求點集所表示圖形的面積；（3）試探究：平面內(nèi)，動點到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡．20．（12分）已知橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），點P是橢圓C上位于第三象限的動點，直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N，求證：|AN|?|BM|為定值．21．（12分）某校20名同學的數(shù)學和英語成績?nèi)缦卤硭荆簩⑦@20名同學的兩顆成績繪制成散點圖如圖：根據(jù)該校以為的經(jīng)驗，數(shù)學成績與英語成績線性相關.已知這名學生的數(shù)學平均成績?yōu)椋⒄Z平均成績，考試結束后學校經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學號為的同學與學號為的同學（分別對應散點圖中的）在英語考試中作弊，故將兩位同學的兩科成績?nèi)∠?取消兩位作弊同學的兩科成績后，求其余同學的數(shù)學成績與英語成績的平均數(shù)；取消兩位作弊同學的兩科成績后，求數(shù)學成績x與英語成績y的線性回歸直線方程，并據(jù)此估計本次英語考試學號為8的同學如果沒有作弊的英語成績.（結果保留整數(shù)）附：位同學的兩科成績的參考數(shù)據(jù)：參考公式：22．（10分）已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝1．（Ⅰ）若∠BAC的平分線與邊BC交于點D，求；（Ⅱ）若點E為BC的中點，當取最小值時，求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因為，所以,因此，，選B.點睛：集合的基本運算的關注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結合思想的應用，常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．2、C【解題分析】

解出集合M中的不等式即可【題目詳解】因為，所以故選：C【題目點撥】本題考查的是解對數(shù)不等式及集合的運算，屬于基本題.3、B【解題分析】

由已知求得，代入，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】解：由圖可知，，，復數(shù)的共軛復數(shù)是．故選：．【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題．4、D【解題分析】①，∵，∴，故．②，，∴，故．綜上．選D．5、C【解題分析】

利用不等式的解集和對應方程的根的關系來求解.【題目詳解】因為的解集為，所以和是方程的根，所以解得.故選：C.【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式的解法，明確不等式的解集和對應方程的關系是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).6、B【解題分析】令所以,選B.點睛：利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構造.構造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構造，構造，構造，構造等7、C【解題分析】

由積分運算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出，從而求得.【題目詳解】因為由微積分基本定理得：，由積分的幾何意義得：所以，故選C.【題目點撥】本題考查積分的運算法則及積分的幾何意義的運用，考查數(shù)形結合思想和運算求解能力.8、D【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球，據(jù)此可以計算出結果.【題目詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.【題目點撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎題.9、C【解題分析】

根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【題目詳解】由，，得，則，．故選C．【題目點撥】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側重基礎知識和基本技能，難度不大．10、C【解題分析】

先根據(jù)隨機變量X的分布列可求m的值，結合，，可求a與b的值.【題目詳解】因為，所以，所以,；因為，，所以解得，故選C.【題目點撥】本題主要考查隨機變量的期望和方差，注意兩個變量之間的線性關系對期望方差的影響.11、B【解題分析】

建立空間直角坐標系，先求得向量的夾角的余弦值，即可得到異面直線所成角的余弦值，得到答案.【題目詳解】分別以所在的直線為建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，可得,所以，所以，所以異面直線和所成的角的余弦值為，所以異面直線和所成的角為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用向量的夾角公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、A【解題分析】

由歸納假設，推得的結論，結合放縮法，便可以得出結論．【題目詳解】假設當時，＋＋…＋，故當時，＋＋…＋+＜，因為，＋＋…＋，故選A．【題目點撥】本題主要考查數(shù)學歸納法的步驟，以及放縮法的運用，意在考查學生的邏輯推理能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

從到時左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡即可得出．【題目詳解】假設時命題成立，則，當時，從到時左邊需增乘的代數(shù)式是．故答案為：.【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法的應用，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、3【解題分析】

運用向量的數(shù)量積的定義可得????，再利用向量的平方即為模的平方，計算可得答案.【題目詳解】解：?????????.【題目點撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，相對簡單.15、2【解題分析】分析：先求出直線的普通方程，再求出圓的直角坐標方程，再利用公式求直線被圓C截得的弦長.詳解：由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=，故弦長=.故答案為2.點睛：（1）本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查直線和圓的弦長的計算，意在考查學生對這些問題的掌握水平.(2)求直線被圓截得的弦長常用公式.16、【解題分析】

根據(jù)截距是否為零分類求解.【題目詳解】當在軸上的截距為零時，所求直線方程可設為，因為過點，所以；當在軸上的截距不為零時，所求直線方程可設為，因為過點，所以；所以直線方程為【題目點撥】本題考查根據(jù)截距求直線方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）可以通過取計算出，再通過取時計算出,得出答案。（2）可通過裂項相消求解?！绢}目詳解】（1）當時，有，解得.當時，有，則，整理得：，數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．所以，即數(shù)列的通項公式為：．（2）由（1）有，則所以易知數(shù)列為遞增數(shù)列，所以。【題目點撥】本題考察的是求數(shù)列的通項公式以及構造數(shù)列然后求和，求等比數(shù)列的通項公式可以先求首項和公比，求和可以通過裂項相消求解。18、（1）在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）【解題分析】

（1）對函數(shù)求導，討論參數(shù)的取值范圍，由導函數(shù)求單調(diào)區(qū)間（2）由題函數(shù)在上恒成立等價于在上，構造函數(shù)，討論的單調(diào)性進而求得答案。【題目詳解】（1）當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，由得，解得，由得，解得，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減。（2）由題函數(shù)在上恒成立等價于在上由（1）知當時顯然不成立，當時，，只需即可。令，則由解得，由解得所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以所以若函數(shù)在上恒成立，則【題目點撥】本題考查含參函數(shù)的單調(diào)性以及恒成立問題，比較綜合，解題的關鍵是注意討論參數(shù)的取值范圍，構造新函數(shù)，屬于一般題。19、（1）（2）（3）見解析【解題分析】

(1)設A是拋物線上任意一點，先求出|PA|的函數(shù)表達式，再求函數(shù)的最小值得解；(2）由題意知集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，再求出面積；(3)將平面內(nèi)到定圓的距離轉(zhuǎn)化為到圓上動點的距離，再分點現(xiàn)圓的位置關系，結合圓錐曲線的定義即可解決．【題目詳解】(1)設A是拋物線上任意一點，則，因為,所以當時，.點到拋物線的距離.（2）設線段的端點分別為，，以直線為軸，的中點為原點建立直角坐標系，則，，點集由如下曲線圍成：，，，，，，，，集合所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，其面積為．(3)設動點為，當點在圓內(nèi)不與圓心重合，連接并延長，交于圓上一點，由題意知，，所以，即的軌跡為一橢圓；如圖．如果是點在圓外，由，得，為一定值，即的軌跡為雙曲線的一支；當點與圓心重合，要使，則必然在與圓的同心圓，即的軌跡為一圓.【題目點撥】本題主要考查新定義的理解和應用，考查拋物線中的最值問題，考查軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1)+y2=1．(2)見解析.【解題分析】

（1）由題意可得：，，a2=b2+c2，聯(lián)立解得：a，b．即可得出橢圓C的方程．（2）設P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．．可得直線BP，AP的方程分別為：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．可得|AM|?|BN|為定值．【題目詳解】解：（1）由題意可得：+=1，=，a2=b2+c2，聯(lián)立解得：a=2，b=1．∴橢圓C的方程為：+y2=1．（2）證明：設P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．+2=2．可得直線BP，AP的方程分別為：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．∴|AM|?|BN|=（2-）（1-）=2--+==2為定值．【題目點撥】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、90分；分.【解題分析】

計算出剩下名學生的數(shù)學、英語成績之和，于是求得平均分；可先計算出，再利用公式可計算出線性回歸方程，代入學號為的同學成績，即得答案.【題目詳解】由題名學生的數(shù)學成績之和為，英語成績之和為取消兩位作弊同學的兩科成績后，其余名學生的數(shù)學成績之和為其余名學生的英語成績之和為其余名學生的數(shù)學平均分，英語平均分都為；不妨設取消的兩名同學的兩科成績分別為數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程代入學號為的同學成績，得本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊，他的英語成績估計為分.