安徽省長豐縣朱巷中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

安徽省長豐縣朱巷中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題正確的是（）（A）若，垂直于同一平面，則與平行（B）若，平行于同一平面，則與平行（C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線（D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面2．雙曲線經(jīng)過點，且離心率為3，則它的虛軸長是（）A． B． C．2 D．43．已知函數(shù)在時取得極大值，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．某城市關(guān)系要好的，，，四個家庭各有兩個小孩共人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐名（乘同一輛車的名小孩不考慮位置），其中戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名小孩恰有名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種5．雙曲線的漸近線方程是A． B．C． D．6．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，則的最大值為A． B． C． D．7．在二項式的展開式中，的系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．808．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，對應(yīng)向量的模為3，且實部為，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C． D．9．對相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（）A．越大，線性相關(guān)程度越大B．越小，線性相關(guān)程度越大C．越大，線性相關(guān)程度越小，越接近0，線性相關(guān)程度越大D．且越接近1，線性相關(guān)程度越大，越接近0，線性相關(guān)程度越小10．設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，，垂足為A，如果為正三角形，那么等于（）A． B． C．6 D．1211．（）A．9 B．12 C．15 D．312．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律:衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星至地球的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c.李明根據(jù)所學(xué)的橢圓知識，得到下列結(jié)論：①衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c；②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁；③衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大其中正確結(jié)論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在ΔABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，D是AB的中點，若CD=1且(a-14．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________．15．的展開式中，的系數(shù)為_____16．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若方程在區(qū)間有解，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間：（Ⅱ）關(guān)于的方程在范圍內(nèi)有兩個解，求的取值范圍.19．（12分）如圖,在一個水平面內(nèi),河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側(cè)的河岸所在直線恰經(jīng)過BC的中點D.現(xiàn)欲在河岸上A,D之間取一點E,分別修建電纜CE和EA,EB.設(shè)∠DCE=θ,記電纜總長度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當∠DCE為多大時,電纜的總長度f(θ)最小,并求出最小值.20．（12分）設(shè)全體空間向量組成的集合為，為中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”.（1）設(shè)，，若，求向量；（2）對于中的任意兩個向量，，證明：；（3）對于中的任意單位向量，求的最大值.21．（12分）山西省2021年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學(xué)生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分。根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為共8個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績。舉例說明1：甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，化學(xué)學(xué)科等級的原始分分布區(qū)間為，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬等級，而等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為那么，甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)甲同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級分為，求得.四舍五入后甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?6分。舉例說明2：乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為69分，化學(xué)學(xué)科等級的原始分分布區(qū)間為則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬等級.而等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為這時不用公式，乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績直接取下端點70分?，F(xiàn)有復(fù)興中學(xué)高一年級共3000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布。且等級為所在原始分分布區(qū)間為，且等級為所在原始分分布區(qū)間為，且等級為所在原始分分布區(qū)間為（1）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學(xué)在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學(xué)科賦分成績；（精確到整數(shù)）.（2）若以復(fù)興中學(xué)此次考試頻率為依據(jù)，在學(xué)校隨機抽取4人，記這4人中物理原始成績在區(qū)間的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差.（精確到小數(shù)點后三位數(shù)）.附：若隨機變量滿足正態(tài)分布，給出以下數(shù)據(jù)，22．（10分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故不正確；由，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，若，不平行，但平面內(nèi)會存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故項正確.所以選D.考點：1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.2、A【解題分析】

根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點和離心率，結(jié)合列方程組，解方程組求得的值，進而求得虛軸長.【題目詳解】將點代入雙曲線方程及離心率為得，解得，故虛軸長，故本小題選A.【題目點撥】本小題主要考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.解題過程中要注意：虛軸長是而不是.3、D【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當a≥0時，f（x）在x＝1取得極小值，不符合；當a＜0時，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），為使f（x）在x＝1取得極大值，則有l(wèi)n（﹣a）＞1，由此求得a的范圍得答案．【題目詳解】由，得f′（x）＝e2x+（a﹣e）ex﹣ae＝（ex+a）（ex﹣e）．當a≥0時，ex+a＞0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得x＜1．∴f（x）在（﹣∞，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，則f（x）在x＝1取得極小值，不符合；當a＜0時，令f′（x）＝0，得x＝1或ln（﹣a），為使f（x）在x＝1取得極大值，則有l(wèi)n（﹣a）＞1，∴a＜﹣e．∴a的取值范圍是a＜﹣e．故選：D．【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，關(guān)鍵是明確函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號間的關(guān)系，是中檔題．4、B【解題分析】若A戶家庭的李生姐妹乘坐甲車,即剩下的兩個小孩來自其他的2個家庭,有種方法.若A戶家庭的李生姐妹乘坐乙車,那來自同一家庭的2名小孩來自剩下的3個家庭中的一個,有.所以共有12+12=24種方法.本題選擇B選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．5、B【解題分析】

由雙曲線方程求得，由漸近線方程為求得結(jié)果.【題目詳解】由雙曲線方程得：，漸近線方程為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

設(shè)這個籃球運動員得1分的概率為c，由題設(shè)知

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．【題目詳解】設(shè)這個籃球運動員得1分的概率為c，

∵這個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，得0分的概率為0.5，

投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1，

∴

，

解得2a+b=0.5，

∵a、b∈（0，1），

∴

=

=

，

∴ab

，

當且僅當2a=b=

時，ab取最大值

．

故選D．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理的靈活運用．7、A【解題分析】

根據(jù)二項展開式的通項，可得，令，即可求得的系數(shù)，得到答案.【題目詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，可得，即展開式中的系數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)向量的模為3列方程求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，對應(yīng)向量的模為3，且實部為.設(shè)復(fù)數(shù)，∵，∴，復(fù)數(shù).故.故選：C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及模的運算，是基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

根據(jù)兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)r的基本特征，直接選出正確答案即可．【題目詳解】用相關(guān)系數(shù)r可以衡量兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的強弱，|r|≤1，r的絕對值越接近于1，表示兩個變量的線性相關(guān)性越強，r的絕對值接近于0時，表示兩個變量之間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，故選D．【題目點撥】本題考查兩個變量之間相關(guān)系數(shù)的基本概念應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．10、C【解題分析】

設(shè)準線l與軸交于點，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，這兩個條件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的長．【題目詳解】設(shè)準線l與軸交于點，所以，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，，在中，，，所以|PF|等于6,故本題選C．【題目點撥】本題考查了拋物線的定義．11、A【解題分析】分析：直接利用排列組合的公式計算.詳解：由題得.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查排列組合的計算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)排列數(shù)公式：==(，∈，且)．組合數(shù)公式：===(∈，，且)12、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的焦半徑的最值來判斷命題①，根據(jù)橢圓的離心率大小與橢圓的扁平程度來判斷命題②，根據(jù)題中“速度的變化服從面積守恒規(guī)律”來判斷命題③?！绢}目詳解】對于命題①，由橢圓的幾何性質(zhì)得知，橢圓上一點到焦點距離的最小值為a-c，最大值為a+c，所以，衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，結(jié)論①正確；對于命題②，由橢圓的幾何性質(zhì)知，當橢圓的離心率e=ca越大，橢圓越扁，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值a-ca+c對于命題③，由于速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，當衛(wèi)星越靠近遠地點時，向徑越大，當衛(wèi)星越靠近近地點時，向徑越小，由于在相同時間掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以，衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小，結(jié)論③錯誤。故選：C?！绢}目點撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓幾何量對橢圓形狀的影響，在判斷時要充分理解這些幾何量對橢圓形狀之間的關(guān)系，考查分析問題的能力，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解題分析】

由題意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2，于是可得cosC=14，sin【題目詳解】如圖，設(shè)∠CDA=θ，則∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中，分別由余弦定理可得cosθ=兩式相加，整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推論可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面積的最大值是155故答案為155【題目點撥】本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，解題時注意幾何圖形性質(zhì)的合理利用．對于三角形中的最值問題，求解時一般要用到基本不定式，運用時不要忽視等號成立的條件．本題綜合性較強，考查運用知識解決問題的能力和計算能力．14、【解題分析】函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+2ax+1由于函數(shù)f（x）有兩個極值點，則方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）15、【解題分析】

根據(jù)題意，由二項式定理可得的展開式的通項，令的系數(shù)為1，解可得的值，將的值導(dǎo)代入通項，計算可得答案．【題目詳解】由二項式的展開式的通項為，令，解可得，則有，即的系數(shù)為1，故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項式定理的形式，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．．16、【解題分析】

函數(shù)有三個不同的零點等價于的圖象與直線有三個不同交點，數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)有三個不同的零點等價于的圖象與直線有三個不同交點，作出函數(shù)的圖象：由圖易得：故答案為【題目點撥】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）.【解題分析】

（1）根據(jù)，利用分類討論便可得到最后解集；（2）根據(jù)方程在區(qū)間有解轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)圖象在區(qū)間上有交點，從而得解．【題目詳解】（1）可化為10或或；2＜x≤或或；不等式的解集為；（2）由題意：故方程在區(qū)間有解函數(shù)和函數(shù)圖象在區(qū)間上有交點當時，【題目點撥】本題考查絕對知不等式的求解和應(yīng)用，主要是利用分類討論的方法去掉絕對值符號；關(guān)于方程解的問題直接用方程思想和數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題便可得解．18、（Ⅰ）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)，，可解出，再求導(dǎo)判斷即可．（Ⅱ）由（I）可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.，，畫出草圖即可得出答案．【題目詳解】解：（I）函數(shù)，則且.因為函數(shù)在處的切線方程為，所以則，則.所以，.當時故為單調(diào)遞減，當時故為單調(diào)遞增.所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）因為方程在范圍內(nèi)有兩個解，所以與在又兩個交點由（I）可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以在有極小值為，且.又因為當趨于正無窮大時，也趨于正無窮大.所以.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的切線方程求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．19、（1）f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3【解題分析】分析：易得CE=EB=1cosθ，ED=tanθ，AE=3-tanθ，f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3.(2)求導(dǎo)f'(θ)=-cos2詳解：(1)易得AD垂直平分BC，CD=BD=1則CE=EB=1cosθ，ED=于是f(θ)=1cosθ因為E在CD之間,所以0<θ<π故f(θ)=2-sinθ(2)f'(θ)=-cos2令f'(θ)=0,得sinθ=故當0<θ<π6，f'(θ)<0，當π6<θ<π3.,所以,當θ=π6時,f(θ)答:當∠DCE=π6時,f(θ)最小值為點睛：此題為三角函數(shù)的實際應(yīng)用題，解題時要注意分析題目中的條件，常常跟正余弦定理，三角函數(shù)比值關(guān)系等幾何關(guān)系結(jié)合在一起考查，不難，但是綜合性強；第二問求最值如果不能轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求得最值，那就通過導(dǎo)數(shù)來分析.20、（1）或；（2）見解析；（3）最大值為.【解題分析】分析：（1），設(shè)，代入運算得：，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，，，則利用“向量函數(shù)”的解析式化簡，從而可得結(jié)果；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，即最大值為.詳解：（1）依題意得：，設(shè)，代入運算得：或；（2）設(shè)，，，則從而得證；（3）設(shè)與的夾角為，則，則，故最大值為.點睛：新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗證