2024屆浙江省紹興市柯橋區(qū)柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆浙江省紹興市柯橋區(qū)柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種2．已知直線（為參數(shù)）與曲線的相交弦中點坐標為，則等于（）A． B． C． D．3．定義語句“”表示把正整數(shù)除以所得的余數(shù)賦值給，如表示7除以3的余數(shù)為1，若輸入，，則執(zhí)行框圖后輸出的結(jié)果為（）A．6 B．4 C．2 D．14．五名應屆畢業(yè)生報考三所高校,每人報且僅報一所院校,則不同的報名方法的種數(shù)是()A． B． C． D．5．定義運算，，例如，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．6．已知隨機變量的取值為，若，，則（）A． B． C． D．7．設，為的展開式的第一項（為自然對數(shù)的底數(shù)），,若任取，則滿足的概率是（）A． B． C． D．8．給出下列三個命題：(1)如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行；(2)一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面不相交，則這兩個平面平行；(3)一個平面內(nèi)有不共線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行；其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．39．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，設函數(shù)，，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．3 B．4 C．5 D．610．直線（為參數(shù)）上與點的距離等于的點的坐標是A． B．C．或 D．或11．若|x﹣1|≤x|x+1|，則（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x12．如圖是“向量的線性運算”知識結(jié)構(gòu)，如果要加入“三角形法則”和“平行四邊形法則”，應該放在（）A．“向量的加減法”中“運算法則”的下位B．“向量的加減法”中“運算律”的下位C．“向量的數(shù)乘”中“運算法則”的下位D．“向量的數(shù)乘”中“運算律”的下位二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數(shù)學歸納法證明，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數(shù)是_____項．14．在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率，則在內(nèi)取值的概率為.15．拋物線C:上一點到其焦點的距離為3，則拋物線C的方程為_______.16．為虛數(shù)單位，若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二階矩陣對應的變換將點變換成，將點變換成.（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若向量，計算.18．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）2019年6月13日，三屆奧運亞軍，羽壇傳奇，馬來西亞名將李宗偉宣布退役，當天有大量網(wǎng)友關注此事件，某網(wǎng)上論壇從關注此事件跟帖中，隨機抽取了100名網(wǎng)友進行調(diào)查統(tǒng)計，先分別統(tǒng)計他們在跟帖中的留言條數(shù)，再把網(wǎng)友人數(shù)按留言條數(shù)分成6組；，得到如下圖所小的頻率分布直方圖；并將其中留言不低于40條的規(guī)定為“強烈關注”，否則為“一般關注”，對這100名網(wǎng)友進一步統(tǒng)計，得到部分數(shù)據(jù)如下的列聯(lián)表.（1）在答題卡上補全2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，并判斷能否有95%的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關注”與性別有關？（2）該論壇欲在上述“強烈關注”的網(wǎng)友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，并在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記女性訪談者的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.20．（12分）3名男生、2名女生站成一排照相：（1）兩名女生都不站在兩端，有多少不同的站法？（2）兩名女生要相鄰，有多少種不同的站法？21．（12分）盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用.（1）從盒中每次隨機抽取1個零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率；（2）從盒中隨機抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）已知（1）求；（2）若，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進行全排列,共有,故選B.2、A【解題分析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化，得直線的普通方程為，由極坐標與直角坐標的互化，得曲線普通方程為，再利用“平方差”法，即可求解．【題目詳解】由直線（為參數(shù)），可得直線的普通方程為，由曲線，可得曲線普通方程為，設直線與橢圓的交點為，，則，，兩式相減，可得.所以，即直線的斜率為，所以，故選A．【題目點撥】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及中點弦問題的應用，其中解答中熟記互化公式，合理應用中點弦的“平方差”法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、C【解題分析】

模擬執(zhí)行程序框圖，只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可得到輸出的的值.【題目詳解】第一次進入循環(huán)，因為56除以18的余數(shù)為2，所以，，，判斷不等于0，返回循環(huán)；第二次進入循環(huán)，因為18除以2的余數(shù)為0，所以，，，判斷等于0，跳出循環(huán)，輸出的值為2.故選C.【題目點撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.4、D【解題分析】由題意，每個人可以報任何一所院校，則結(jié)合乘法原理可得：不同的報名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項.5、D【解題分析】分析：欲求函數(shù)y=1*2x的值域，先將其化成分段函數(shù)的形式，再畫出其圖象，最后結(jié)合圖象即得函數(shù)值的取值范圍即可．詳解：當1≤2x時，即x≥0時，函數(shù)y=1*2x=1當1＞2x時，即x＜0時，函數(shù)y=1*2x=2x∴f（x）=由圖知，函數(shù)y=1*2x的值域為：（0，1]．故選D．點睛：遇到函數(shù)創(chuàng)新應用題型時，處理的步驟一般為：①根據(jù)“讓解析式有意義”的原則，先確定函數(shù)的定義域；②再化簡解析式，求函數(shù)解析式的最簡形式，并分析解析式與哪個基本函數(shù)比較相似；③根據(jù)定義域和解析式畫出函數(shù)的圖象④根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)．6、C【解題分析】

設，，則由，，列出方程組，求出，，即可求得．【題目詳解】設，，①，又②由①②得，，，故選：C.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．7、D【解題分析】分析：由已知求得m，畫出A表示的平面區(qū)域和滿足ab＞1表示的平面區(qū)域，求出對應的面積比即可得答案．詳解:由題意，s=，∴m==，則A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，畫出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面區(qū)域，任?。╝，b）∈A，則滿足ab＞1的平面區(qū)域為圖中陰影部分，如圖所示：計算陰影部分的面積為S陰影==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣1．所求的概率為P=，故答案為：D．點睛：（1）本題主要考查幾何概型，考查定積分和二項式定理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本題的關鍵是利用定積分求陰影部分的面積.8、B【解題分析】

根據(jù)面面平行的位置關系的判定依次判斷各個命題的正誤，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）若一個平面內(nèi)有無數(shù)條互相平行的直線平行于另一個平面，兩個平面可能相交，則（1）錯誤；（2）平面內(nèi)任意一條直線與另一個平面不相交，即任意一條直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行，（2）正確；（3）若不共線的三點中的兩點和另一個點分別位于平面的兩側(cè)，此時雖然三點到平面距離相等，但兩平面相交，（3）錯誤.本題正確選項：【題目點撥】本題考查面面平行相關命題的辨析，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)與的圖象都關于直線對稱，作出兩個函數(shù)圖象，分析其交點情況即可得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)滿足可知，函數(shù)的圖象關于直線對稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，由函數(shù)可知，函數(shù)的圖象關于直線對稱，畫出函數(shù)與的圖象如圖所示：設圖中四個交點的橫坐標為，由圖可知，，所以函數(shù)與的圖象所有交點的橫坐標之和為4.故選：B【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和對稱性、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力；利用函數(shù)的奇偶性和對稱性作出函數(shù)圖象是求解本題的關鍵；屬于綜合型、難度大型試題.10、D【解題分析】

直接利用兩點間的距離公式求出t的值，再求出點的坐標.【題目詳解】由，得，則，則所求點的坐標為或.故選D【題目點撥】本題主要考查直線的參數(shù)方程和兩點間的距離公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.11、A【解題分析】

對按照，，進行分類討論，分別解不等式，然后取并集，得到答案.【題目詳解】①當時，，即，解得所以②當時，，即解得或所以③當時，，即解得所以綜上所述，故選A項.【題目點撥】本題考查分類討論解不含參的絕對值不等式，屬于簡單題.12、A【解題分析】

由“三角形法則”和“平行四邊形法則”是向量的加減法的運算法則，由此易得出正確選項．【題目詳解】因為“三角形法則”和“平行四邊形法則”是向量的加減法的運算法則，故應該放在“向量的加減法”中“運算法則”的下位．故選A．【題目點撥】本題考查知識結(jié)構(gòu)圖，向量的加減法的運算法則，知識結(jié)構(gòu)圖比較直觀地描述了知識之間的關聯(lián)，解題的關鍵是理解知識結(jié)構(gòu)圖的作用及知識之間的上下位關系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)等式時，考慮和時，等式左邊的項，再把時等式的左端減去時等式的左端，即可得到答案．【題目詳解】解：當時，等式左端，當時，等式左端，所以增加的項數(shù)為：即增加了項．故答案為：．【題目點撥】此題主要考查數(shù)學歸納法的問題，解答的關鍵是明白等式左邊項的特點，再把時等式的左端減去時等式的左端，屬于基礎題．14、0.8【解題分析】

由于正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)的圖象關于直線ξ＝1對稱，且ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，因此ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率也為0.4，故ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.15、【解題分析】

利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；【題目詳解】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線方程為x，由拋物線的定義可知13，解得p＝4，∴C的方程為y2＝8x；故答案為【題目點撥】本題考查拋物線的定義與方程，熟記定義是關鍵，屬于基礎題．16、-1【解題分析】分析：利用純虛數(shù)的定義直接求解．詳解：∵復數(shù)是純虛數(shù)，，

解得．

故答案為-1．點睛：本題考實數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意純虛數(shù)的定義的合理運用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】分析：（1）利用階矩陣對應的變換的算法解出，再求（2）先計算矩陣的特征向量，再計算詳解：（1），則，，解得，，，，所以，所以；（2）矩陣的特征多項式為，令，解得，，從而求得對應的一個特征向量分別為，.令，求得，，所以.點睛：理解矩陣的計算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換．18、(1)證明見解析(2)【解題分析】

（1）取中點，連接，，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標原點，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結(jié)果.【題目詳解】(1)證明:取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以.(2)設，如圖以為坐標原點，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，由(1)可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的證明、中位線定理以及利用空間向量求線面角的正弦值，考查了學生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．19、（1）列聯(lián)表見解析，沒有的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關注”與性別有關（2）分布列見解析，數(shù)學期望【解題分析】

1根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率，計算強烈關注的頻率進而得到強烈關注的人數(shù)，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)即可得到其余數(shù)據(jù)，補全列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算的值，結(jié)合臨界值表中的數(shù)據(jù)判斷即可；2的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學期望．【題目詳解】1根據(jù)頻率分布直方圖得，網(wǎng)友強烈關注的頻率為，所以強烈關注的人數(shù)為，因為強烈關注的女行有10人，所以強烈關注的男性有15人，所以一般關注的男性有人，一般關注的女性有人，所以列聯(lián)表如下：一般關注強烈關注合計男301545女451055合計7525100由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可得：．所以沒有的把握認為網(wǎng)友對此事件是否為“強烈關注”與性別有關．2論壇欲在上述“強烈關注的網(wǎng)友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，則抽中女性網(wǎng)友：人，抽中男性網(wǎng)友：人，在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記女性訪談者的人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：

0

12

P

數(shù)學期望．【題目點撥】本題考查獨立性檢驗、根據(jù)頻率分布直方圖求估計數(shù)據(jù)的中位數(shù)、列聯(lián)表等知識、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）（2）【解題分析】

（1）先選兩個男生放在兩端，剩余一個男生和兩個女生全排列；（2）兩名女生看成一個整體，然后和三名男生全排列，注意兩個女生之間也要全排.【題目詳解】解：（1）由已知得.（2）由已知得.【題目點撥】排列組合組合問題中，要注意一個原則：特殊元素優(yōu)先排列，當優(yōu)先元素的問題解決后，后面剩余的部分就比較容易排列組合.21、（1）3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率p=150（2）隨機變量X的分布列為:X

2

3

4

P

1