2024屆江蘇省輔仁高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆江蘇省輔仁高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．函數(shù)f(x)=lnxA． B． C． D．3．展開式中的系數(shù)為（）A．30 B．15 C．0 D．-154．A．30 B．24 C．20 D．155．在0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．216 B．288 C．312 D．3606．已知，則中（）A．至少有一個(gè)不小于1 B．至少有一個(gè)不大于1C．都不大于1 D．都不小于17．某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6，則該三棱柱的體積為A． B． C． D．8．已知兩個(gè)復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),關(guān)于代數(shù)式有以下判斷:①最大值為2；②無最大值;③最小值為；④無最小值.其中正確判斷的序號是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③9．已知集合，則等于（）A． B． C． D．10．設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（）A． B． C． D．11．化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．12．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若＝，則x的值為_______．14．計(jì)算的結(jié)果為______.15．若過拋物線的焦點(diǎn)，且傾斜角為的直線交拋物線于，，則__________．16．學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)有男選手名，女選手名，其中男女隊(duì)長各名.選派人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（1）男選手名，女選手名；（2）至少有名男選手；（3）既要有隊(duì)長，又要有男選手.18．（12分）已知，．（1）如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知x，y，z是正實(shí)數(shù)，且滿足.(1)求的最小值；(2)求證：20．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，判斷與的大小關(guān)系并證明.21．（12分）在如圖所示的六面體中，面是邊長為的正方形，面是直角梯形，，，.（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）若二面角為，求直線和平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先由題意得到，，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所?故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，熟記除法運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)B,D，再利用特殊點(diǎn)的函數(shù)值判斷即可．【題目詳解】函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B,D；當(dāng)-1<x<0,f（x）<0，排除選項(xiàng)C故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的變化趨勢是判斷函數(shù)的圖象的常用方法．3、C【解題分析】

根據(jù)的展開式的通項(xiàng)公式找出中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)做差即可．【題目詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，故中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)是和項(xiàng)的系數(shù)是所以展開式中的系數(shù)為-=0【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理是解本題的關(guān)鍵．4、A【解題分析】

根據(jù)公式：計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)?，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列數(shù)的計(jì)算，難度較易.5、C【解題分析】

根據(jù)能被2整除，可知為偶數(shù).最高位不能為0，可分類討論末位數(shù)字，即可得總個(gè)數(shù).【題目詳解】由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，其余五個(gè)數(shù)為任意全排列，即有種；當(dāng)末位數(shù)字為2或4時(shí)，最高位從剩余四個(gè)非零數(shù)字安排，其余四個(gè)數(shù)位全排列，則有，綜上可知，共有個(gè).故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合的簡單應(yīng)用，分類分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

用反證法證明，假設(shè)同時(shí)大于，推出矛盾得出結(jié)果【題目詳解】假設(shè)，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設(shè)不成立，所以不能同時(shí)大于，所以至少有一個(gè)不大于，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，在此基礎(chǔ)上推出矛盾，是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還運(yùn)用了基本不等式，本題較為綜合7、C【解題分析】

計(jì)算結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的正三角形，所以底面的面積為，則該三棱柱的體積為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了棱柱的體積公式，屬于簡單題型.8、C【解題分析】

設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn),利用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量的數(shù)量積可以判斷出的最值情況.【題目詳解】設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn),因此有：因?yàn)?復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),所以,(當(dāng)且僅當(dāng)),故,假設(shè)有最小值,則,顯然對于也成立,于是有這與相矛盾,故不存在最小值；對任意正整數(shù),,,,故沒有最大值,因此②④說法正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的向量表示,考查了平面向量的數(shù)量積的計(jì)算,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、C【解題分析】

由不等式性質(zhì)求出集合A、B，由交集的定義求出可得答案.【題目詳解】解：可得；，可得=故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了交集及其運(yùn)算，求出集合A、B并熟練掌握交集的定義是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】

試題分析：，作圖如下，可得所求概率,故選C.考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)及其性質(zhì)；2、圓及其性質(zhì)；3、幾何概型.11、A【解題分析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的加法法則的應(yīng)用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】由題意可知：直角三角向斜邊長為17，由等面積，可得內(nèi)切圓的半徑為：落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率為，故落在圓外的概率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4或9.【解題分析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結(jié)果詳解：因?yàn)椋?，所以因此點(diǎn)睛：組合數(shù)性質(zhì)：14、【解題分析】

利用指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)即可得出．【題目詳解】原式

．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】

先求直線AB的方程，再利用弦長公式求.【題目詳解】由題得拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線AB的方程為，即.把代入得，所以=.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的弦長的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16、1．8【解題分析】

根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.【題目詳解】由題意得，，四棱錐O?EFG的高3cm，∴．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）30；（2）65；（3）51.【解題分析】

（1）先選兩名男選手，再選兩名女選手，乘法原理得到答案.（2）用總的選擇方法減去全是女選手的方法得到答案.（3）分為有男隊(duì)長和沒有男隊(duì)長兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】(1)第一步：選名男運(yùn)動員，有種選法.第二步：選名女運(yùn)動員，有種選法.共有(種)選法.(2)至少有名男選手”的反面為“全是女選手”.從人中任選人，有種選法，其中全是女選手的選法有種.所以“至少有名女運(yùn)動員”的選法有(種).(3)當(dāng)有男隊(duì)長時(shí)，其他人選法任意，共有種選法.不選男隊(duì)長時(shí)，必選女隊(duì)長，共有種選法，其中不含男選手的選法有種，所以不選男隊(duì)長時(shí)，共有種選法.故既要有隊(duì)長，又要有男選手的選法有(種).【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合問題的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決問題的能力.18、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）求g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）單調(diào)減區(qū)間為（，1），即是方程g'（x）＝0的兩個(gè)根．然后解a即可．（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程．（3）將不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，轉(zhuǎn)化為含參問題恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．【題目詳解】（1）由題意的解集是：即的兩根分別是，1．將或代入方程得．∴．（2）由（1）知：，∴，∴點(diǎn)處的切線斜率，∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，即．（3）∵，即：對上恒成立可得對上恒成立設(shè)，則令，得或（舍）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值∴．的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，最值之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．對含有參數(shù)恒成立問題，則需要轉(zhuǎn)化為最值恒成立．19、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：(1)利用“乘1法”，根據(jù)基本不等式可求的最小值；(2)由柯西不等式即可得證.詳解：(1)∵x，y，z是正實(shí)數(shù)，且滿足x＋2y＋3z＝1，∴＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝且＝且＝時(shí)取等號．(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝，即x＝，y＝，z＝時(shí)取等號．故x2＋y2＋z2≥點(diǎn)睛：本題考查基本不等式及柯西不等式，屬基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）通過討論a的范圍，去掉絕對值，解不等式，確定的范圍即可；

（Ⅱ）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)判斷即可．【題目詳解】（I）因?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，得，解得，所以;②當(dāng)時(shí)，得，解得，所以;③當(dāng)時(shí)，得，解得，所以;綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是（II），因?yàn)?所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．21、(1)證明見解析.(2).【解題分析】試題分析：（1）連接相交于點(diǎn),取的中點(diǎn)為,連接，易證四邊形是平行四邊形，從而可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,計(jì)算法向量，根據(jù)公式即可求出.試題解析：(1):連接相交于點(diǎn),取的中點(diǎn)為,連接.是正方形,是的中點(diǎn),,又因?yàn)?所以且,所以四邊形是平行四邊形,,又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?2)是正方形,是直角梯形,,,平面,同理可得平面.又平面,所以平面平面,又因?yàn)槎娼菫?0°，所以,由余弦定理得,所以，因?yàn)榘朊妫?所以平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,