2024屆遼寧省大連瓦房店市第六高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆遼寧省大連瓦房店市第六高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C．48 D．2．高三畢業(yè)時(shí)，甲，乙，丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量，若，則分別是（）A．6和5.6 B．4和2.4 C．6和2.4 D．4和5.64．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)P，Q分別是圓和橢圓上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A． B．C． D．6．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，出場(chǎng)順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，共有出場(chǎng)方案的種數(shù)是（）A． B． C． D．7．設(shè)，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定10．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A．B．C．D．11．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）．A．70 B．90 C．40 D．6012．雙曲線和有（）A．相同焦點(diǎn) B．相同漸近線 C．相同頂點(diǎn) D．相等的離心率二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，且．（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.14．3名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站在兩端，3名女生中，有且只有兩個(gè)女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為_(kāi)__________．15．設(shè)、兩隊(duì)進(jìn)行某類(lèi)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽為四局，每局比賽沒(méi)有平局，前三局勝者均得1分，第四局勝的一隊(duì)得2分，各局負(fù)者都得0分，假設(shè)每局比賽隊(duì)獲勝的概率均為，且各局比賽相互獨(dú)立，則比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分的概率為_(kāi)_________．16．用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有100個(gè)個(gè)體的總體中依次抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率為_(kāi)____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）求證：18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x2(x-a)，x∈R（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)g(x)=f'(x),f(x)≥19．（12分）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)，且恒成立時(shí)，求的最大值.20．（12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號(hào)t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，21．（12分）在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為0，已知曲線與曲線交于不同的兩點(diǎn).求：(1)的值；(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的極坐標(biāo)方程．22．（10分）電視傳媒公司為了解世界杯期間某地區(qū)電視觀眾對(duì)《戰(zhàn)斗吧足球》節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：(注：頻率分布直方圖中縱軸表示，例如，收看時(shí)間在分鐘的頻率是)將日均收看該足球節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“足球迷”．（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否可以認(rèn)為“足球迷”與性別有關(guān)？如果有關(guān)，有多大把握？非足球迷足球迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“足球迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、均值和方差．附：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計(jì)算表面積即可.【題目詳解】由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，則該幾何體的表面積為：.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三視圖，空間幾何體的表面積計(jì)算，考查了學(xué)生的直觀想象能力.2、B【解題分析】

記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學(xué)形成四個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學(xué)形成三個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要弄清各事件事件的關(guān)系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算相應(yīng)事件的概率，并靈活利用條件概率公式計(jì)算出所求事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．3、B【解題分析】分析：根據(jù)變量ξ～B（10，0.4）可以根據(jù)公式做出這組變量的均值與方差，隨機(jī)變量η=8﹣ξ，知道變量η也符合二項(xiàng)分布，故可得結(jié)論．詳解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故選：B．點(diǎn)睛：本題考查變量的均值與方差，均值反映數(shù)據(jù)的平均水平，而方差反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，屬于基礎(chǔ)題．方差能夠說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度，期望說(shuō)明數(shù)據(jù)的平均值，從選手發(fā)揮穩(wěn)定的角度來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇方差小的.4、D【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得恒成立，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值即可．【題目詳解】由函數(shù)，得，故據(jù)題意可得問(wèn)題等價(jià)于時(shí)，恒成立，即恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，故而，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，函數(shù)恒成立的等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.5、C【解題分析】

求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點(diǎn)間的最大距離.【題目詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設(shè)，則，即，∴當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點(diǎn)到圓的最大距離是這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之和，根據(jù)圓外點(diǎn)在橢圓上，即可列出橢圓上一點(diǎn)到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大值.6、D【解題分析】

利用捆綁法：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起看作一個(gè)元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列，利用排列組合的知識(shí)和分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【題目詳解】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，同時(shí)對(duì)兩名女歌手進(jìn)行全排列有種選擇；再把他們捆綁在一起看作一個(gè)元素和剩余的3名男歌手進(jìn)行全排列有種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理可得，共有出場(chǎng)方案的種數(shù)為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查利用捆綁法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列數(shù)公式求解排列組合問(wèn)題；考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力；分清排列和組合和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.7、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)定義可求得結(jié)果.【題目詳解】，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的解析式為，則它與在有交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象得到.【題目詳解】函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的解析式為，函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示：若過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，但此時(shí)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)在軸上，所以要保證在軸的正半軸，兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，則的圖象向右平移均存在交點(diǎn)，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移問(wèn)題，注意利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行問(wèn)題求解，能減少運(yùn)算量.9、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)從而有，故選A．考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．【思路點(diǎn)睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉(zhuǎn)化為，從而可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，代入即可求出結(jié)果．10、B【解題分析】解：因?yàn)閯t可知展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為,選B11、B【解題分析】

用除以甲的頻率，由此求得樣本容量.【題目詳解】甲的頻率為，故，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分層抽樣的知識(shí)，考查頻率與樣本容量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【題目詳解】解：對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1），，（2）（）．證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）利用遞推式直接求：（2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【題目詳解】解：（1）∵，且，∴，，．（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因此，左邊=右邊．所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立．②假設(shè)（，）時(shí)，猜想成立，即，那么時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立．根據(jù)①和②，可知猜想成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列中的歸納法思想及證明基本步驟，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

先計(jì)算有且只有兩個(gè)女生相鄰的排列種數(shù)，再計(jì)算“在3名女生中，有且只有兩個(gè)女生相鄰，且男生甲在兩端的排列”種數(shù)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】先考慮3名女生中，有且只有兩個(gè)女生相鄰的排列，共有種，在3名女生中，有且只有兩個(gè)女生相鄰，且男生甲在兩端的排列有種，所以，滿(mǎn)足題意的不同排法的種數(shù)為：種.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于?？碱}型.15、【解題分析】

比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分是指前3局比賽中兩勝一負(fù)，第4局比賽勝，由此能求出比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分的概率．【題目詳解】比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分是指前3局比賽中兩勝一負(fù)，第4局比賽勝，比賽結(jié)束時(shí)隊(duì)得分比隊(duì)高3分的概率：．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

總體含100個(gè)個(gè)體，從中抽取容量為5的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.【題目詳解】因?yàn)榭傮w含100個(gè)個(gè)體，所以從中抽取容量為5的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念，即若總體有個(gè)個(gè)體，從中抽取個(gè)個(gè)體做為樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、證明見(jiàn)解析．【解題分析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結(jié)論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡(jiǎn)后再一次平方可尋找到?jīng)]有根號(hào)，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以為了證明只需證明展開(kāi)得即因?yàn)槌闪ⅲ猿闪⒓醋C明了【題目點(diǎn)撥】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.18、（Ⅰ）y=x-1（Ⅱ）g【解題分析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，利用點(diǎn)斜式可求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程；（Ⅱ）分別討論a，利用數(shù)形結(jié)合法，求函數(shù)g(x)=f【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2(x-1)，∴f'(1)=1，又∴曲線(1,f(1))在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為：y=x-1．（Ⅱ）f(x)=x3-a由f(x)=fx1=a+3-a2-2a+9得當(dāng)-2≤a≤2，x2a=0時(shí)，g(x)=x3，g(x)在-2,2單調(diào)遞增，∴g②當(dāng)-2≤a<0時(shí)，可得-2≤a<x1<∴g(x)在-2,x1單調(diào)遞增，x1g(x)min③當(dāng)0<a≤2時(shí)，可得0<a∵f(x)∴g(x)=f(x),x∈[-2,0]∴g(x)在-2,0單調(diào)遞增，0,a3單調(diào)遞減，a3,x∴g(x)綜上，g(x)【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，函數(shù)曲線的切線，函數(shù)的最值，屬于難題．19、(1)(2)【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)函數(shù)研究切線方程可得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）原問(wèn)題等價(jià)于恒成立，二次求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)研究的性質(zhì)可知，滿(mǎn)足，，，，則.據(jù)此討論可得的最大值為.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即為.（2）恒成立，則恒成立，又，令，所以，所以在為單調(diào)遞增函數(shù).又因?yàn)椋?，所以使得，即，，，，所?又因?yàn)椋?，所以，，令，，，所以，即，又，所以，因?yàn)?，，所以的最大值?點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專(zhuān)題在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20、（1）；（1）在1557至1512年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加千元；元.【解題分析】試題分析：本題主要考查線性回歸方程、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，先利用平均數(shù)的計(jì)算公式，由所給數(shù)據(jù)計(jì)算和，代入公式中求出和，從而得到線性回歸方程；第二問(wèn)，利用第一問(wèn)的結(jié)論，將代入即可求出所求的收入．試題解析：（1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得＝（1＋1＋2＋3＋4＋6＋7）＝3，＝（1．9＋2．2＋2．6＋3．3＋3．8＋4．1＋4．9）＝3．2，，，所求回歸方程為．（1）由（1）知，，故1559年至1514年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加5．4千元．將1517年的年份代號(hào)t＝9，代入（1）中的回歸方程，得，故預(yù)測(cè)該地區(qū)1517年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6．8千元．考點(diǎn)：線性回歸方程、平均數(shù)．21、（