2024屆黑龍江省慶安縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆黑龍江省慶安縣第三中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．2．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．3．設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（）A． B． C． D．4．已知，則的最小值為（）A． B． C． D．5．從不同品牌的4臺(tái)“快譯通”和不同品牌的5臺(tái)錄音機(jī)中任意抽取3臺(tái),其中至少有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái),則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種6．長方體中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，是底面上一點(diǎn)，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么（）A．是函數(shù)的極小值點(diǎn)B．是函數(shù)的極大值點(diǎn)C．是函數(shù)的極大值點(diǎn)D．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)8．如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，由圖得到結(jié)論不正確的為（）A．性別與是否喜歡理科有關(guān)B．女生中喜歡理科的比為C．男生不喜歡理科的比為D．男生比女生喜歡理科的可能性大些9．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)紅包，且紅包全被搶光，4個(gè)紅包中有兩個(gè)2元，兩個(gè)5元(紅包中金額相同視為相同的紅包)，則甲、乙兩人同搶到紅包的情況有()A．36種 B．24種 C．18種 D．9種10．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為。若射線與曲線和曲線分別交于兩點(diǎn)（除極點(diǎn)外），則等于（）A． B． C．1 D．11．已知，是雙曲線的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．已知關(guān)于的方程為（其中），則此方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為______．14．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)______.15．如果不等式的解集為，且，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是____16．已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定的取值范圍；(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)恒有（且）成立.（1）求函數(shù)的解析式；（2）討論在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.19．（12分）對(duì)某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和對(duì)數(shù)學(xué)的興趣進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：對(duì)數(shù)學(xué)感興趣對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣合計(jì)數(shù)學(xué)成績好17825數(shù)學(xué)成績一般52025合計(jì)222850（1）試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與數(shù)學(xué)成績是否有關(guān)系，并說明理由．（2）從數(shù)學(xué)成績好的同學(xué)中抽取4人繼續(xù)調(diào)查，設(shè)對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）若為等比數(shù)列，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知復(fù)數(shù)，若，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，直線，且與拋物線沒有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值等于2.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)做拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)題意可知有解,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【題目詳解】由題,若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則有解.當(dāng)時(shí)顯然有解.當(dāng)時(shí),,解得.因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)中僅.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題,需要判斷出導(dǎo)數(shù)大于0有解,利用二次函數(shù)的判別式進(jìn)行求解.屬于中檔題.2、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷.【題目詳解】對(duì)A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)；對(duì)D，，故D錯(cuò).所以本題選B.【題目點(diǎn)撥】熟記導(dǎo)數(shù)公式，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，即，不能漏了前面的負(fù)號(hào).3、C【解題分析】

試題分析：，作圖如下，可得所求概率,故選C.考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)及其性質(zhì)；2、圓及其性質(zhì)；3、幾何概型.4、C【解題分析】試題分析：由題意得，，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選C.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算及模的概念.5、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，有兩種方法，一是2臺(tái)和1臺(tái)；二是1臺(tái)和2臺(tái)，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，快譯通2臺(tái)和錄音機(jī)1臺(tái)，取法有種；快譯通1臺(tái)和錄音機(jī)2臺(tái)，取法有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有種.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個(gè)中檔題目.6、A【解題分析】

將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，則到平面的距離即為的最小值，利用勾股定理解出即可．【題目詳解】將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面和平面在同一平面內(nèi)，過點(diǎn)作平面，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，則為的最小值．，，，，，，，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間距離的計(jì)算，將兩折線段長度和的計(jì)算轉(zhuǎn)化為同一平面上是解決最小值問題的一般思路，考查空間想象能力，屬于中等題．7、C【解題分析】

通過導(dǎo)函數(shù)的圖象可知；當(dāng)在時(shí)，；當(dāng)在時(shí)，，這樣就可以判斷有關(guān)極值點(diǎn)的情況.【題目詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)在時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可以判斷是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了通過函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的圖象分析原函數(shù)的極值點(diǎn)的情況.本題容易受導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性的干擾.本題考查了識(shí)圖能力.8、C【解題分析】

本題為對(duì)等高條形圖，題目較簡單，逐一排除選項(xiàng)，注意陰影部分位于上半部分即可．【題目詳解】解：由圖可知，女生喜歡理科的占，故B正確；男生喜歡理科的占，所以男生不軎歡理科的比為，故C不正確；同時(shí)男生比女生喜歡理科的可能性大些，故D正確；由此得到性別與喜歡理科有關(guān)，故A正確．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查等高條形圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

分三種情況：（1）都搶到2元的紅包（2）都搶到5元的紅包（3）一個(gè)搶到2元，一個(gè)搶到5元，由分類計(jì)數(shù)原理求得總數(shù)?！绢}目詳解】甲、乙兩人都搶到紅包一共有三種情況：（1）都搶到2元的紅包，有種；（2）都搶到5元的紅包，有種；（3）一個(gè)搶到2元，一個(gè)搶到5元，有種，故總共有18種．故選C．【題目點(diǎn)撥】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中，是根據(jù)得紅包情況進(jìn)行分類。10、A【解題分析】

把分別代入和，求得的極經(jīng)，進(jìn)而求得，得到答案．【題目詳解】由題意，把代入，可得，把代入，可得，結(jié)合圖象，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡單的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合法的解題思想方法，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】根據(jù)雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12、C【解題分析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解：很明顯不是方程的根，據(jù)此可將方程變形為：，原問題等價(jià)于考查函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，令，則，列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下：++-++單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致，且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示，觀察可得，與函數(shù)恒有3個(gè)交點(diǎn)，即題中方程實(shí)根的個(gè)數(shù)為3.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】將一個(gè)正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的體積為，設(shè)正方體的邊長為，則，解得該圓柱的側(cè)面積為，故答案為.14、【解題分析】

由，求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)處的切線與直線平行，有求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)處的切線與直線平行，所以，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

將不等式兩邊分別畫出圖形，根據(jù)圖像得到答案.【題目詳解】不等式的解集為，且畫出圖像知：故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的解法，將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像是解題的關(guān)鍵.16、【解題分析】因?yàn)橹本€ax+y+2=0與雙曲線的一條漸近線y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),則a=-2,(a=2,)假設(shè)a=2,則利用平行線間距離公式解得為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．，（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，并求出函數(shù)的極值點(diǎn)，列表分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值和極大值；（Ⅱ）由條件得知，考查函數(shù)的單調(diào)性知，得知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是得出，解該不等式組即可；（Ⅲ）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為解出不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ）．令，得x＝a或x＝3a.當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)－0＋0－↘極小↗極大↘∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取得極小值，；當(dāng)時(shí)，取得極大值，；（Ⅱ），其對(duì)稱軸為.因?yàn)?，所?所以在區(qū)間上是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取得最大值，；當(dāng)時(shí)，取得最小值，.于是有即.又因?yàn)?，所?（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，.，由，即，解得，即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．要使在[1,3]上恒有兩個(gè)相異實(shí)根，即在(1,2)，(2,3)上各有一個(gè)實(shí)根，于是有即解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，解題時(shí)注意這些問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，在處理零點(diǎn)問題時(shí)，可充分利用圖象來理解，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．18、（1）（2）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).【解題分析】試題分析：（1）①，用替換①式中的有：②，由①②消去即可得結(jié)果；（2）討論兩種情況，分別利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，再利用定義意且，判定的符合，即可證明結(jié)論.試題解析：（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有：①，用替換①式中的有：②，①×②—②得：，（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)減函數(shù)，∴在上為單調(diào)減函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)也為單調(diào)增函數(shù)，∴在上為單調(diào)增函數(shù).證明：設(shè)任意且，則，∵，，①當(dāng)時(shí)，則，∴∴在上是減函數(shù).②當(dāng)時(shí)，則，∴∴在上是增函數(shù).綜上：當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù).19、（1）有99.9%的把握認(rèn)為有關(guān)系，理由詳見解析；（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為2.72【解題分析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

由題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望值．【題目詳解】（1）．因?yàn)?，所以?9.9%的把握認(rèn)為有關(guān)系．（2）由題意知，的取值為0，1，2，3，1．因?yàn)?，．所以，分布列?1231所以，．【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)用問題，是中檔題．20、（1），；（2）.【解題分析】

（1）利用和關(guān)系得到，驗(yàn)證時(shí)的情況得到，再利用等比數(shù)列公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法得到答案.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與已知式作差得，即，欲使為等比數(shù)列，則，又.故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）有得..【題目點(diǎn)撥】