小學(xué)四年級(jí)下冊(cè) 數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識(shí)點(diǎn)講解第13課 三角形的等積變形 試題附答案

小學(xué)四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第13課《三角形的等積變形》試題附答案

第十三講三角形的等積變形

我們已經(jīng)掌握了三角形面積的計(jì)算公式：

三角形面積=底乂高+2

這個(gè)公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.如

果三角形的底不變，高越大（小），三角形面積也就越大（?。?同樣若三角

形的高不變，底越大（?。切蚊娣e也就越大（?。?這說(shuō)明；當(dāng)三角形

的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化.但是，當(dāng)三角形的底

和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)

的3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)的,則三角形面積與原來(lái)的一樣.這就是說(shuō)：一個(gè)三

角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的

變化.同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)

不同的形狀.本講即研究面積相同的三角形的各種形狀以及它們之間的關(guān)系.

為便于實(shí)際問(wèn)題的研究，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：

①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.

②底在同一條直線上并且相等，該底所對(duì)的角的頂點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)或在與底

平行的直線上，這兩個(gè)三角形面積相等.

③若兩個(gè)三角形的高（或底）相等，其中一個(gè)三角形的底（或高）是另一

個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍.

例如在右圖中，若AABD與ZXAEC的底邊相等（BD=DE=EC=1BC）

,它們所對(duì)的頂點(diǎn)同為A點(diǎn)，（也就是它們的高相等）那么這兩個(gè)三角形的面積

相等.

同時(shí)也可以知道AABC的面積是AABD或AAEC面積的3倍.

例如在右圖中，△ABC與ADBC的底相同（它們的底都是BC）,它所對(duì)的兩

個(gè)頂點(diǎn)A、D在與底BC平行的直線上，（也就是它們的高相等），那么這兩個(gè)三

角形的面積相等.

例如右圖中，△ABC與△DBC的底相同（它們的底都是BC）,ZXABC的高是△

DBC高的2倍（D是AB中點(diǎn)，AB=2BD,有AH=2DE）,則AABC的面積是ADBC面積的

2倍.

例1用四種不同的方法，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形.

例2用三種不同的方法將任意一個(gè)三角形分成三個(gè)小三角形，使它們的面積比

為及1：3：4.

例3如右圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對(duì)角線，其交點(diǎn)0,求證：△女08與4

8D面積相等.

例4如右圖，把四邊形ABCD改成一個(gè)等積的三角形.

例5如右圖，已知在ZXABC中，BE=3AE,CD=2AD.若AADE的面積為1平方厘

米.求三角形ABC的面積.

例6如下更圖，在△ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=

jBC,求陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾？

答案

例1用四種不同的方法，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形.

方法1：如右圖，將BC邊四等分(BD=DE=EF=FC=2BC),連結(jié)

4

AD、AE、AF.則AABD、AADE,Z\AEF、△AT,積.

方法2：如右圖，先將BC二等分，分點(diǎn)D、連結(jié)AD,得到兩個(gè)等積三角形，

即AABD與AADC等積.然后取AC、AB中點(diǎn)E、F,并連結(jié)DE、DF.以而得到四個(gè)

等積三角形，即AADF、ABDF.ADCE,ZkADE等稅.

方法3：如右圖，先將BC四等分，即BD=：BC,連結(jié)AD,再將AD三

等分，即AE=EF=FD=gAD,連結(jié)CE、CF,從而得到四個(gè)等積的三角形

,即△ABD、ACDF,ACERZ\ACE等積.

例2用三種不同的方法將任意一個(gè)三角形分成三個(gè)小三角形，使它們的面積比

為及1：3：4.

方法1：如下左圖，將BC邊八等分，取1：3：4的分點(diǎn)D、E,連結(jié)AD、AE,

從而得到Z\ABD、AADE,△AEC的面積比為1：3：4.

方法2：如上右圖，先取BC中點(diǎn)D,再取AB的"分點(diǎn)E,連結(jié)AD、

DE,從而得到三個(gè)三角形：/XADE、ABDE.AACD.其面積比為1：3：4.

方法3：如右圖，先取AB中點(diǎn)D,連結(jié)CD,再取CD上:分點(diǎn)E,連結(jié)

AE,從而得到三個(gè)三角形；△ACE、AADE.ABCD,其面積比為1:3:

當(dāng)然本題還有許多種其他分法，同學(xué)們可以自己尋找解決.

例3如右圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對(duì)角線，其交點(diǎn)0,求證：

C0D面積相等.

證明：:△ABC與ADBC等底等高，

/.SAABC=SADBC

又「SAAOB=SAABC—SABOC

SADOC=SADBC—SABOC

/.SAAOB=SACOD.

例4如右圖，把四邊形ABCD改成一個(gè)等積的三角形.

分析本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形

與原四邊形面積相等.我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，

D

XBC

把頂點(diǎn)A移到CB的延長(zhǎng)線上的A，處，AA，BD與AABD面積相等，從而AA，

DC面積與原四邊形ABCD面積也相等.這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形

△A，DC.問(wèn)題是A，位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則.過(guò)A作一條和DB平

行的直線與CB的延長(zhǎng)線交于A，點(diǎn).

解：①連結(jié)BD；

②過(guò)A作BD的平行線，與CB的延長(zhǎng)線交于A，.

③連結(jié)A，D,則4A，CD與四邊形ABCD等積.

例5如右圖，已知在AABC中，BE=3AE,CD=2AD.若AADE的面積為1平方厘

米.求三角形ABC的面積.

解法1：連結(jié)BD,在AABD中

BE=3AE,

SAABD=4SAADE=4（平方厘米）.

在AABC中，?「CD=2AD,

SZ\ABC=3SZ\ABD=3X4=12（平方厘米）.

解怯2：連結(jié)CE,如右圖所示，在AACE中,

CD=2AD,

二.SAACE=3SAADE=3（平方厘米）.

在△ABC中，：BE=3AE

SAABC=4SAACE

=4X3=12（平方厘米）.

例6如下頁(yè)圖，在△ABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=

|BC,求陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾？

解：連結(jié)BG,在^ADG中，

BD=2AD，...SAQG=!SAABG，在AABC中，

?AG=2CG,??S&MG=1$&師，

.」2__2

-S&ADG=百X△秒C=§S&ABC，

_21

同理S&BDE=沖c；S&CFG=§SAABC?

SAADG+SABDE+SACFG

(221、c_5

=SA_ABC=§SAABC

...陰影部分面積=(15*SAMC\4S3；.

習(xí)題十三

一、選擇題（有且只有一個(gè)正確答案）：

1.如下左圖，在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)BE、CE,那么與

△ABE等積的三角形一共有個(gè).

（A）。個(gè)（B）1個(gè)

（C）2個(gè)（D）3個(gè)

2.如上右圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC,連結(jié)BE、AE、CF、BF那么

與aBEC等積的三角形一共有個(gè).

（A）。個(gè)（B）1個(gè)

（C）2個(gè)（D）3個(gè)

3.如下左圖，在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共

有對(duì).

（A）。對(duì)（B）1對(duì)

（C）2對(duì)（D）3對(duì)

4.如上右圖，是一個(gè)長(zhǎng)方形花壇，陰影部分是草地，空地是四塊同樣的菱

形，那么草地與空地面積之比是.

（A）1：1（B）1：1.1

（C）1：1.2（D）1：1.4

5.如右圖，長(zhǎng)方形AEGK四周上共有12個(gè)點(diǎn)，相鄰兩點(diǎn)的距離都是1厘米，

以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積是3平方厘米的共有個(gè).

ABCDE

KJIHG

（A）24個(gè)（B）25個(gè)

（C）26個(gè)（D）27個(gè)

二、填空題:

1.如下左圖，A、B兩點(diǎn)是長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的中點(diǎn)，那么陰影部分面積占長(zhǎng)方

形面積的.

BC

2.如右圖，E是長(zhǎng)方形ABCD的BC上一點(diǎn)，使S^ABE=梯席他CD，

=9厘米，求BE是多少厘米.

2.如上右圖，平行四邊形ABCD的面積是40平方厘米，圖中陰影部分的面積

是.

3.如下左圖，正方形ABCD的面積為1平方厘米，SABEG：SACEG=2：1,S

△CFG:SADFG=1：1,那么這四個(gè)小三角形面積之和.

4.如上右圖，在AABC中，EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面

積的連比是.

三、解答題：

1.如下左圖，D、E、F分別是BC、AD、BE的三等分點(diǎn)，已知SZ\ABC=27平方

厘米，求SZXDEF.

3.如下左圖，在平行四邊形ABCD中,E、F分別是AC、BC的三等分點(diǎn)，且

SABCD=54平方厘米，求SZXBEF.

4.如上頁(yè)右圖，將四邊形ABCD各邊都延長(zhǎng)一倍至A\B\C\D'.連接

這些點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形A'B'C'D\如果四邊形ABCD的面積是1,求四邊

形A'B'CD'的面積.

5.如右圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于E,且AF=CE,BG=DE,如

果四邊形ABCD的面積是1,求ZXEFG的面積？

D

C

四年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第十三講三角形的等積變形習(xí)題解答

習(xí)題十三解答

一、選擇題：

1.（D）2.（D）3.（D）4.（A）5.（C）.

提示：以KH為邊，再在對(duì)邊的五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E中任取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，可

分別構(gòu)成5個(gè)面積為3平方厘米的三角形.同理，以JG、AD、BE為邊也各自可以

構(gòu)成5個(gè)面積為3平方厘米的三角形.又因?yàn)椤鰽FI、ABFJ,Z\CFK、AELL△

DLH^ZXCLG也是面積為3平方厘米的三角形.所以面積為3平方厘米的三角形一

共有26個(gè).

二、填空題：

3-、3-

1.2.10平方厘米；3.一平方厘米.

o1U

提示：如右圖連結(jié)BD,

設(shè)I=SZ\BEG,II=SACEG,III=SACFG,IV=SADFG,

SABDE=2SACDE,兩邊分別減去I和2H,

可得：SABDG=2SACDG,即S,=2S:,因此：

sa=1SABCD=7X7=所以Si=2S」=卷，

DJ乙1U1M

故所求四個(gè)三角形面積為木+/=磊.

4.甲：乙：丙二1：2：6,

提示：,/EF//BC,AB=2AE

二AC=3AF,BC=3EF,甲:乙=1：2,

又：（甲+乙）：丙=1：2

/.甲：乙：丙二1：2：6.

三、解答題:

L解：$4必》=!$4卵,=:'27=9平方厘米，

29

SA.D=^S/杷c=,X27=18厘米，

SgBE=聶9=%8=6平方厘米，

???$謝5=/加甘=3乂12=4平方厘米，

22

S&DEF=薩ABDE=3*12=8平方厘米?

7