數(shù)學(xué)（安徽卷）2023年中考第一次模擬考試卷（全解全析）

2023年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷

數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的)

1.下列各式正確的是()

A.-|-5|=5B.-(-5)=-5C.|-5|=-5D.-(-5)=5

【答案】D

【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，在數(shù)軸上一個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離叫做這

個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，根據(jù)絕對(duì)值和相反數(shù)的定義分別化簡即可.

【詳解】解：A.-|-5|=-5,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.-(-5)=5,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.|-5|=5,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.-(-5)=5,故選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)和絕對(duì)值的意義是解題的關(guān)鍵.

【答案】C

【詳解】解：綜合三視圖，可以得出這個(gè)幾何體應(yīng)該是個(gè)圓柱體,

且底面半徑為10,高為20.

因此它的體積應(yīng)該是：71x10x10x20=20007：.

故答案為20007t.

故選C

3.2022年初某省常住人口6113萬人，比上年末增加8萬人,常住人口城鎮(zhèn)化率為59.4%,

提高1.1個(gè)百分點(diǎn)，其中“6113萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.6113xl04B.0.6113xl07C.6113x10,D.6.113xlO7

【答案】D

【分析】直接根據(jù)科學(xué)計(jì)數(shù)法的定義作答即可.

【詳解】解：6113萬=61130000=6.113x107,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)計(jì)數(shù)法，對(duì)于科學(xué)記數(shù)法的表示，首先掌握科學(xué)記數(shù)法的表示

形式：axlO",然后確定。的值；對(duì)于"值的確定，可以從以下三個(gè)方面考

慮：（1）若原數(shù)絕對(duì)值大于10,則〃的值等于原數(shù)整數(shù)位數(shù)減1或原數(shù)變?yōu)椤r(shí)，小數(shù)

點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)；（2）若原數(shù)絕對(duì)值大于0且小于1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù)，〃的絕對(duì)值等

于原數(shù)從左向右第1個(gè)不為0的數(shù)前面所有0的個(gè)數(shù)，包括小數(shù)點(diǎn)前面的0；或等于原

數(shù)變?yōu)?。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)的位數(shù)；（3）若原數(shù)帶有計(jì)數(shù)單位或計(jì)量單位，如萬，億，

千米等，需掌握常見單位換算：1萬=10'；I億=10'；1千米=10,米；1納米=1。"米

等.

4.一組“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”按如圖所示的程序計(jì)算,如果輸入的數(shù)是36,則輸出的結(jié)果為106,

要使輸出的結(jié)果為163,則輸入的最小正整數(shù)是（）

輸Ax|—廠>|計(jì)算3x-2的值|------A|>|00占一》|輸出結(jié)果

____________________________|否

A.3B.7C.19D.55

【答案】A

【分析】利用“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的程序，將四個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論代入進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.

【詳解】解:當(dāng)3x-2=163時(shí),x=55,

當(dāng)3%-2=55時(shí)，x=19,

當(dāng)3x-2=19時(shí)，x=7,

當(dāng)3%—2=7時(shí),x=3,

由上所述可知，當(dāng)輸入的數(shù)字為3,7,19,55時(shí)，依據(jù)程序均能得到使輸出的結(jié)果為

163,

???輸入的最小正整數(shù)是3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，依據(jù)程序?qū)⑺膫€(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論

代入進(jìn)行檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵.

5.下列因式分解正確的是（）

A.W-LMX+DB.?2-3?-4=（a+4）（a-l）

C.a2+2ab-b2=（a-b）2D.

【答案】D

【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分解因式即可判斷正誤.

【詳解】A、V-kMkD,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、/_3“-4=（。-4）（4+1）,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、片+2a6"不能分解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D,正確,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法以及注意事項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.

6.對(duì)于函數(shù)產(chǎn)（l-/n*+2ntr-3,其S的值可能為5,-2,1,0,則使得該函數(shù)圖像一定

經(jīng)過第二象限的，〃概率是（）

1c2

AA.-B.-C.一

234

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，舍去不符合題意的數(shù)值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：將，*=5,-2,1,0分別代入，函數(shù)產(chǎn)（I-m）/+2,但3,

將，”=5代入函數(shù)丫=（1-切）f+2/nx-3中得，y=-4f+10x-3,函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一：三

四象限；

將片-2代入函數(shù)產(chǎn)（1-加）f+2mx-3中得，產(chǎn)-3f-4x-3,A=-20<0,函數(shù)圖象經(jīng)過第

三四象限；

將,"=1代入函數(shù)尸（1-w）/+2,33中得y=2x-3,x=l,函數(shù)圖象經(jīng)過第一三四象限；

將m=0代入函數(shù)y=（1-m）/+2*-3得，產(chǎn)f-3,函數(shù)圖象經(jīng)過第一二三四象限.

：.m=5,0時(shí)，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過第二象限，

21

???使得該函數(shù)圖象一定經(jīng)過第二象限的m概率是(=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用.注意用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.也考查了正比例函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式.

7.已知點(diǎn)P(-1,%)、點(diǎn)。(3,必)在一次函數(shù)y=(2，"Dx+2的圖像上，且則m

的取值范圍是()

A.m<—B.m>^-C.m>lD.m<\

22

【答案】A

【分析】由題目條件可判斷出一次函數(shù)的增減性，則可得到關(guān)于m的不等式，可求得m

的取值范圍.

【詳解】解：

?.,點(diǎn)P(-1,yi)、點(diǎn)Q(3,y2)在一次函數(shù)y=(2m-l)x+2的圖象上，

.,.當(dāng)-1V3時(shí),由題意可知yi>y2，

；.y隨x的增大而減小，

/.2m-l<0,解得m<y,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，得出?次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

8.運(yùn)行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否>95”為一次程序操作，如

果程序操作進(jìn)行了三次才停止，那么x的取值范圍是()

A.12.75<x<24.5B.x<24.5C.12.75<x<24.5D.x<24.5

【答案】A

【分析】根據(jù)運(yùn)算程序，前兩次運(yùn)算結(jié)果小于等于95,第三次運(yùn)算結(jié)果大于95列出不

等式組，然后求解即可.

12x-1?95@

【詳解】解：由題意得：.[2(2x-1)-1?95②，

卜歉2x-1)-1-1>95③

解不等式①得，后48,

解不等式②得，x￡24.5,

解不等式③得，x>12.75,

所以，x的取值范圍是12.75cx?24.5.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解運(yùn)輸程序并列出不

等式組是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，E是菱形ABCD邊A。上一點(diǎn)，連接BE,若AB=E3=13,ED=3,點(diǎn)、P是

BE的中點(diǎn)，點(diǎn)。在BC上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.菱形ABC。的面積是156B.若。是8C的中點(diǎn)，則PQ=2g

C.sinZEBC=—D.若尸QLBE,則P。=個(gè)

13

【答案】C

【分析】過點(diǎn)8作于M,過點(diǎn)E作EN_L8C于M連接EC,PQ,由四邊形

是平行四邊形可得BN=ME,由8A=BE可得ME,解Rt&BNE可得EN,進(jìn)而求

得菱形面積，NEBC的正弦值；解放A&VC可得EC,若。是8c中點(diǎn)，由三角形中位

線的性質(zhì)可得P。；若PQLBE,由NE8C的正切值解Rd8尸?？傻檬琎；

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)8作8M_L4O于M,過點(diǎn)E作ENLBC于M連接EC,PQ,

ABC。是菱形，則A￡>〃8C,

BMLAD,ENLBC,則8例〃EN,

二四邊形BNEM是平行四邊形，

：.BN=ME,

A8CZ）是菱形，則A￡>=A8=8C=13,DE=3,則AE=10,

BA=BE,BM1AE,則ME=AM=/AE=5,

：.BN=5,CN=8,

RmENB中，EN-JBE2-BN2=12，

菱形ABCD的面積=8C?EN=156,

EN12EN12

sinNEBN=—=—,tan/EBN=——=—,

BE13BN5

sinZEBC=—,

13

Rt&CNE中，CE=yjNC2+NE2=4底，

若。是8c中點(diǎn)，則。P是△BCE的中位線，

，QP=gCE=2如，

若QP_LBE,則R3BPQ中,BP=^f3E=—,

］31278

QP=BPtanZPBQ=-yx—=—,

綜上所述：

12

C.sinZ￡BC=—,選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，解

直角三角形等知識(shí)；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

10.如圖，拋物線y=ar2+bx+c（ax0）的對(duì)稱軸為A一1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（一3,0）

和（-2,0）之間，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：（1）〃-4a>0；（2）2a=b；（3）

點(diǎn)［-］，%）、（一,%）、是該拋物線上的點(diǎn)，則M<%<丫3;（4）3b+2c<0i

（5）t（at+b）<a-h（f為任意實(shí)數(shù)）；（6）（a+c）2>〃，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.4D.5

【答案】C

【分析】由拋物線與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)結(jié)合根的判別式即可得出（1）正確；根

據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為戶-1,即可得出b=2a,即（2）正確;根據(jù)拋物線的對(duì)稱性找出

點(diǎn)（-?，幾）在拋物線上，再結(jié)合拋物線對(duì)稱軸左邊的單調(diào)性，即可得出（3）錯(cuò)誤；由

x=—3時(shí)，7<0,即可得出3a+c<0,結(jié)合8=2a,即可得出（4）正確；由方程

“產(chǎn)+初+a=0中△=〃一4a-a=0結(jié)合a<0,即可得出拋物線y=。/+從+a中y40,由

此即可得出(5)正確；先根據(jù)因式分解得到(a+c)2-〃=(3a+cXc-a),再求出

(“+c)2<0,即可得出(6)錯(cuò)誤.綜上即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

關(guān)于x的方程62+版+C=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

二△-4ac>0-

二(1)正確；

拋物線y=axz+bx+c{a^0)的對(duì)稱軸為戶-1,

.b1

?■一——=-1，

2a

2a=b,

???(2)正確；

,拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，點(diǎn)￡,打)在拋物線上，

???-；7<-1?3<-3],且拋物線對(duì)稱釉左邊圖象y值隨x的增大而增大，

???

???(3)錯(cuò)誤；

???當(dāng)工=-3時(shí)，y=9a-3b+c<01且。=2。，

9a-3x2a+c=3a+c<0f

6。+2c=3/7+2cv0,

A(4)正確；

■:b=2a,

工方程加2+4+白=0中八=〃一4〃.〃=。，

.??拋物線、/+初+。與x軸只有-個(gè)交點(diǎn)，

??,圖中拋物線開口向下，

/.a<0,

2

y=at+bt+a<0f

即at2+bt<-a=a-h.

???(5)正確.

V(^+C)2-Z?2=(67+c+/?)(6F+c-Z?),b=2a,

(a+c)2-Z?2=(3a+c)(c-a),

由圖象可知：c>0,

???a<0,

，c-a>0,

3a+cvO,

(3Q+C)(C-Q)vO,

.\(a+c)2-b2<0,

即(a+c)2<b2

：.(6)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式以及拋物線與x軸

的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是逐一分析6條結(jié)論是否正確.本題屬于中檔題，難度不大，但過

程較為繁瑣，解決該題型題目時(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象是關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

11.計(jì)算：+(乃-3)°=.

31

【答案】:或1.5或二

【分析】原式根據(jù)算術(shù)平方根的意義以及零指數(shù)基的運(yùn)算法則化簡各數(shù)后，再進(jìn)行加法

運(yùn)算即可.

【詳解】解：卜5—3)。

=-+1

2

_3

-2,

故答案為：j3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根以及零指數(shù)'幕的運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根的意義

以及零指數(shù)塞的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

12.化簡(1+=2<，的結(jié)果為一

Ix-1)x-2x+1

【答案】X-1

【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算，可先算括號(hào)里面的，再把除化為乘法，約分即可.

X+1

【詳解】解：1+

x~-2,x+1

（X-1）2

x+1

=X+l（if

x-lX+1

=x-1

故答案為：x-1.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

13.如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是函數(shù)y=4的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，BC〃x軸,

X

AC〃y軸，△ABC的面積是8,則k的值是

【答案】4

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象判斷出k>0,再根據(jù)k的幾何意義得知

s=s&OE,再根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知S矩形OE8=2SAOD=k,進(jìn)而由△ABC

的面積是8求得k值.

【詳解】如圖，???反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，

...k>0,

：BC〃x軸，AC〃y軸，

,,SAOD=SBOE=3^,

k

???點(diǎn)A、點(diǎn)B是函數(shù)y=*的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，

X

??S矩形OECD=2sAOO=k,

「△ABC的面積是8,

"<?$ABC=S矩形OR。+SBOE+AOD=2A：=8,

解得：k=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解答的關(guān)鍵.

14.已知，矩形ABCQ中，AB=2,BC=4,點(diǎn)E是對(duì)角線2。上一點(diǎn)，連接AE并延長

交矩形的一邊于點(diǎn)F,將448尸沿直線A尸翻折，使得點(diǎn)B落在8'處.（1）若/84E=30。，

貝|」/94夕=；（2）若AE=2EF,則88'的長為.

【答案】30。2夜或竺雪

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出NB'AE,根據(jù)矩形的性質(zhì)求出/8AQ,再根據(jù)角的

和差關(guān)系即可求解.

（2）根據(jù)點(diǎn)尸的位置進(jìn)行分類討論.當(dāng)點(diǎn)尸在邊8c上時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，平行線

的性質(zhì)，相似二角形的判定定理和性質(zhì)確定尸8的長度，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出A9和

FB'的長度，根據(jù)正方形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理即可求出BB'的長度；當(dāng)點(diǎn)F在

邊CC上時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出廠。

的長度，根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理求出4尸的長度，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形面積

公式求出BG的長度，進(jìn)而求出8'G的長度，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求出88'的

長度.

VZB4E=30°,△ABF沿直線A尸翻折，點(diǎn)8落在8'處,

，ZB'AE^ZBAE=30°.

?.?四邊形48C。是矩形，

：.ZBAD-9Q0.

：.ZDAB'=/BAD-NBAE-ZB'AE=30°.

故答案為：30°.

（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊8c上時(shí)，如下圖所示.

\'AE=2EF,

.FE1

??--=一.

AE2

???四邊形ABC。是矩形，304,

AAD//BC,AD=BC=4fZABF=90°.

：?4EBF=/EDA,ZEFB=ZEAD.

:.△EBFs^EDA.

?FBFEI

**AE-2,

FB=-AD=2.

2

沿直線AF翻折，點(diǎn)8落在2'處，AB=2,

：.AB'=AB=2,FB=FB=2.

/?AS^AB=Fff=FB.

四邊形A8FE是菱形.

，四邊形ABF?是正方形.

，ZBFff=90°.

?*-BB'=yjFB-+FB'-=2V2?

當(dāng)點(diǎn)尸在邊匕時(shí)，如下圖所示，設(shè)88'與AF交于點(diǎn)G.

'：AE=2EF,

.FE1

??=.

AF2

???四邊形ABC。是矩形，AB=2fBC=4,

ABDC,Z/l￡>F=90°,AD=BC=4,SA4W.=-AB-SC=4.

：.ZEFD=ZEAB,ZEDF=ZEBA.

-'-△EF—AEAB.

.FDFE\

A￡-2-

FD=-AB=\.

2

?*-AF=yjAD2+DF2=V17-

「△AB尸沿直線A尸翻折，點(diǎn)8落在9處,

.,.AFIBB'，BG=B'G.

：.BG="X=①

AF17

???哈班

17

二BB'=BG+B/G=^^-

17

故答案為：2&或嗜.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，平行線的性質(zhì)，相似三

角形的判定定理和性質(zhì)，正方形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，正確

應(yīng)用分類討論思想是解題關(guān)鍵.

三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

fx+2y-6=0

15.已知關(guān)于x,y的方程組c)/八.

[x-2y+，nx+6=0

⑴當(dāng)〃7=(-2)2時(shí)，方程組的解為.

(2)若X與y互為相反數(shù)，求m的值.

|%=0

【答案】⑴°

[y=3

(2)m=—2

【分析】(1)把機(jī)=(-2丫代入原方程組，再利用加減消元法解答，即可求解；

(2)根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)可得光=一兀再代入，可得到關(guān)于y,m的方程組，即可求解.

【詳解】⑴解：??"=(-2「

/.6=4,

x+2y-6=0即。鼻

???原方程組為

x-2y+4x+6=0

由①+②得：6x=0,

解得：x=0.

把x=0代入①得：2y=6,

解得：y=3,

x=0

程組的解為《*

j=3'

x=0

故答案為：\

[y=3

(2)解：與y互為相反數(shù),

x+y=0,即了=一兒

一y+2y-6=0

；?原方程組為

-y-2y-my+6=0

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的

關(guān)鍵.

16.如圖，把AA8C置于平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)你按以下要求分別畫圖：

⑴畫出△ABC向下平移5個(gè)單位長度得到的△A向Ci；

(2)畫出△ABC繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△4222c2；

(3)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的小AJBJCS.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【分析】（1）分別將A、B、C三點(diǎn)向下平移5個(gè)單位，得點(diǎn)Ai、Bi、C,,順次連接這三

點(diǎn)即可得所求作的三角形.

（2）把握好旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要點(diǎn)，按要求作圖即可；旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)0,旋轉(zhuǎn)方向：逆時(shí)針方向，

旋轉(zhuǎn)角度:90°.

（3）分別作A、B、C關(guān)于原的對(duì)稱點(diǎn)A3、B3、C3,然后順次連接這三點(diǎn)即可.

【詳解】（1）如圖所示，△AIBIG即為所求；

（2）如圖所不，AAZB2c2即為所求;

（3）如圖所示，AABB3c3即為所求.

y八

>

X

【點(diǎn)睛】本題考查的是平移、旋轉(zhuǎn)變換、中心對(duì)稱的作圖方法，熟練掌握各種幾何變換

的特點(diǎn)是解答此類問題的關(guān)鍵.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.某班級(jí)社會(huì)實(shí)踐小組組織“義賣活動(dòng)”，計(jì)劃從批發(fā)店購進(jìn)甲、乙兩類益智拼圖，已

知甲類拼圖每盒進(jìn)價(jià)比乙類拼圖多5元，若購進(jìn)甲類拼圖20盒，乙類拼圖30盒，則費(fèi)

用為600元.

（1）求甲、乙兩類拼圖的每盒進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）甲、乙兩類拼圖每盒售價(jià)分別為25元和18元.該班計(jì)劃購進(jìn)這兩類拼圖總費(fèi)用不低

于2100元且不超過2200元.若購進(jìn)的甲、乙兩類拼圖共200盒，且全部售出，則甲類

拼圖為多少盒時(shí)，所獲得總利潤最大？最大利潤為多少元？

（3）在（2）的條件下，若該班級(jí)在“義賣活動(dòng)''中，對(duì)售出的每一盒甲類拼圖優(yōu)惠

〃（0＜。45）元，其他條件不變，則甲類拼圖為多少盒時(shí)，所獲得總利潤最大，最大利

潤為多少元？（可用含“的式子表示）

【答案】（1）甲種盲盒的每件進(jìn)價(jià)是15元，乙種盲盒的每件進(jìn)價(jià)是10元

（2）當(dāng)購進(jìn)甲類拼圖為40盒時(shí)，所獲得總利潤最大，最大利潤為2400元

（3）當(dāng)〃=40時(shí)，最大利潤是（2400—40a）元；當(dāng)a=2,204,440時(shí)，最大

利潤是1600元；當(dāng)2<。45,〃=20時(shí)，最大利潤是（2000—20。）元.

【分析】（1）設(shè)乙盲盒的每件進(jìn)價(jià)是x元，則甲盲盒的每件進(jìn)價(jià)是（x+5）元，根據(jù)購進(jìn)

甲類拼圖20盒，乙類拼圖30盒，則費(fèi)用為600元列方程求解即可；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種盲盒m件（m4200）,則購進(jìn)乙種盲盒（200-加）件，根據(jù)總費(fèi)用不低

于2100元且不超過2200元，列不等式組為2100415加+10（200-咐42200,求得

20</7Z<40,再設(shè)全部售出所獲得總利潤為W,則

w=（25-15）m+（18—10）（200）=2〃?+1600,根據(jù)次函數(shù)性質(zhì)求解即可；

（3）設(shè)購進(jìn)甲種盲盒"件（“4200）,則購進(jìn)乙種盲盒（200-〃）件，由（2）得20。440,

設(shè)全部售出所獲得總利潤為y,則y=（25—15—。）〃+（18—10）（200—"）=（2—。）〃+1600,

然后根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)乙盲盒的每件進(jìn)價(jià)是x元，則甲盲盒的每件進(jìn)價(jià)是（x+5）元，根據(jù)

題意得

20（x+5）+30%=600,

解得：x=l（）,

.-.JV+5=10+5=15,

答：甲種盲盒的每件進(jìn)價(jià)是15元，乙種盲盒的每件進(jìn)價(jià)是10元；

（2）解：設(shè)購進(jìn)甲種盲盒機(jī)件（〃在200）,則購進(jìn)乙種盲盒（200-〃。件，根據(jù)總費(fèi)用

不低于2100元且不超過2200元可得

2100<15/7?+10（200-/n）<2200

解得20VM440,

設(shè)全部售出所獲得總利潤為W,則

卬=（25-15），w+（18—10）（200—加）=2m+1600,

々=2>0,

，卬隨"?增大而增大,

，當(dāng)加=40時(shí)，w取得最大值，最大值=2x40+1600=2400,

二當(dāng)購進(jìn)甲類拼圖為40盒時(shí)，所獲得總利潤最大，最大利潤為2400兀；

（3）解：設(shè)購進(jìn)甲種盲盒〃件（〃4200）,則購進(jìn)乙種盲盒（200-〃）件，

由（2）W20<rt<40,

設(shè)全部售出所獲得總利潤為y,則

^=（25-15-a）n+（18-10）（200-n）=（2-o）n+l600,

當(dāng)2-a>0,即0<a<2時(shí)，y隨〃增大而增大，

.?.當(dāng)”=40時(shí)，y取得最大值，最大值=（2—“）x40+1600=2400—40。；

當(dāng)2—。<0,即2<。45時(shí)，y隨〃增大而減小，

.?.當(dāng)”=20時(shí)，），取得最大值，最大值=（2—a）x20+1600=2000-20。；

當(dāng)2-〃<0,即。=2時(shí)，20<M<40,y=1600；

綜上，當(dāng)0<。<2,“=40時(shí)，最大利潤是（2400—40"）元；當(dāng)。=2時(shí)，2（）W〃W4（）,

最大利潤是1600兀;當(dāng)2<aV5,〃=20時(shí)，最大利潤是（2000-20。）兀.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，

列出一元一次方程、不等式組、一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

0922

18.觀察以下等式：第1個(gè)等式：2+-=22X-第2個(gè)等式：3+^-=32X-第3個(gè)

33;88;

424525

等式：4+-=4X-;第4個(gè)等式：5+^=5X^-;……按照以上規(guī)律，解決下列

問題：

（1）寫出第5個(gè)等式：

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式：；（用含〃的等式表示），并證明.

2

【答案】（1）6+^=6XA：（2）（〃+1）+產(chǎn)==（〃+1）2.小二，證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)提供的算式寫出第5個(gè)算式即可：

（2）根據(jù)規(guī)律寫出通項(xiàng)公式然后證明即可.

【詳解】解：⑴根據(jù)已知規(guī)律，第5個(gè)等式為6+2=62、2，

故應(yīng)填：6+^=62；

（2）根據(jù)題意，第〃個(gè)等式為（〃+1）++

n（n+2）n（n+2）

、丁口口14(〃+l)〃(〃+2)〃+l5+l)〃5+2)+(〃+l)5+l)[〃(〃+2)+l]

證明：左邊T=二+2)+花鉤=------而花------=—E-

=(〃+帥2+2〃+1)=(〃+1)(〃+1)2=(〃+])2上一右邊,

n(n+2)n(n+2)n(n+2)

：.等式成立.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律探索問題，從特殊的、簡單的問題推理到普通的、復(fù)雜的問題，

從中歸納問題的規(guī)律，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)

19.2022年第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)在北京舉行，激起了青少年對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情。如

圖是某滑雪場高級(jí)雪道纜車線路示意圖，滑雪者從點(diǎn)A出發(fā)，途經(jīng)點(diǎn)B后到達(dá)終點(diǎn)P,

其中AB=300米，8P=200米，且AB段的運(yùn)行路線與水平方向的夾角為20。，8尸段的運(yùn)

行路線與水平方向的夾角為30。，求垂直高度尸C(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：

sin20°=0.342、cos20°=0.940,tan20°=0.364)

P

【答案】垂直高度PC約203米

【分析】過點(diǎn)B作BEJ_AC,垂足為點(diǎn)E.在RMABE中，ZBAE=20。，可得8次103

米.在RaPDB中,/PBD=30。,8P=200米，可得PD=IOO米.所以可得PO203米.

【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)8作BEJ_AC,垂足為點(diǎn)E.

在RMABE中，^BAE=20°,A8=300米，

BE

：.sinZBAE=—,即8E=A8xsinN&4E=30()x0.342=103米.

在中，NPB慶30。，8P=200米,

PD=；BP=；x200=100米.

,:BDLPC,BE±AC,

：./BDC=NC=^BEC=90°.

四邊形CE8。是矩形.

ACD-BE-103米，

\'PC=PD+CD,

：.PC=PD+BE=100+103~203米.

...垂直高度PC為203米.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角函數(shù)(正弦)解直角三角形、解含30。角的直角三角形、

矩形的性質(zhì)及判定.過點(diǎn)8作BELAC,垂足為點(diǎn)E,構(gòu)造出直角三角形和矩形是解本

題的關(guān)鍵.

20.如圖，己知A8是。。的直徑，AC和BC分別交O于。、E兩點(diǎn)，AE與8￡＞相

交于點(diǎn)P,連接。E.

(1)若AB=AC,求證：DE=BE;

(2)若點(diǎn)。是半圓A8的中點(diǎn)，求證：

MAPDWBCD；

@AE=-J1DE+BE.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析，②見解析

【分析】(1)由圓周角定理得NAEB=90。，則AE_1.BC,由等腰二角形的性質(zhì)得AE平

分NBAC,根據(jù)圓心角，弧，弦的關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)①連接。。，若點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)，則N4QD=9(r,由圓周角定理得

ZABD=45°,NDAP=NDBC,ZADB=NBDC=90°,可得同。=雙)，根據(jù)ASA即可

得Z^APD烏△BCD；

②過點(diǎn)。作DE交AE于尸，由圓周角定理得NAE￡)=NABO=45。，可得

EF=6DE，利用ASA證明△/!")四二8￡0,可得跳：=AF,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：A3是,。的直徑，

??.ZA￡B=90。，

/.AE1BC,

AB=AC,

.?.隹平分/以。，

：,DE=BE，

/.DE=BE；

(2)解：①連接OO,

點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)，

:.ZAOD=90°,

:.ZABD=-^AOD=45°,

2

/W是C。的直徑，

:.ZADB=/BDC=90。,

/.ZBA￡>=ZABD=45°,

AD=BD，

ZDAP=ZDBC,

A叨注，88(ASA)；

②過點(diǎn)。作WJLDE交AE于尸，

C

D

ZAED=ZABD=45°,

二。所是等腰直角三角形,

EF=-J2DE，

ZADB=NEDF=90P,

ZADB-ZPDF=ZEDF-ZPDF,

:.ZADF=ZBDE,

NDAP=NDBC,AD=BD,

:^AFD^^BEDCASA),

:.BE=AF,

:.AE=EF+AF=yf2DE+BE-

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形的性質(zhì)、圓心角，弧，弦的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定

理、全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

六、(本題滿分12分)

21.電影《長津湖》和《水門橋》是兩部聚焦抗美援朝歷史的影片，從觀看過這兩部電

影的學(xué)生中各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，讓他們給這兩部電影評(píng)分，下列圖表是

調(diào)查中的部分信息.

《長津湖》得分情況條形統(tǒng)計(jì)圖《水門橋》得分情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

(1)電影《長津湖》得分的中位數(shù)和眾數(shù)分別是多少？

(2)電影《水門橋》得分的平均數(shù)是多少？

（3）若該校有200名學(xué)生觀看過這兩部影片，且他們都對(duì)這兩部作品進(jìn)行評(píng)分，你認(rèn)為這

兩部作品一共可以得到多少個(gè)滿分？

【答案】（1）中位數(shù)是8.5,眾數(shù)是9

（2）8.5

（3）110個(gè)

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可作答.中位數(shù)：按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居

于中間位置的數(shù)；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；

（2）先求出《水門橋》10分所占的百分比，在用每種分?jǐn)?shù)分別乘以所占的百分比，所

得的結(jié)果相加就是得分的平均數(shù)：

（3）分別求出為兩部電影評(píng)分滿分的人數(shù)，再分別乘以養(yǎng)，所得的結(jié)果相加即可.

（1）???一共抽查了20個(gè)人，，中位數(shù)等于第十個(gè)和第十一個(gè)學(xué)生評(píng)分的平均數(shù)：由圖

可知，第十個(gè)人評(píng)分8分，第十一個(gè)人平分9分；.?.中位數(shù)=豫=8.5：由圖可知，評(píng)

分為9分的人數(shù)最多；.?.眾數(shù)是9

（2）評(píng)分為10分的人數(shù)所占百分比=1-10%-20%-15%-20%=35%=0.35,平均數(shù)=

0.1x6+0.2x7+0.15x8+0.2x9+0.35x10=8.5,答：電影《水門橋》得分的平均數(shù)是

8.5；

（3）抽出的20人中，《長津湖》得到滿分的有4個(gè)，《水門橋》得到滿分的有20x0.35=7

200

（個(gè)），所以4x元+7x^=40+70=110（個(gè)）.答：這兩部作品一共可以得到110

個(gè)滿分.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)相關(guān)的知識(shí)，熟練地掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義、加權(quán)平均

數(shù)的求法以及用樣本估計(jì)總體是解題的關(guān)鍵.

七、（本題滿分12分）

22.如圖所示拋物線y=ax2+bx+c由拋物線y=x2-x+1沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位得

到，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（4在B的左側(cè)），與），軸交于C,直線過B、C兩

點(diǎn).

C

⑴寫出平移后的新拋物線產(chǎn)a/+bx+c的解析式；并寫出"2+公+，＞b+〃時(shí)x的取值

范圍.

(2)點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO、PC,并把APOC沿CO翻折，得

到四邊形POPC,那么是否存在點(diǎn)尸，使四邊形POPC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，APBC的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和APBC的最大面

積.

【答案】(1?=，-『2

(2)存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(小5,-1)

2

(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),APSC的最大面積為1

【分析】(1)由圖象平移的性質(zhì)即可求解；

(2)當(dāng)四邊形FOPC為菱形，則點(diǎn)尸在OC的中垂線上，進(jìn)而求解.

(3)過點(diǎn)尸作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)。，設(shè)P(x,X2-X-2),先求出8、C的坐標(biāo)，

根據(jù)SPBC=S梯形PCOD+SPBD-S8OC列出》的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)以及面積最大值.

【詳解】⑴解:由圖象平移的性質(zhì)得:廣洋-x+l-3=/*2；

(2)解：存在，理由：如圖，

對(duì)于y=x2-x-2,令x=0,則y=2,

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2),即0c=2,

當(dāng)四邊形POP'C為菱形，則點(diǎn)P在OC的中垂線上，

則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-gxOC=-l,

當(dāng)產(chǎn)-I時(shí)，即)，=/上2=-1,解得廣匕且或4上避(不符合題意，舍去),

22

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(出5,-1).

2

(3)解：過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)。，

設(shè)P(X,X2-X-2),

,：點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),

:.PD=-x1+x+2,

對(duì)于拋物線產(chǎn)i工2,

當(dāng)y=0時(shí)，X2-X-2=0,

解得：x,=-i,2