2021-2022學年廣東省廣州市越秀區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

2021-2022學年廣東省廣州市越秀區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）不等式3?-%-220的解集是（）

22

A.{x∣-?,≤X≤1}B.{xI-1≤%≤?）

2、2

C.{x?x≤—?≥1}D.{x?x≤—1^cx≥?）

2.（5分）設Q=2。乙b=（^）0,8/C=IOgO）2,則b,C的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

3.（5分）復數(shù)Z滿足Z（l+z）=I-Z,則Z的虛部等于（）

A.-iB.-1C.0D.1

4.（5分）α,β是兩個不同的平面，〃是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若加_L〃，mUa,n?α,則〃2_l_aB.若a"β,mua,則機〃〃

C.若CIJ_p,"ua,則〃_LpD.若m_La,ZIUa,則加_L〃

5.（5分）已知aABC中，點M是線段BC的中點，AN=則俞=（）

7TlT2TIT

A.-OQ√4β+6OACB.-?AB+~τI7ZyAC

7TlT5→1→

C.—^4r?β+74ACD.-NOaB+IZAC

6.（5分）已知向量乙b滿足面=1,b=（l,√3）,且Z?b=l,貝丘與Z+b夾角的余弦

值為（）

√72√7√52√5

A.—B.-----C.—D.-----

7755

7.（5分）如圖：已知正四面體ABCQ中E在棱CQ上，EC=2DE,G為aABC的重心，

則異面直線EG與BO所成角為（）

A.30°B.45°C.60oD.90o

2ττT->

8.（5分）平面四邊形fi48C中，4PC=.，AB=2,AC=2√3,ACLAB,則4P?AB

最小值（）

A.-2B.-1C.-2√3D.-√3

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得（）分.

（多選）9.（5分）下列結(jié)論正確的是（）

A.某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從其中抽10名同學進行體有健

康測試，則應抽取男生6人

B.某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，則正面

朝上的概率為0.6

C.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位數(shù)為2

D.某學員射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則命中環(huán)數(shù)的

標準差為2

（多選）10.（5分）下列結(jié)論正確的是（）

TTAQA,Q

A.已知向量α=（3,4）,則與α垂直的單位向量為6，或（一三，-1）

TTTTTT]T

B.已知單位向量a,b滿足∣a-b∣=l,則a在b方向上的投影向量為5b

C.已知i為虛數(shù)單位，若1-i是實系數(shù)一元二次方程/+px+q=0的一個根，則p?q=

-4

D.已知〃∈R,i為虛數(shù)單位，若復數(shù)Z=J-I+（a+l）i為純虛數(shù)，則a=±l

（多選）11.（5分）已知函數(shù)/（%）=S譏2X-√5COS2%,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點（》0）對稱

B.若x∈g,芻，則函數(shù)/（x）的最大值為百

C.若/（a）=L則cos2（a+金）=[

D.若/（用）-?（%2）=4,xι≠x2,則IXI-X2I的最小值為n

（多選）12.（5分）如圖，四棱錐S-ABCD的底面為菱形，AB=SD=3,ND4B=60°,

SDl.底面A8CO,P是SC上任意一點（不含端點），則下列結(jié)論中正確的是（）

S

B.B到平面SAC的距離為三

C.當尸為SC中點時，過尸、A、B的截面為直角梯形

D.當P為SC中點時，OP+PB有最小值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知屈=（4,-4）,BC=（—3,2）,AD=（-1,m）,若A、C、。三點共線，

則m=.

14.（5分）某同學從籃球、足球、羽毛球、乒乓球四個球類項目中任選兩項報名參加比賽，

則籃球被選中的概率為.

15.（5分）已知S為圓錐的頂點，O為底面圓心，SO=2√3.若該圓錐的側(cè)面展開圖為半

圓，則圓錐的體積為.

16.（5分）某校高一級學生進行創(chuàng)客活動，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長

方體ABCD-AIBICIDI挖去正四棱臺ABCD-EFGH后所得的幾何體，其中AB=2EF=

2BF,AB=βC=6cm,AAi=4cm,為增強其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層

金屬膜，每平方厘米需要金屬2缶，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為

mg-

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在①bs譏4=V5αcosB,②(α-c)sinC=(a-b)(SinA+sinB),③2SMBC=

√5S1?后這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

在AABC中，已知內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c.且______.

(1)求角B的大小：

L√3

(2)若b=V5,zλA8C的面積為一，求AABC周長.

2

18.(12分)為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，廣州市有關(guān)單位舉行了“五四”青年節(jié)團知識競賽活

動，為了解全市參賽者成績的情況，從所有參賽者中隨機抽樣抽取100名，將其成績整

理后分為6組，畫出頻率分布直方圖如圖所示，但是第一、二兩組數(shù)據(jù)丟失，只知道第

二組的頻率是第一組的2倍.

(2)現(xiàn)劃定成績大于或等于上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)為“良好”以上等級，根據(jù)直

方圖，估計全市“良好”以上等級的成績范圍(保留1位小數(shù))；

(3)現(xiàn)知道直方圖中成績在［130,140)內(nèi)的平均數(shù)為136,方差為8,在［140,150］內(nèi)

的平均數(shù)為144,方差為4,求成績在［130,150］內(nèi)的平均數(shù)和方差.

19.(12分)如圖，在正三棱柱4BC-AiBiCi中，已知AB=A4=3,且。為AlCl的中點.

(1)求證：AIB〃平面BiCQ;

(2)求A∣8與平面BeClBl所成角的余弦值.

20.（12分）2021年12月8日召開的中央經(jīng)濟工作會議，總結(jié)了2021年經(jīng)濟工作，分析了

當前經(jīng)濟形勢，并對2022年經(jīng)濟工作做出部署，其中強調(diào)加大對科技創(chuàng)新等領域的支

持.現(xiàn)國家支持甲、乙、丙三家公司同時對某一科技產(chǎn)品進行攻堅研發(fā)，已知每一輪研

22

發(fā)中滿足：甲公司研發(fā)成功的概率為；，甲、乙兩公司都研發(fā)成功的概率為二，乙、丙兩

家公司都研發(fā)不成功的概率為點各公司是否研發(fā)成功互不影響.

（1）求乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率；

（2）若至少有一家公司研發(fā)成功，則稱作實現(xiàn)了“取得重大突破”的目標，如果沒有實

現(xiàn)目標，則三家公司都進行第二輪研發(fā)，求不超過兩輪研發(fā)就能實現(xiàn)“取得重大突破”

目標的概率.

21.（12分）如圖，在平面四邊形ABCD中，/BCD=%,AB=1,乙4BC=條

（1）若BC=2,CD=^7,求aACQ的面積；

（2）若4DC=J,AD=2,求COS/ACD

O

22.（12分）如圖，四棱錐P-ABC。中，側(cè)面以￡）為等邊三角形且垂直于底面ABCD,4B=

1

BC=^AD=2,∕BAO=∕ABC=90°,。是AO的中點.

（1）求證：平面力。_1_平面PoB；

√3

（2）點M在棱PC上，滿足PM=APC（0＜入VI）,且三棱錐P-ABM的體積為可，求

λ的值及二面角M-AB-D的正切值.

2021-2022學年廣東省廣州市越秀區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

I.（5分）不等式3√-χ-2>0的解集是（）

22

A.{x∣-?≤%≤1}B.{x∣-1≤%≤?）

??

C.[x?x≤-?≥1}D.{x?x≤-1≥?）

【解答】解：根據(jù)題意，3X2-X-220即（3犬+2）（x-1）≥0,

解可得：或x≤-g,即不等式的解集為{x∣x≤-∣或x》l},

故選：C.

2.（5分）設。=2。乙b=C=IOgO）2,則b,C的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【解答】解：b=（?）0?8=2-0?8,

2

因為函數(shù)y=2*在（-8,+8）上單調(diào)遞增，且-0.8<0.7,

所以0<2一°?8<l<2°?7,即萬<4,

因為函數(shù)y=log0.7x在（0，+8）上單調(diào)遞減，

所以C=Iogo.72<0,

所以c<b<a,

故選：D.

3.（5分）復數(shù)Z滿足Z（l+z）=1則Z的虛部等于（）

A.-zB.-1C.0D.1

【解答】解：：復數(shù)Z滿足Z（l+ι）=l-i,

a_1_i_（1_i）2_1_.

??z=I+i=（i+i）（i-i）==~h

.?.z的虛部為-1.

故選:B.

4.（5分）α,。是兩個不同的平面，〃?，〃是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若，"J_",∕wCa,nua,則，"_LaB.若a〃β,mua,auβ,則〃?〃〃

C.若ot?Lβ,〃ua,貝∣JD,若m_La,〃ua,則

【解答】解：逐一考查所給的命題：

A.若能_L〃，m0α,"ua,則相J_a或機與a斜交或相與a平行，該命題錯誤；

B.若Cι∕7β,∕%ua,"uβ,則機〃〃或相與〃異面，該命題錯誤；

C.若al?β,〃ua,則或/?與β斜交或〃與β平行，該命題錯誤；

D.若〃?_La,〃ua,由線面垂直的定義可知"?_L〃，該命題正確；

故選：D.

5.(5分)己知AABC中，點M是線段BC的中點，AN=?AM,則藐=()

7~1T2→1→

A.-6√4B+G√4C*B.--QAB+AC

oo?IZ

7TlTC→Λ→

C.-彳?IB+彳ACD.+??√4C

44612

【解答】解：由于aABC中，點M是線段BC的中點，

所以4M+*4C,

TIT

由于4N

所以4N=

OO

整理得扇-BA=iA?+^AC,

OO

T7TIT

故BN=-^AB+^AC.

故選:A.

6.(5分)已知向量乙b滿足面=1,b=(1/√3),且孟?b=l,則展與征+b夾角的余弦

值為()

√72√7√52√5

A.—B.-----C.—D.-----

7755

【解答】解：因為T=(I,√3),

所以向=Jl2+(√3)2=2,

所以Ia+b?=JG+b)2=Ja2+b2+2ab=√12+22+2×1=夕，

->-■>)—>2—>?,—

→-I；、Q?(a+b)a+ablz+l2√7

cos<a,a+b>=-----------=-----------=------T==-,

∣a∣∣a+h∣?a??a+b?Ix"

故選：B.

7.（5分）如圖：已知正四面體ABC。中E在棱CO上，EC=2DE,G為AABC的重心,

則異面直線EG與8。所成角為（）

A.30oB.450C.60oD.90°

【解答】解：取AB中點兒連接尸C,FD,如圖所示：

：G為AABC的重心，F(xiàn)為AB中點,

：.CG=2GF,

又EC=IDE,

.?.在△（7￡＞尸中，EG//DF,

則異面直線EG與BD所成角為NZ）B尸或其補角,

由題可知，AABO為正三角形，

；.NDBF=30°,

二異面直線EG與BD所成角為30°.

故選：A.

Q-→→

8.（5分）平面四邊形∕?8C中，4PC=芋77，AB=2,AC=2√3,ACLAB,則AP?AB

最小值（）

A.-2B.-IC.-2√3D.-√3

【解答】解：建立平面直角坐標系，如圖所示:

則C(O,2√3),β(2,O),

2τr

平面四邊形ABCD中，AB=2,AC=2√3,ACLAB,ZAPC=?,

則點P在以BC為直徑的圓劣弧AC上，

因為BC的中點為。(1,√3),BC=J22+(2√3)2=4,

所以圓O的標準方程為(X-I)2+(y-√3)2=4,

設尸(x,y),其中xW[-1,0],

則AP=(x,y),AB=(2,0).

所以G???=(x,y)?(2,0)=2Λ-∈[-2,0],

所以G???的最小值為-2,

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）下列結(jié)論正確的是（）

A.某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從其中抽10名同學進行體有健

康測試，則應抽取男生6人

B.某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，則正面

朝上的概率為0.6

C.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位數(shù)為2

D.某學員射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則命中環(huán)數(shù)的

標準差為2

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項:

對于A,由分層抽樣方法可得：應抽取男生7X10=6人，A正確；

50

對于8,概率是定值，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，概率為0?5,8錯誤；

4+5

對于C,一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的80%分位數(shù)——=4.5,C錯誤；

2

對于￡>,命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

其平均數(shù)元=白(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,方差齊=4,則其標準差S=2,。正

確；

故選：AD.

(多選)10.(5分)下列結(jié)論正確的是()

A.已知向量；=(3,4),則與途直的單位向量為焉，$或(一考，-|)

TTTTTTIT

B.已知單位向量g,b滿足∣α-b∣=1,則Q在b方向上的投影向量為

C.已知i為虛數(shù)單位，若1T是實系數(shù)一元二次方程/+px+q=0的一個根，則p?q=

-4

D.己知Q∈R,i為虛數(shù)單位，若復數(shù)Z=O2-1+(〃+1)i為純虛數(shù)，則。=±1

434a

【解答】解：A選項，因為(3,4)?(-,-)≠0,(3,4)?(--,Y)≠0,所以A選項

55??

→→TTfTTTlTT

錯誤；8選項，∣α-b∣=l,兩邊平方得小-2α?b+b?=ι,所以Q?b=],所以Q在b方

TTT

a?bb1→

向上的投影向量為F-?F-=一b,5選項正確；

?b?Ibl2

C選項，1-i是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=O的一個根，則1+i是實系數(shù)一元二次方

程/+px+q=O的另一個根，

所以CH；U)V2=7,則*-4,C選項正確；

。選項，復數(shù)Z=]+(“+I)i為純虛數(shù)，所以解得。=1，。選項錯誤.

故選：BC.

(多選)11.(5分)已知函數(shù)/(x)=SirI2%—√5cos2%,則下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)F(X)的圖象關(guān)于點(看，0)對稱

B.若Xe6，J],則函數(shù)/CO的最大值為百

C.若f(α)=1,則CoS2(α+需)=*

D.若/(xi)-f(A2)=4,X?≠X2,則IXI-X2∣的最小值為幾

【解答】解：/(x)=sin2x-y∕3cos2x=2sin(2x-

?.?黑)=2Sin(2X看T)=0,

.?.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(J,0)對稱，故A正確，

?.?χ∈g,芻，

(2X一$eg,?],

?*?siπ(2x—W)G[^2^，1],

：.fCx)∈[√3,2],故B錯誤，

V∕(α)=2sin(2a—?)=2sin[(2α+看)一芻=I,則CoS(2α+^)=—?,

.?.cos(2α+專)=2COS2(α+金)-1,cos2(a+?)=?,故C正確，

..2π

?Tτ=N=TF'

若f(XI)?/(X2)=4,x∣≠X2>

則Xl，X2同為最大值點或同為最小值點，

Tπ

二團-X2∣的最小值為了(X)的最小正周期5=5，故。錯誤.

故選：AC.

(多選)12.(5分)如圖，四棱錐S-ABC。的底面為菱形，AB=SD=3,ZDAB=60°,

SOL底面4BCZ),P是SC上任意一點(不含端點)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若SA〃平面PBZ),則SA〃尸O

3√5

B.B到平面SAC的距離為

C.當P為SC中點時，過R4、B的截面為直角梯形

D.當P為SC中點時，OP+PB有最小值

【解答】解：〃平面P8D,SAU平面&4C,平面PBDn平面SAC=P。，

.,.SA//PO,故A正確；

設3到平面SAC的距離為/?,則有SA=SC=3√Σ,AC=3√3,

,?'Vli-SAC—Vs-ABC>'?~h×?×3?√f3×=?×3×?×3×3×解得/?=斗?.故B正

確；

當尸為SC中點時，如圖，取5。的中點M,連接PΛ∕,AM,MB,

r,1

則PM〃CO,PM=WCD,

?'AB∕∕CD,貝UPM〃AB,

.?.過P、A、B的截面為ABPM,則P8=3,BM=~,PM』

.?BM2=PM2+PB1,則即ABPM為直角梯形，故C正確；

借助于側(cè)面展開圖，如圖，連接。B交SC于P,此時。P+PB為最小值,

若P為SC中點時，?.?SO=CE>,貝IJoP_LSeBC=SB,這與題意相矛盾，故。錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知AB=(4,-4),BC=(-3,2),AD=(-1,m),若A、C、。三點共線,

則m=2.

【解答】解：根據(jù)題意，AB=(4,一4),SC=(-3,2),AD=(-1,m),

則￡?=/+品'=(1,-2),

若4、C、。三點共線，則盛〃兄),則有IXm=(-1)×(-2)=2,即機=2；

故答案為：2.

14.(5分)某同學從籃球、足球、羽毛球、乒乓球四個球類項目中任選兩項報名參加比賽，

則籃球被選中的概率為?.

【解答】解：某同學從籃球、足球、羽毛球、乒乓球四個球類項目中任選兩項報名參加

比賽，

基本事件總數(shù)n=Cl=6,

籃球被選中包含的基本事件個數(shù)m=C/C∣=3,

則籃球被選中的概率為P=R=WJ

故答案為：?.

2

15.(5分)已知S為圓錐的頂點，。為底面圓心，SO=2g.若該圓錐的側(cè)面展開圖為半

圓，則圓錐的體積為-Tt.

3

【解答】解：設圓錐的底面半徑為r,母線為/,依題意2πr=π∕,即∕=2r,

又So=VB-產(chǎn)=2代,.?.r=2,

圓錐的體積為V=^πr2h=7Γ×22×2y∕3=^^兀.

故答案為：~^~π?

16.(5分)某校高一級學生進行創(chuàng)客活動，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長

方體ABCD-AlBlClDl挖去正四棱臺ABCD-EFGH后所得的幾何體，其中AB=2EF=

2BF,AB=BC=6cm,AA↑=4cm,為增強其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層

金屬膜,每平方厘米需要金屬2優(yōu)g,不考慮損耗,所需金屬膜的質(zhì)量為282+54√3mg.

【解答】解："JAB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA?=4cm,

,幾何體的四個側(cè)面與底面積的和為4X6X4+6X6=132c√,

四邊形EFGH的面積為3X3=%"/,梯形ABFE的高為JBF2EF)2=孚，

則正四棱臺的側(cè)面積為4X/(3+6)X挈=27√3cm2.

模型的表面積S=132+9+27b=(141+27√3)cm2.

二所需金屬膜的質(zhì)量為2X(141+27√3)=282+54√3(mg).

故答案為：282+54%.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在①bsinA=KacosB,②Ca-c)SinC=(α-b)(SinΛ+sin8),③2SA.BC=

百點?盛這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

在AABC中，已知內(nèi)角A,B,C的對邊分別為4,b,c.且.

(1)求角8的大小；

L√3

(2)若b=用,Z?ABC的面積為一，求aABC周長.

2

【解答】解：(1)若選①：bsinA=y∣3acosB,由正弦定理可得SinBSinA=√5sinAcosB,

因為sinA≠0,

所以sinB=√3cosB,即tanB=√3.

又0V8<π,B=

若選②：在AABC中(α-c)SinC=(?-b)(SinA+sin8),可得(α-c)SinC=(a-b)

(sinA+sinB),

一c2+α2-e211

由正弦定理得(α-c)c=(a-b)(〃+/?),整理得---------=-，ΛcosB=

2ac22

又0<B<m.?.B=~

若選③：2SAABC=6BA?BC,

__?

所以2x臥，CSinB=V3tzccosB,

所以SinB=√3cos^,

即tanB=V3,

TT

又0<B<π,B=?;

（2）因為aABC的面積為"，所以工αcsin巴=或，解得αc=2,

2232

在BC中，因為b=√5,由余弦定理有必=J+c2-2αccosB=（α+c）2-3αc=3,

所以“+c=3,當且僅當α=c時取等號，

所以AABC周長的3+√3.

18.（12分）為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，廣州市有關(guān)單位舉行了“五四”青年節(jié)團知識競賽活

動，為了解全市參賽者成績的情況，從所有參賽者中隨機抽樣抽取100名，將其成績整

理后分為6組，畫出頻率分布直方圖如圖所示，但是第一、二兩組數(shù)據(jù)丟失，只知道第

（2）現(xiàn)劃定成績大于或等于上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)為“良好”以上等級，根據(jù)直

方圖，估計全市“良好”以上等級的成績范圍（保留1位小數(shù)）；

（3）現(xiàn)知道直方圖中成績在［130,140）內(nèi)的平均數(shù)為136,方差為8,在［140,150］內(nèi)

的平均數(shù)為144,方差為4,求成績在［130,150J內(nèi)的平均數(shù)和方差.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，設第一組的頻率為X,則第二組的頻率為2x,

貝IJ有x+2x+0.034X10+0.03Xl0+0.018X10+0.006X10=1,

解可得X=O.04,

則第一組的頻率為0.04,則第二組的頻率為0.08,

(2)根據(jù)題意，0.04+0.08+0.34+0.3=0,76>0.75,

設數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為X,則有0.03X(X-120)=0.29,

解可得：X=?129.7,

故全市“良好”以上等級的成績范圍為［129.7,150］；

(3)根據(jù)題意,成績在［130,140)內(nèi)人數(shù)為IOOXo.18=18,在［140,150］內(nèi)人數(shù)為100

×0.06=6,

又由成績在［130,140)內(nèi)的平均數(shù)為136,方差為8,

在［140,150］內(nèi)的平均數(shù)為144,方差為4,

則成績在［130,150］內(nèi)的平均數(shù)元=τf?xl36+τ?xl44=138,

lo-rθlo-rθ

22

其方差S2=7?χ［8+(136-138)］+τ?×［4+(144-138)］=19,

18+618+6

故成績在［130,150］內(nèi)的平均數(shù)為138,方差為19.

19.(12分)如圖，在正三棱柱A8C-AiBiCi中，已知AB=AAI=3,且。為AICl的中點.

(1)求證：48〃平面BICr>；

(2)求AIB與平面BCCIBl所成角的余弦值.

【解答】(1)證明：連接8。，設BCInBIC=E,連接OE,

在正三棱柱A3C-AiBiCi中，四邊形BCeIBI為矩形，則E為BCI的中點,

又。為4G的中點，所以OE〃/1/,48C平面8∣Cf>,OEU平面BiCO,

所以48〃平面B?CD.

(2)解：取BlCl的中點F,連接AIRBF,在正三棱柱ABC-AIBlCl中，BBiL平面

A∣BιC∣,AlFU平面A181C”

所以B8iJ_4R又AAIBICI為等邊三角形，所以Cι8∣J>4F,C↑B?^BB?=B?,BBIU平

面BeClB1,CIBlU平面BCCIB1，所以AIFJ_平面CCCIBι,

所以NAIBF為直線AlB與平面BCClBI所成角，

因為AB=A41=3,所以BF=不”=肘+(|尸=攀

A1B=JBBl2+4IBl2=3√2,

所以cos/4/F=篇=翁=孚'

所以直線A∣8與平面BCCiBi所成角的余弦值為包.

4

20.(12分)2021年12月8日召開的中央經(jīng)濟工作會議，總結(jié)了2021年經(jīng)濟工作，分析了

當前經(jīng)濟形勢，并對2022年經(jīng)濟工作做出部署，其中強調(diào)加大對科技創(chuàng)新等領域的支

持.現(xiàn)國家支持甲、乙、丙三家公司同時對某一科技產(chǎn)品進行攻堅研發(fā)，已知每一輪研

22

發(fā)中滿足：甲公司研發(fā)成功的概率為一,甲、乙兩公司都研發(fā)成功的概率為二，乙、丙兩

35

1

家公司都研發(fā)不成功的概率為g,各公司是否研發(fā)成功互不影響.

(1)求乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率；

(2)若至少有一家公司研發(fā)成功，則稱作實現(xiàn)了“取得重大突破”的目標，如果沒有實

現(xiàn)目標，則三家公司都進行第二輪研發(fā)，求不超過兩輪研發(fā)就能實現(xiàn)“取得重大突破”

目標的概率.

【解答】解：(1)設甲、乙、丙公司研發(fā)成功分別為事件4,B,C,

99__1

則P(A)=∣,P(AB)=τ>P(BC)=1,

由于各公司是否研發(fā)成功互不影響，事件A,B,C相互獨立,

2————1

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)=[1-P(B)][1-P(C)]=?,

31

：.P(B)=∣,P(C)=分

故乙、丙兩家公司各自研發(fā)成功的概率分別為二

52

(2)設一輪研發(fā)“取得重大突破”的目標為事件M,

------12114

P(Λ∕)=I-PCABC)=1—?×?×2=γg,>

設實現(xiàn)“取得重大突破”目標為事件M

——14114224

P(N)=P(M)+p(M)P(^)=I5+15×T5=225'

224

所以實現(xiàn)“取得重大突破”目標的概率為：一.

225

21.(12分)如圖，在平面四邊形ABCf)中，ZBCD=≡,AB=1,Z.ABC=?.

(1)若BC=2,CD=√7,求AACO的面積；

(2)若々DC=，，AD=2,求CoSNAeD

O

【解答】解：(1)因為AB=LZABC=?,BC=2,

由余弦定理得AC?=2+COS等=7,即AC=√7,

ABBC2_2AB.AC.

AC2+BC2-AB25√7

由余弦定理得cos4CB=

2×AC×BC14

所以sin4CD=sin(J-乙ACB)=cos?ACB5√7

^14

所以AACD的面積S=^×AC×CD×sin?ACD=孚.

ADAC2

（2）在AAOC中,由正弦定理得嬴而--------,即--------與,

sin?ADCsin?ACD

2

√48AC11AC

在△川C中,由正弦定理得=E即Sie一“CD）

Pncos?ACD?