與函數(shù)奇偶性相關(guān)的周期和對稱問題+講義 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

與函數(shù)奇偶性相關(guān)的周期和對稱問題山東東營徐新華函數(shù)的奇偶性與圖像的對稱性是密不可分的，而圖像的對稱性往往與函數(shù)的周期性有一定的聯(lián)系；具體到某些特定的函數(shù)，不僅具有奇偶性、周期性，而且其圖像具有對稱性，三者的緊密關(guān)系尤為顯著。本文將從奇偶函數(shù)入手，對這方面的一些問題進(jìn)行探究。我們知道，如果對于函數(shù)f（x)定義域D內(nèi)的任意一個x，都有f（-x)=-f（x)，那么函數(shù)f（x)就叫做奇函數(shù)。較為常見的簡單奇函數(shù)如：f（x)=x3，f（x)=等等。如果對于函數(shù)f（x)定義域D內(nèi)的任意一個x，都有f（-x)=f（x)，那么函數(shù)f（x)就叫做偶函數(shù)。較為常見的簡單偶函數(shù)如：f（x)=x2，f（x)=|x|等等。奇偶函數(shù)最為突出的性質(zhì)是:奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。一、圖像具有對稱性的函數(shù)：對于函數(shù)f（x)定義域內(nèi)的任意一個x，（1）.若f(x+a)=f(a-x)，則f(x)關(guān)于直線x=a對稱。（2）.若f(x+a)=f(b-x)，則f(x)關(guān)于直線x=對稱。（3).若f(-x+a)+f（x)=0，則f(x)關(guān)于點（，0）對稱。（4）.若f(-x+a)+f（x+b)=0，則f(x)關(guān)于點（，0）對稱。（5）.若f(-x+a)+f（x+b)=c，則f(x)關(guān)于點（，）對稱。解析：（1）.若f(x+a)=f(a-x)，得f(x+a)為偶函數(shù)，∴f(x+a)的圖像關(guān)于y軸對稱，f(x+a)的圖像向左（a<0時)或向右（a>0時)平移|a|個單位即得函數(shù)f（x)的圖像（圖像的對稱軸成為直線x=a),故則f(x)關(guān)于直線x=a對稱。（2）.若f(x+a)=f(b-x)，用x+代替等式中的x,得f(x++a)=f[b-(x+)]即f(x+)=f(-x+)，由（1）知f(x)關(guān)于直線x=對稱。（3）.若f(-x+a)+f（x)=0，得f(-x+a)=-f（x)，用x+代替等式中的x,得f(-x+)=-f(x+),即函數(shù)f(x+)為奇函數(shù)，∴f(x+)的圖像關(guān)于原點對稱，將f(x+)的圖像向左（a<0時)或向右（a>0時)平移||個單位即得函數(shù)f（x)的圖像（圖像的對稱中心成為點（，0),故則f(x)關(guān)于點（，0）對稱。（4）.若f(-x+a)+f（x+b)=0，得f(-x+a)=-f（x+b)，用x+代替等式中的x,得f(-x-+a)=-f（x++b)，即f(-x+)=-f(x+)，∴f(x+)為奇函數(shù)，由（3）知f(x)點（，0）對稱。.若f(-x+a)+f（x+b)=c，化為f(-x+a)-=-[f（x+b)-],用x+代替等式中的x,得f(-x-+a)-=-[f（x++b)-].即：f(-x+)-=-[f(x+)-],∴f(x+)-為奇函數(shù)，將f(x+)-的圖像向左（<0時)或向右（>0時)平移||個單位，再向上（c>0時)或向下（c<0時)即得函數(shù)f（x)的圖像（圖像的對稱中心成為點（，),故則f(x)關(guān)于點（，）對稱。二、圖像具有對稱性的函數(shù)與周期對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。對稱函數(shù)與周期函數(shù)之間有著非常緊密的關(guān)系，常見的一些結(jié)論如下（其中前六個結(jié)論中均以正周期形式呈現(xiàn)）：、若f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱，同時關(guān)于直線x=b對稱，則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).、若f(x)的圖像關(guān)于點（a，0）對稱，同時關(guān)于關(guān)于點（b，0）對稱，則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).、若f(x)的圖像關(guān)于點（a，0）對稱，同時關(guān)于直線x=b對稱，則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=4（a-b）(其中a>b).（4）、若f(x)=f（x-a)+f（x+a)，則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=6a(其中a>0).（5）、若f（x+a)+f（x+b)=c（c≠0),則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).（6）、若f（x+a)f（x+b)=c,則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).（7）、若f（x+a)=，則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=4a.(8）若f（x+p)=，則f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2p.解析：（1）、由f(x)關(guān)于直線x=a對稱，得：f(x)=f(-x+2a)由f(x)關(guān)于直線x=b對稱，得：f(x)=f(-x+2b)；∴f(-x+2a)=f(-x+2b)，即f(x)=f(x+2a-2b),故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).（2）、由f(x)關(guān)于點（a，0）對稱，得：f(x)+f(-x+2a)=0，由f(x)關(guān)于關(guān)于點（b，0）對稱，得：f(x)+f(-x+2b)=0，∴f(-x+2a)=f(-x+2b)，即f(x)=f(x+2a-2b),故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).（3）、若f(x)關(guān)于點（a，0）對稱，得：f(x)+f(-x+2a)=0，由f(x)關(guān)于直線x=b對稱，得：f(x)=f(-x+2b)；∴f(-x+2a)=-f(-x+2b)，即f(x+2a-2b)=-f(x),進(jìn)一步得：f(x+4a-4b)=-f(x+2a-2b)=f(x),故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=4（a-b）(其中a>b).（4）、由f(x)=f（x-a)+f（x+a)得f(x+a)=f（x)+f（x+2a)∴f(x+2a)=-f(x-a)，即f(t)=-f(t-3a)=f(t-6a),故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=6a(其中a>0).（5）、由f（x+a)+f（x+b)=c,得f（x+a)=c-f（x+b),∴f（x+2a)=c-f（x+a+b),進(jìn)一步得：f（x+2a-2b)=c-f（x+a-b),∴f（x+3a-3b)=c-f（x+2a-2b)=f（x+a-b),故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).（6）、由f（x+a)f（x+b)=c（c≠0),得f（x+2a)f（x+a+b)=c,進(jìn)一步得：f（x+a+b)f（x+2b)=c,∴f（x+2a)=f（x+2b),即f(x)=f(x+2a-2b),故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2（a-b）(其中a>b).、由f（x+a)=，得f（x+2a)==進(jìn)一步得：f（x+4a)=-=f(x).故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=4a.（8）、由f（x+p)=，得：f（x+2p)=====f(x）故f(x)一定為周期函數(shù)，周期T=2p.三、函數(shù)的奇偶性、周期性與函數(shù)圖像的對稱性、若一個偶函數(shù)的圖像關(guān)于一條直線（不是y軸）對稱，則該函數(shù)一定是一個周期函數(shù)。、若一個奇函數(shù)的圖像關(guān)于一個點（不是原點）對稱，則該函數(shù)一定是一個周期函數(shù)。、若一個函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，則該函數(shù)的圖像一定是一個軸對稱圖形。（4）、若一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，則該函數(shù)的圖像一定是一個中心對稱圖形。解析：、由f(x)是偶函數(shù)得：f（-x)=f（x)，由f(x)圖像關(guān)于一條直線（不是y軸）對稱，不妨對稱軸為直線x=a（a≠0)，得：f（-x)=f（x+2a),∴f（x+2a)=f（x)，故函數(shù)f(x)一定是周期函數(shù)，T=2a。、由f(x)是奇函數(shù)得：f（-x)=-f（x)，由f(x)的圖像關(guān)于一個點（不是原點）對稱，不妨設(shè)對稱中心為（a，0）（a≠0)，得：f（-x)=-f（x+2a),∴f（x+2a)=f（x)，故函數(shù)f(x)一定是周期函數(shù)，T=2a。（3）、由f(x)是偶函數(shù)得：f（-x)=f（x)，由f(x)是周期函數(shù)得