江西省景德鎮(zhèn)市樂平中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

樂平中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算作答.【詳解】由已知得．故選：D．2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.144 B.120 C.100 D.80【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及性質(zhì)求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，則，所以，故選：B.3.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且,所以，，所以，故選:D.4.雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程以及焦距可得，可得漸近線方程.【詳解】由焦距為4可得，即，又，所以，可得，即；則的漸近線方程為.故選：B5.將甲、乙等8名同學(xué)分配到3個(gè)體育場館進(jìn)行冬奧會(huì)的志愿服務(wù)，每個(gè)場館不能少于2人，則不同的安排方法有（）A.2720 B.3160 C.3000 D.2940【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知：共有兩種分配方式，一種是，一種是，結(jié)合分堆法運(yùn)算求解.【詳解】共有兩種分配方式，一種是，一種是，故不同的安排方法有.故選：D.6.已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合題意，列出不等式組，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，由得，所以，?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；又函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以有，解得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的問題，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性即可，屬于常考題型.7.已知定義在R上可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，由可得在上恒成立，所以函數(shù)在為上單調(diào)遞減函數(shù)，由為偶函數(shù)，，可得，故要求不等式的解集等價(jià)于的解集，即可得到答案.【詳解】由題意構(gòu)造函數(shù)，則，定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足在上恒成立，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；又為偶函數(shù)，則函數(shù)，即關(guān)于對(duì)稱，，則，由于不等式的解集等價(jià)于的解集，根據(jù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則，故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，屬于較難題．8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，則錯(cuò)誤的是（）A. B.雙曲線的離心率C.雙曲線的漸近線方程為 D.原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求出焦點(diǎn)弦長與實(shí)半軸長的關(guān)系，然后計(jì)算離心率，求漸近線方程，同時(shí)在假設(shè)D正確的情況下，出現(xiàn)矛盾的結(jié)論，最終得出正確選項(xiàng)．【詳解】如圖，設(shè)，則，所以，，，所以，∴，A正確；，，在中，，在中，，即，，所以，B正確；由得，，漸近線方程為，C正確；若原點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則，，與B矛盾，不成立，D錯(cuò)．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用雙曲線的定義把焦點(diǎn)弦焦半徑用表示．從而尋找到的選題關(guān)系可求得離心率和漸近線方程．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為是的中點(diǎn)，則正確的是（）A B.平面平面C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】CD【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由可判斷A；求出平面和平面的法向量，不存在實(shí)數(shù)λ使得．可判斷B；求出三棱錐的體積可判斷C；求出三棱錐的外接球的表面積可判斷D.【詳解】解：以，，為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．因?yàn)?，所以與不垂直．故A錯(cuò)誤．，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得所以不妨取，則，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則由得所以不妨取，則，所以．故不存在實(shí)數(shù)λ使得．故平面與平面不平行，故B錯(cuò)誤．在長方體中，⊥平面，故是三棱錐的高，所以．故C正確．三棱錐的外接球即為長方體的外接球，故外接球的半徑．所以三棱錐的外接球的表面積，故D正確．故選：CD．10.某中藥材盒中共有包裝相同的10袋藥材，其中甲級(jí)藥材有4袋，乙級(jí)藥材有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲級(jí)藥材”，用B表示事件“第二次取到乙級(jí)藥材”，則（）A. B.C. D.事件A，B相互獨(dú)立【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由古典概型概率計(jì)算公式驗(yàn)算即可；對(duì)于B，由條件概率公式即可驗(yàn)算；對(duì)于C，由全概率公式即可驗(yàn)算；對(duì)于D，由獨(dú)立乘法公式即可驗(yàn)算.【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，，所以事件A，B不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.已知數(shù)列滿足，，設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分析與的遞推關(guān)系，根據(jù)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)以及分組求和法求得.【詳解】依題意，，A選項(xiàng)正確.，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，而，所以，所以，所以C選項(xiàng)正確.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，而，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求解形如的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的問題，可考慮利用配湊法，即配湊為的形式，再結(jié)合等比數(shù)列的知識(shí)來求得.求關(guān)于奇數(shù)、偶數(shù)有關(guān)的數(shù)列求和問題，可考慮利用分組求和法來進(jìn)行求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中的系數(shù)為_______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理分析求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，可得展開式中的系數(shù)為.故答案為：15.13.若雙曲線的漸近線與圓相切，則_______．【答案】或【解析】【分析】利用雙曲線的方程得到漸近線方程，再利用配方法求得圓的圓心與半徑，從而利用直線與圓相切得到關(guān)于的方程，由此得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓相切，所以圓心到漸近線的距離，解得或．故答案為：或.14.已知函數(shù)，若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上存在實(shí)數(shù)解，令，由求解.【詳解】原條件等價(jià)于：在上存在實(shí)數(shù)解．則在上存在實(shí)數(shù)解，令，則，因?yàn)闀r(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時(shí)，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．（1）求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；（2）若甲以領(lǐng)先乙時(shí)，記表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結(jié)果；（2）利用分布列步驟求解并求得期望【小問1詳解】甲3局全勝的概率為,乙3局全勝的概率為，進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為【小問2詳解】的可能取值為1，2，，，故的分布列為：12故．16.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列公式法求出通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式以及裂項(xiàng)相消法求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則解得所以，.【小問2詳解】，則.17.如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為1的菱形，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）60°【解析】【分析】（1）連接，由線面垂直判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由（1）可知，平面，進(jìn)而可得是二面角的平面角．解即可得到二面角的大小．【小問1詳解】如圖，連接，由是菱形且知，△BCD是等邊三角形．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?平面,所以平面．又平面，所以平面平面．【小問2詳解】由（1）可知平面，所以，又，所以為二面角的平面角,在中，，，，所以．所以二面角的平面角為．18已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】（1）（2）證明見的解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【小問1詳解】[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)椋瑒t令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為【小問2詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握19.如圖，D為圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點(diǎn)W，使得，點(diǎn)W的軌跡記為曲線．（1）求曲線C的方程；（2）若過點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線MN過定點(diǎn)；（3）若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析，（3）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)，求得D點(diǎn)并代入，化簡求得曲線C的方程；（2）設(shè)的方程為，直線的方程為，將直線的方程與曲線C的方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此證得直線過定點(diǎn)并求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）假設(shè)存在點(diǎn)使得，先求得，設(shè)出G，H的坐標(biāo)，由直線SH和直線SG的方程求得P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合G在曲線C上求得R點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】設(shè)，，則，由題意知，所以，得(，所以，因?yàn)椋?，故曲線C的方程為．【小問2詳解】由題意可知