2023年高考數(shù)學(xué)文科模擬考試試卷及答案

高考數(shù)學(xué)模擬考試試卷及答案（一）（文

科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，滿分60分，在每小

題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

1+1

A.1B.-1C.1D.-2

2

2.集合A={0,1,2,3,4},B={x|（x+2）（x-1）<0},則AAB=

（）

A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,

1}

3.已知向量左（1,2）,t=（-2,m）,若則Z+3EI等于（）

A.-VToB.C.3yf5D-2a

4.設(shè)a「2,數(shù)列{1+aJ是以3為公比的等比數(shù)列，則a4=（）

A.80B.81C.54D.53

5.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中左視圖是一個

邊長為2的正三角形，則這個幾何體的體積是（）

正視圖左視圖

俯視圖

第1頁（共28頁）

A.2cm2B.cm3C.3^0m3D.3cm3

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出i的值是9,則判斷框中的橫線

上可以填入的最大整數(shù)是（）

A.4B.8C.12D.16

7.已知I,m,n為三條不同直線，a,0,丫為三個不同平面，則下

列判斷正確的是（）

A.若m〃a,n〃a,則m〃n

B.若m_La,n〃0,a±P，則m_Ln

C.若aCB=l,m〃a,m〃仇則m〃l

D.若aGB=m,any=n,l±m(xù),l±n,則l_La

8.已知6Q(0,1)，則y-一~小的最小值為()

2sin0cos0

A.6B.10C.12D.16

‘肝y-240

9.已知變量x,y滿足r-yn<o,則弋的取值范圍為（)

2x-y+230

A.[0,g]B.[0,+8)C.(-8,和D.[0]

第2頁（共28頁）

_22

10.已知直線I：y=kx與橢圓C：三■+J=lQ〉b〉0)交于A、B兩點(diǎn)，

a2b2

其中右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),且AF與BF垂直，則橢圓C的離心

率的取值范圍為()

A.除1)B.(0,泊C.嚕,1)D.(0,冬

b-a科'K

11.對于實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算"3"：a?b=i',設(shè)f(x)=(2x

.b'-a￡a>b

-3)?(x-3),且關(guān)于x的方程f(x)=k(kWR)恰有三個互不相

同的實(shí)根x2>x3，則XJXz-X?取值范圍為()

A.(0,3)B.(-1,0)C.(-8,o)D.(-3,0)

12.f(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足x「(x)

Wf(x),對任意的正數(shù)a、b,若a<b,則必有()

A.af(a)Wbf(b)B.af(a)2bf(b)C.af(b)<bf(a)

D.af(b)2bf(a)

二.填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.

13.圓(x+2)2+(y-2)2=2的圓心到直線x-y+3=0的距離等

于.

14.已知函數(shù)丫=$訪(oox+巾)(w>0,0<巾W二)的部分圖象如示，

則巾的值為.

第3頁(共28頁)

15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f

(x+2),且x￡=(-2,0)時，f(x)=2x+±則f

2

17.已知等差數(shù)列｛aj滿足：a3=7,25+27=26.｛aj的前n項(xiàng)和為S?

(工)求及S。；

4

(11)令6n=—八=—I(n￡N*),n求數(shù)列｛b｝的前nn項(xiàng)和T.

n

18.已知函數(shù)f(x)=-2sir)2x+2盛sinxcosx+1

(I)求f(x)的最小正周期及對稱中心

(口)若*￡[-?，義],求f(X)的最大值和最小值.

19.某流感病研究中心對溫差與甲型H1N1病毒感染數(shù)之間的相關(guān)關(guān)

系進(jìn)行研究，他們每天將實(shí)驗(yàn)室放入數(shù)量相同的甲型H1N1病毒和

100只白鼠，然后分別記錄了4月1日至4月5日每天晝夜溫差與實(shí)

驗(yàn)室里100只白鼠的感染數(shù)，得到如下資料:

日4月1日4月2日4月34月4日4月5日

期□

溫101311127

差

感染2332242917

數(shù)

(1)求這5天的平均感染數(shù);

(2)從4月1日至4月5日中任取2天，記感染數(shù)分別為x,y用(x,

y)的形式列出所有的基本事件，其中(X,y)和(V，X)視為同一

事件，并求|x-y|W3或|x-y|29的概率.

第4頁(共28頁)

20.如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP±PC,ACJ_BC,M為AB的中

點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形.

(I)求證：BC_L平面APC；

(II)若BC=3,AB=10,求點(diǎn)B到平面DCM的距離.

22_

21.已知橢圓C：與+4=1(a>b>0),圓Q：(x-2)2+(y-

a?『

2=2的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P(0,6)到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離

為我.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線I1，12,且I1交橢圓C于A,B兩

點(diǎn)，直線［交圓Q于C,D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求△MAB的面

e

(1)求f(X)的單調(diào)區(qū)間;

第5頁(共28頁)

(2)設(shè)g(x)=xF(x),其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明：對

任意x>0,g(x)<l+e-2.

第6頁(共28頁)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，滿分60分，在每小

題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()

1+1

A.1B.-1C.1D.-2

2

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0且虛部不

為0求得a值.

[解答]解：產(chǎn)T-Q+i尤為純虛數(shù),

1+iCl+i)(1-i)2

號,解得：a=l.

[a+lWO

故選：A.

2.集合A={0,1,2,3,4},B={x|(x+2)(x-1)<0},則AAB=

()

A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,

1}

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算.

【分析】求出B中不等式的解集確定出B,找出A與B的交集即可.

【解答】解：由B中不等式解得：-2WxWl,即8=[-2,1],

VA={0,1,2,3,4},

.\AnB={0,1},

第7頁(共28頁)

故選：D.

3.已知向量W=(L2),E=(-2,m),若.〃&則|2；+3石|等于()

A.V7oB.4A/5C.mD.2y

【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】根據(jù)鼻〃％,算出手(-2,-4),從而得出2a+3b=<-%

-8),最后根據(jù)向量模的計(jì)算公式，可算出|2*五|的值.

【解答】解：2),b-(-2,m)且，〃I,

.*.lXm=2X(-2),可得m=-4

由此可得w=(l,2),慶(-2,⑷，

，2舅3.(-4,-8),得%+五|=V(-4)2K-8)2=4V5

故選：B

4.設(shè)a『2,數(shù)列｛1+a』是以3為公比的等比數(shù)列，則a4=()

A.80B.81C.54D.53

【考點(diǎn)】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式.

【分析】先利用數(shù)列｛1+a』是以3為公比的等比數(shù)列以及a『2,求出

數(shù)列｛1+aJ的通項(xiàng)，再把n=4代入即可求出結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)閿?shù)列｛1+aJ是以3為公比的等比數(shù)列，且a:2

所以其首項(xiàng)為l+a:3.

其通項(xiàng)為：l+an=(1+aJX3n-i=3n.

當(dāng)n=4時，l+a4=34=81.

/，34=80-

第8頁(共28頁)

故選A.

5.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，其中左視圖是一個

邊長為2的正三角形，則這個幾何體的體積是（）

1Al*11?~~=~~H

W△

正視圖左視圖

俯視圖

A.2cm2B.，.侑cm3C.3J^cm3D.3cm3

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

【分析】由幾何體的三視圖得到原幾何體的底面積與高，進(jìn)而得到該

幾何體的體積.

【解答】解：由幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面是直角梯形，

高為6的四棱錐，

故選：B.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出i的值是9,則判斷框中的橫線

第9頁（共28頁）

上可以填入的最大整數(shù)是（）

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S,i的值，

當(dāng)S=16,i=9時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出i的值為9,則判斷

框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為：16

【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

i=l

S=0

滿足條件，S=l,i=3

滿足條件，S=4,i=5

滿足條件,S=9,i=7

滿足條件，S=16,i=9

由題意，此時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出i的值為9,

則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數(shù)為：16,

故選：D.

第10頁（共28頁）

7.已知I,m,n為三條不同直線，a,仇丫為三個不同平面，則下

列判斷正確的是（）

A.若m〃a,n〃a,則m〃n

B.若m_La,n〃0,a_LB，則m_Ln

C.若aG0=l,m〃a,m〃B，則m〃l

D.若aCB=m,aCv=n,l_Lm,l_Ln,則l_La

【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)常見幾何體模型舉出反例，或者證明結(jié)論.

【解答】解：（A）若m〃a,n//a,則m與n可能平行，可能相交,

也可能異面，故A錯誤；

（B）在正方體ABCD-AEC，DZ中,設(shè)平面ABCD為平面a,平面CDDC

為平面B，直線BB;為直線m,直線AB為直線n,

則m_La,n〃0,a_L0,但直線AB與BB，不垂直，故B錯誤.

（C）設(shè)過m的平面Y與a交于a,過m的平面。與B交于b,

m//a,mey,aAy=a?

m〃a,

同理可得：m〃b.

a〃b,Vbep,a0,

VaAP=l,aua,a//1,

/.I/7m.

第11頁（共28頁）

故c正確.

(D)在正方體ABCD-ABUD，中，設(shè)平面ABCD為平面a,平面ABB7V

為平面B，平面CDDC為平面v，

則aA0=AB,any=CD,BC±AB,BC±CD,但BC平面ABCD,故D

錯誤.

故選：C.

8.已知ee(0,二)，則y―7^—H~出的最小值為()

2sinocosu

A.6B.10C.12D.16

【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值.

［分析］y=—\--I-----—=(————)(cos20+sin20),由止匕

sinocostiginocogb

利用基本不等式能求出y=12a+95a的最小值?

sin0cos6

【解答】解：V0e(0,—),.-.sine,cos0e(0,1),

222

第12頁(共28頁)

/.y=—\—H---—=(—K,—H-------~)(cos20+sin20)

sin2ecos2esin2eCOS29

一工+94-cos：Bj.gsinT

sin29cos26

210+21。/8.9sin2e

Vsin20cos26

=16.

當(dāng)且僅當(dāng)c。5：3-9K.e時,取等號，

sin,8cos^6

Ay=.\Q一~廿的最小值為16.

sinWcosy

故選：D.

*+y-2《0

9.已知變量x,y滿足,xf+i<o,則白?的取值范圍為()

,2x^+2>0

A.[0,-|-]B.[0,+8)C.(-8,t]D.[?。]

【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃.

【分析】畫出約束條件的可行域，利用所求表達(dá)式的幾何意義求解即

可.

‘犬+y-240

【解答】解：不等式卜51<0表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示△ABC,

L2x-y+2>0

設(shè)Q(3,0)平面區(qū)域內(nèi)動點(diǎn)P(x,V)，則上二kPQ,

x-3

當(dāng)P為點(diǎn)A時斜率最大，A(0,0),C(0,2).

當(dāng)P為點(diǎn)C時斜率最小，所以上*[-?1，0].

x-33

故選：D.

第13頁(共28頁)

,_22

10.已知直線I：y=kx與橢圓C：J+J^lla〉b〉0）交于A、B兩點(diǎn)，

a2b2

其中右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c,0）,且AF與BF垂直，則橢圓C的離心

率的取值范圍為（）

A.挈1）B.（0,券］C.嚕,1）D.（0,乎）

【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì).

【分析】由AF與BF垂直，運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一

半，再由橢圓的性質(zhì)可得c>b,結(jié)合離心率公式和a,b,c的關(guān)系，

即可得到所求范圍.

【解答】解：由AF與BF垂直，

運(yùn)用直角三角形斜邊的中線即為斜邊的一半，

可得||OA|=|OF|=c,

由|OA|>b,即c>b,可得C2>b2=a2-C2,

即有C2>—32,

2

可得返<e<l.

2

故選：C.

第14頁（共28頁）

11.對于實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算"?"：a?b=J'，設(shè)f(x)=(2x

>-a,a>b

-3)?(x-3),且關(guān)于x的方程f(x)=k(kWR)恰有三個互不相

同的實(shí)根x2>x3，則XJXz-X?取值范圍為()

A.(0,3)B.(-1,0)C.(-8,o)D.(-3,0)

【考點(diǎn)】30：函數(shù)的圖象；53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

【分析】根據(jù)定義求出f(x)解析式，畫出圖象，判斷即可.

【解答】w：va0b=fb?ri

_b-a,a>b

'-y義0

/.f(x)=(2x-3)?(x-3)=\',

-3x'+6x,x20

其圖象如下圖所示:

,，，Xl*X2*X3e(-3,0),

故選：D.

第15頁(共28頁)

12.f(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足x「(x)

Wf(x),對任意的正數(shù)a、b,若a<b,則必有()

A.af(a)<bf(b)B.af(a)2bf(b)C.af(b)<bf(a)

D.af(b)2bf(a)

【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

【分析】由已知條件判斷出f'(x)W0,據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)

性的關(guān)系判斷出f(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷出f(a)與f(b)

的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】解：(x)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足

xfz(x)(x),

令F(x)史幺貝肝，(x)=xf'

xx2

Vxfz(x)-f(x)<0

.?.Fz(x)<0,AF(x)=豈立在(0,+8)上單調(diào)遞減或常函數(shù)

X

,對任意的正數(shù)a、b,a<b

.?.皿》皿，

ab

,任意的正數(shù)a、b,a<b,

af(b)<bf(a)

故選：C.

二.填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.

13.圓(x+2)2+(y-2)2=2的圓心到直線x-y+3=0的距離等于

2一'

第16頁(共28頁)

【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【解答】解：圓（x+2）2+（y-2）2=2的圓心（-2,2）,

圓（x+2）2+（y-2）2=2的圓心到直線x-y+3=0的距離d』?芝gL述.

Vl+l2

故答案為：述.

2

14.已知函數(shù)丫=$而（u）x+巾）（u）＞0,0V巾W二）的部分圖象如示,

則巾的值為4-

—3—

【考點(diǎn)】HK：由丫=A$訪（cox+巾）的部分圖象確定其解析式.

【分析】先利用函數(shù)圖象，計(jì)算函數(shù)的周期，再利用周期計(jì)算公式計(jì)

算3的值，最后將點(diǎn)（等，0）代入，結(jié)合力的范圍，求力值即可

【解答】解：由圖可知T=2（52LJL）=n,.-.0）=221=2

63T

/.y=sin（2x+6）

代入（三，0）,得sin（mM））=0

33

巾=Ti+2kH,k￡Z

丁0〈巾W二

.?.巾

3

故答案為4

15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f

第17頁（共28頁）

(x+2),且x￡=(-2,0)時，f(x)=2x+—,則f=f(1)=-f(1),

2

代入函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)值即可.

【解答】解：???定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),

函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

又Tf(x-2)=f(x+2),

函數(shù)f(x)為周期為4是周期函數(shù)，

f=f(1)=-f(-1)=-2-i--=-1,

2

故答案為：-1.

16.已知^ABC的三邊長成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值

為叵,則這個三角形最小值的正弦值是空.

2—14—

【考點(diǎn)】8F：等差數(shù)列的性質(zhì).

【分析】設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c,且a>b>c>0,設(shè)公差為

d=2,求出a=c+4和b=c+2,由邊角關(guān)系和條件求出sinA,求出A=60。

或120°,再判斷A的值，利用余弦定理能求出三邊長，由余弦定理

和平方關(guān)系求出這個三角形最小值的正弦值.

【解答】解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c,且a>b>c>0,

設(shè)公差為d=2,三個角分別為、A、B、C,

貝I]a-b=b-c=2,可得b=c+2,a=c+4,

Z.A>B>C,

???最大角的正弦值為亞，，sinA=亞，

22

由A￡(0°,180°)得,A=60°或120°,

第18頁(共28頁)

當(dāng)A=60。時，VA>B>C,.,.A+B+C<180°,不成立；

即A=120°,則cosA=b2+c2a2=(c+2)2+c2(c+4)2=」,

2bc2c(c+2)2

化簡得鏟二』，解得c=3,

2c2

b=c+2=5,a=c+4=7,

2,22

Z.cosC=a+bk~c_49+25-9-13

2ab■2X7X514

又CW(0°,180。)，貝11sinCn^/^Z^n等，

???這個三角形最小值的正弦值是2度,

14

故答案為：達(dá).

14

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.）

17.已知等差數(shù)列｛aj滿足：a3=7,25+27=26.｛aj的前n項(xiàng)和為S。.

（I）求a”及1

4

bf—（n￡N*）,｛bnT.

（口）令n=一"求數(shù)列｝的前項(xiàng)和

an-1nn

【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；85：等差數(shù)列

的前n項(xiàng)和.

【分析】（工）設(shè)等差數(shù)列同｝的公差為d,由于23=7,a5+a7=26,可

得fl”#,，解得3，d,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和

1

2a1+10d=26

公式即可得出.

（口）由（I）可得利用“裂項(xiàng)求和”即可得出.

nnCn+lJnn+1

【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

第19頁（共28頁）

a3=7,a5+a7=26,

aj+2d=7

解得a『3,d=2,

2a[+10*26

；

.\an=3+2(n-1)=2n+l

S；3ni啊D><2=n2+2n.

(H)——/—

Z2

an-l(2n+l)-ln(n+l)nn+1

18.已知函數(shù)f(x)=-2sin2x+2^3sinxcosx+l

(I)求f(x)的最小正周期及對稱中心

(n)若斗］,求f(X)的最大值和最小值.

【考點(diǎn)】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H2：正弦函數(shù)的圖象.

【分析】(1)利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin

(UJX+巾)的形式，即可求周期和對稱中心.

(2)xe［,工］時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)

63

的圖象和性質(zhì)，求出f(x)的取值最大和最小值.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=-2sir)2x+2\,像inxcosx+1,

化簡可得:f(x)=cos2x-l+^/jsin2x+l

=Qsin2x+cos2x=2sin(2x+—TT).

.?.f(x)的最小正周期T=^1^二兀，

由2x+3=kn(k￡Z)可得對稱中心的橫坐標(biāo)為x=三kn;二

6212

.?.對稱中心0),(kez).

第20頁(共28頁)

(2)xG[-—,士時，2X+EQ[」，2]

63666

當(dāng)2x+t=—?時，函數(shù)f(x)取得最小值為二X2二-1.

662

當(dāng)2x+2L=二時，函數(shù)f(x)取得最大值為2X1=2.

62

19.某流感病研究中心對溫差與甲型H1N1病毒感染數(shù)之間的相關(guān)關(guān)

系進(jìn)行研究，他們每天將實(shí)驗(yàn)室放入數(shù)量相同的甲型H1N1病毒和

100只白鼠，然后分別記錄了4月1日至4月5日每天晝夜溫差與實(shí)

驗(yàn)室里100只白鼠的感染數(shù),得到如下資料:

日4月1日4月2日4月34月4日4月5日

期日

溫101311127

差

感染2332242917

數(shù)

(1)求這5天的平均感染數(shù);

(2)從4月1日至4月5日中任取2天，記感染數(shù)分別為x,y用(x,

y)的形式列出所有的基本事件，其中(X,y)和(y,x)視為同一

事件，并求|x-y|W3或|x-y|29的概率.

【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【分析】(1)由已知利用平均數(shù)公式能求出這5天的平均感染數(shù).

(2)利用列舉法求出基本事件總數(shù)n=10,設(shè)滿足1x-y|29的事件

為A,設(shè)滿足|x-y|W3的事件為B,利用列舉法能求出|x-y|W3或

第21頁(共28頁)

|x-y|^9的概率.

【解答】解：(1)由題意這5天的平均感染數(shù)為：

的

-2-3--+-3--2-+-2-4-+--2-9--+-1--7=25-

5

(2)(x,y)的取值情況有：(23,32),(23,24),(23,29),(23,

17),

(32,24),(32,29),(32,17),(24,29),(24,17),(29,17),

基本事件總數(shù)n=10,

設(shè)滿足|x-y|29的事件為A

則事件A包含的基本事件為：(23,32),(32,17),(29,17),共有

m=3個，

設(shè)滿足|x-y|W3的事件為B,由事件B包含的基本事件為(23,24),

(32,29),共有m'=2個，

|x-y|W3或|x-y|29的概率P=P(A)+P(B)磊磊

20.如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP±PC,AC±BC,M為AB的中

點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形.

(I)求證:BC_L平面APC；

(II)若BC=3,AB=10,求點(diǎn)B到平面DCM的距離.

第22頁(共28頁)

/>

B

【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定；MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)

算.

【分析】（I）根據(jù)正三角形三線合一，可得MDLPB,利用三角形中

位線定理及空間直線夾角的定義可得APXPB,由線面垂直的判定定

理可得AP_L平面PBC,即APXBC,再由ACXBC結(jié)合線面垂直的判

定定理可得BC_L平面APC；

（H）記點(diǎn)B到平面MDC的距離為h,則有丫乂=V.分別求

IVI-DBUCDDB-IMVIDUC

出MD長，及ABCD和△MDC面積，利用等積法可得答案.

【解答】證明：（［）如圖，

?「△PMB為正三角形，

且D為PB的中點(diǎn)，

.*.MD±PB.

又TM為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，

.,.MD/7AP,

.,.AP±PB.

又已知APJ_PC,PBAPC=P,PB,PC平面PBC

.?.APJ_平面PBC,

Z.APXBC,

第23頁（共28頁）

XVACXBC,ACAAP=A,

.,.BC_L平面APC,...

解：(II)記點(diǎn)B到平面MDC的距離為h,則有V=V

IMVI-RDCrUDR-IVIUC.

VAB=10,

.*.MB=PB=5,

又BC=3,BC±PC,

二.PC=4,

,?%DC方"PC-BCB

又犯誓

?15M

VM-BCD^3,SABDC="2~?

在ZkPBC中,CD4PB=f，

XVMDXDC,

?'，21耽出0皿二爭歷

?H1L01i25r-_&V3

即點(diǎn)B到平面DCM的距離為孕.

5

22

21.已知橢圓C：號+J=1(a>b>0),圓Q：(x-2)2+(y-b)

a2b2

第24頁（共28頁）

2=2的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P(0,正)到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離

為限

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線I1，12,且§交橢圓C于A,B兩

點(diǎn)，直線［交圓Q于C,D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求△MAB的面

積的取值范圍.

【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì).

【分析】(1)求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公

式，解方程可得a,b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；

(2)討論兩直線的斜率不存在和為0,求得三角形MAB的面積為4；

設(shè)直線y=kx+近，代入圓Q的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可

得M的坐標(biāo)，求得MP的長，再由直線AB的方程為y=-工x+正，代

k

入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，由三角形的面積公式，化簡

整理，由換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得面積的范圍.

【解答】解：(1)圓Q：(x-2)2+(y-&)2=2的圓心為(2,正)，

代入橢圓方程可得號+4=1,

ab

由點(diǎn)p(o,V2)到橢圓c的右焦點(diǎn)的距離為正，即有瓜7=通，

解得C=2,即32-b2=4,

第25頁(共28頁)

解得a=2yj~^,b=2,

29

即有橢圓的方程為三-+x_=l；

84

（2）當(dāng)直線丫丫二技，代入圓的方程可得x=2±次，

可得M的坐標(biāo)為（2,叵）,又|AB|=4,

可得△MAB的面積為之X2X4=4；

設(shè)直線y=kx+、/^,代入圓Q的方程可得，（l+k2）X2-4x+2=0,

A/2+V2k2+2k

可得中點(diǎn)M（意,),

1+k2

MP|=4