專題05 分式突破核心考點(diǎn)【知識(shí)梳理+解題方法+專題過關(guān)】 （原卷版）

專題05分式突破核心考點(diǎn)【聚焦考點(diǎn)+題型導(dǎo)航】考點(diǎn)一分式的判斷考點(diǎn)二分式的有無(wú)意義的條件考點(diǎn)三分式的值為零考點(diǎn)四求使分式為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值考點(diǎn)五利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化考點(diǎn)六含乘方的分式乘除混合運(yùn)算考點(diǎn)七分式加減乘除混合運(yùn)算考點(diǎn)八已知分式恒等式，確定分子或分母考點(diǎn)九零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪考點(diǎn)十分式化簡(jiǎn)求值考點(diǎn)十一分式方程的定義考點(diǎn)十二解分式方程考點(diǎn)十三根據(jù)分式方程解的情況求值考點(diǎn)十四分式方程的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)梳理+解題方法】一、分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個(gè)整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分?jǐn)?shù)線是除號(hào).=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉(zhuǎn)化為形式即可.=4\*GB3④B中若無(wú)字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.二、分式的相關(guān)概念1）分式有意義的條件：分母不為0，即B02）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B03）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>04）分式為負(fù)的條件：分子與分母的積為負(fù)，即AB<0三、分式的基本性質(zhì)1）分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（特點(diǎn)）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分?jǐn)?shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變;=3\*GB3③分?jǐn)?shù)的通分與約分（短除法）.2）分式是分?jǐn)?shù)的拓展延伸，分式有與分?jǐn)?shù)類似的性質(zhì)（特點(diǎn)）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個(gè)不為零的整式，分式大小不變.即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識(shí)點(diǎn)4中詳細(xì)講解.四、分式的約分與通分1）分式的約分：與分?jǐn)?shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時(shí)，分式分子、分母需進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換才有公因式.2）最簡(jiǎn)分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．注：約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．3）分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴(kuò)大的倍數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大，不改變分式的值.步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴(kuò)大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對(duì)應(yīng)擴(kuò)大相同倍數(shù).4）最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．五、分式的混合運(yùn)算分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似：1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．用式子表示為：．2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．5）分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式六、整數(shù)指數(shù)冪（冪的運(yùn)算的擴(kuò)大）1）前面已學(xué)習(xí)：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am?n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運(yùn)算，當(dāng)m<n時(shí).如：a2÷a3=a2）針對(duì)這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，a?n=1an（a≠03）冪的運(yùn)算性質(zhì)擴(kuò)大當(dāng)a≠0時(shí)=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n=2\*GB3②（am）n=amn，（m，=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）（公式34）利用負(fù)指數(shù)化除為乘，設(shè)m，n為正整數(shù)，a≠0，根據(jù)定義am÷an5）科學(xué)記數(shù)法的擴(kuò)大一般，一個(gè)小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式，其中步驟：確定a值的大小.1＜a＜10；確定n的值.原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點(diǎn)向前移動(dòng)x位，則原數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大了10x倍.故n七、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)．八、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．九、增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個(gè)整式方程本身無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解．十、分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答．【專題過關(guān)+能力提升】考點(diǎn)一分式的判斷1．（2022·廣西·南寧十四中八年級(jí)期中）下列式子中，是分式的是（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽省宣城市奮飛學(xué)校七年級(jí)期中）在分式的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．53．（2021·江蘇泰州·八年級(jí)期中）代數(shù)式、、、、中，分式共有________個(gè)．4．（2022·江蘇·泰州市第二中學(xué)附屬初中八年級(jí)期中）式子，，，，中，分式有_________個(gè)5．（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）式子①，②，③，④，⑤中，分式有________個(gè)考點(diǎn)二分式的有無(wú)意義的條件1．（2022·江蘇·射陽(yáng)縣第四中學(xué)三模）若分式有意義，則x的取值范圍是_____．2．（2022·湖南省隆回縣第二中學(xué)八年級(jí)期中）若分式有意義，則x的取值范圍是_____________．3．（2021·廣西·南寧二中八年級(jí)期中）若要使分式有意義；則x滿足的條件是___________．4．（2022·上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如果分式無(wú)意義，那么分式的值為______．5．（2022·安徽·宣城十二中七年級(jí)期中）已知分式，當(dāng)時(shí)，分式的值為0；當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，則___________．考點(diǎn)三分式的值為零1．（2022·安徽·宣城十二中七年級(jí)期中）若分式的值為零，則?等于（

）?A．? B．? C．? D．?2．（2021·山東·日照市北京路中學(xué)八年級(jí)期末）分式，當(dāng)x等于（）時(shí)分式的值為零．A．3 B． C．3或 D．無(wú)法確定3．（2022·湖南·洪江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）若分式的值為零，則x的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．44．（2022·江蘇·九年級(jí)開學(xué)考試）若分式的值為0，則x的值是______．5．（2022·山東·周村二中八年級(jí)階段練習(xí)）使分式的值為零的x的值是____．考點(diǎn)四求使分式為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值1．（2022·四川南充·九年級(jí)期中）若的值為整數(shù)，則正整數(shù)a的值為______．2．（2022·江蘇蘇州·八年級(jí)期末）分式的值是整數(shù)，則正整數(shù)的值等于______．3．（2022·浙江舟山·七年級(jí)期末）若表示一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)x可取的個(gè)數(shù)有______個(gè)．4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)階段練習(xí)）使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是______．5．（2022·四川·成都市西川匯錦都學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知為整數(shù)，且分式的值也為整數(shù)，則滿足條件的所有的值之和為______．考點(diǎn)五利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化1．（2022·北京·清華附中八年級(jí)階段練習(xí)）如果把分式中的和都擴(kuò)大2倍，那么分式的值（

）A．?dāng)U大2倍 B．縮小 C．縮小 D．不變2．（2022·河北石家莊·八年級(jí)期中）若，的值均擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則下列分式的值保持不變的是（

）A． B． C． D．3．（2022·北京房山·八年級(jí)期中）如果將分式中的字母的值分別擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，那么分式的值（）A．不改變 B．?dāng)U大為原來(lái)的2倍C．縮小為原來(lái)的 D．縮小為原來(lái)的4．（2022·廣西·柳州二十五中八年級(jí)期中）如果把分式中的和都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，那么分式的值（

）A．不變 B．?dāng)U大為原來(lái)的10倍C．縮小為原來(lái)的倍 D．縮小為原來(lái)的5．（2022·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)艾山第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）將分式中的的值同時(shí)擴(kuò)大3倍，則擴(kuò)大后分式的值（）A．?dāng)U大3倍 B．?dāng)U大6倍 C．?dāng)U大9倍 D．?dāng)U大27倍考點(diǎn)六含乘方的分式乘除混合運(yùn)算1．（2022·北京房山·八年級(jí)期中）計(jì)算：．2．（2021·山東·單縣湖西學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：3．（2020·北京·大峪中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算．4．（2021·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）．5．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．考點(diǎn)七分式加減乘除混合運(yùn)算1．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．2．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）化簡(jiǎn)：（1）﹣；（2）（1﹣）÷（）．3．（2022·山東山東·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)(2)(3)4．（2022·山東威?！ぐ四昙?jí)期中）計(jì)算：(1)(2)(3)5．（2021·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下面是小斌同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解答問題．=

第一步=

第二步=

第三步=

第四步=

第五步=

第六步

（1）填空：a．以上化簡(jiǎn)步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是b．第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是①，②．（2）請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果．（3）除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．6．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式．例如：．在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：像，…這樣的分式是假分式；像，，…這樣的分式是真分式．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．例如：；＝x+2+．(1)下列分式中，屬于真分式的是：（填序號(hào)）①；②；③；④．(2)將分式化為整式與真分式的和的形式；(3)如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．考點(diǎn)八已知分式恒等式，確定分子或分母1．（2022·河南·南陽(yáng)市第二十一學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知，則_________________．2．（2022·陜西·西北大學(xué)附中八年級(jí)期中）若，則_________，_________．3．（2021·湖南·邵陽(yáng)市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已，則的值是__________．4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)階段練習(xí)）已知，其中，，，為常數(shù)，則______．考點(diǎn)九零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪1．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）著式子有意義，則x必須滿足___________2．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期中）若，則a的值是______．3．（2021·河南·輝縣市太行中學(xué)八年級(jí)期中）要使得有意義，的取值應(yīng)滿足的條件是___________．4．（2022·河南·輝縣市太行中學(xué)八年級(jí)期中）要使得有意義，x的取值應(yīng)滿足的條件是_________________．5．（2022·安徽·宣城十二中七年級(jí)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算：；如：?，．照此定義的運(yùn)算方式計(jì)算___________．考點(diǎn)十分式化簡(jiǎn)求值1．（2022·北京·清華附中八年級(jí)階段練習(xí)）已知，求代數(shù)式的值．2．（2022·安徽省宣城市奮飛學(xué)校七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)分式，再代入求值：?，其中?是?的整數(shù)．3．（2022·北京四中八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中4．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，然后從1，2，3中選取一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值．5．（2022·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，再選一個(gè)合適的數(shù)x代入求值．6．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)：；再請(qǐng)從，，0，1，2中選擇一個(gè)合適的數(shù)值代入求值．7．（2022·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)：然后在3，2，和四個(gè)數(shù)中任選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．考點(diǎn)十一分式方程的定義1．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列各式中屬于分式方程的是（）A． B． C． D．2．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）下列方程：①；②；③；④（為已知數(shù)），其中分式方程有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．（2021·山東威海·八年級(jí)期中）已知方程：①；②；③；④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在方程中，分式方程有______個(gè)．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序號(hào)）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．考點(diǎn)十二解分式方程1．（2022·北京·清華附中八年級(jí)階段練習(xí)）解分式方程．(1)；(2)．2．（2022·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)期中）解分式方程：(1)；(2)．3．（2021·重慶巴蜀中學(xué)八年級(jí)期中）解分式方程：(1)(2)4．（2022·山東·巨野縣教學(xué)研究中心八年級(jí)期中）解方程：(1)(2)5．（2022·廣西桂林·八年級(jí)期中）下面是解分式方程的一般過程，閱讀完后請(qǐng)?zhí)羁铡媒夥质椒匠蹋航猓悍匠虄蛇呁艘裕?；（第一步）解得：．檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，．因此不是原方程的解．所以，原分式方程無(wú)解．(1)第一步計(jì)算中的是__，進(jìn)行這一步運(yùn)算的依據(jù)是(2)用類比的方法解分式方程：6．（2022·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)艾山第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）關(guān)于的方程的解是；關(guān)于的方程的解是；關(guān)于的方程的解是；關(guān)于的方程即的解是；(1)請(qǐng)觀察上述方程與解的特征，猜想關(guān)于的方程的解是什么？并利用“方程的解”的概念進(jìn)行驗(yàn)證；(2)利用閱讀材料，解關(guān)于的方程．考點(diǎn)十三根據(jù)分式方程解的情況求值1．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程有增根，則a的值____________．2．（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期中）若關(guān)于的分式方程有增根，那么的值是______．3．（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是____________4．（2022·新疆·兵團(tuán)二中八年級(jí)期中）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是______．5．（2022·四川·成都市西川匯錦都學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是______．考點(diǎn)十四分式方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2022·北京·清華附中八年級(jí)階段練習(xí)）列分式方程解應(yīng)用題：年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某工廠為了滿足市場(chǎng)需求，提高生產(chǎn)效率，在生產(chǎn)操作中需要用機(jī)器人來(lái)搬運(yùn)原材料．現(xiàn)有A，B兩種機(jī)器人，型機(jī)器人比型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)，型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間與型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間相等，則兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少原料?2．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）某商場(chǎng)用5000元購(gòu)進(jìn)一批服裝，由于銷路好，商場(chǎng)又用18600元購(gòu)進(jìn)了第二批這種服裝，所購(gòu)數(shù)量是第