【解析】浙江省紹興市諸暨中學(xué)2019-2020學(xué)年高二（平行班）下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

諸暨中學(xué)2019學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是滿(mǎn)足題意的.），，則A∩B=A.(–1，+∞) B.(–∞，2)C.(–1，2) D.【答案】C【解析】【分析】本題借助于數(shù)軸，根據(jù)交集的定義可得．【詳解】由題知，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查交集運(yùn)算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．易錯(cuò)點(diǎn)是理解集合的概念及交集概念有誤，不能借助數(shù)軸解題．2.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由題意得，，故是必要不充分條件，故選B．考點(diǎn)：1．對(duì)數(shù)的性質(zhì)；2．充分必要條件．，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大?。驹斀狻浚?；．故．故選A．【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對(duì)待．，向量，，，且，，則（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由題意,根據(jù)求得，得到向量的坐標(biāo),再由，求得得到向量的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的公式，即可求解.【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，向量的模的求解問(wèn)題，熟記向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式和平面向量的模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.的圖像大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．6.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=2x4(x0），則=A. B.C. D.【答案】B【解析】由偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=，則f（x2）=f（|x2|）=，要使f（|x2|）＞0，只需＞0，|x2|＞2，解得x＞4，或x＜0，故選BC1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，則下面結(jié)論正確的是()A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2【答案】D【解析】把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線(xiàn)C2，故選D．點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無(wú)論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).中，角的對(duì)邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿(mǎn)足，則下列等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以，選A.【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問(wèn)題時(shí)，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容忽視.的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，，從而求導(dǎo)，從而可判斷單調(diào)遞減，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，，從而可得到不等式的解集．【詳解】解：設(shè)，由，得：，故函數(shù)在遞減，由為奇函數(shù)，得，，即，不等式，，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得：，故不等式的解集是，故選：．點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．對(duì)上恒成立，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】將不等式看作兩個(gè)因式，和，先討論的正負(fù)，確定對(duì)應(yīng)區(qū)間，再對(duì)的正負(fù)進(jìn)行判斷，確定在交匯處取到等號(hào)，進(jìn)而求解【詳解】解析：法一：由題意可知：當(dāng)，，當(dāng)，，故當(dāng)，，當(dāng)，，即有，故選B；法二：由右圖像可得：顯然有，故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙變量不等式中參數(shù)的求解問(wèn)題，通過(guò)分段討論確定交匯點(diǎn)是解題關(guān)鍵，方法二采用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)一步對(duì)方法一作了補(bǔ)充說(shuō)明，建議將兩種方法對(duì)比研究二、填空題（共7小題，其中1114題每空3分，1517題每空4分，共36分.），其中是虛數(shù)單位，則的虛部為_(kāi)______，_____.【答案】(1).3(2).【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算計(jì)算，然后由虛部定義和模長(zhǎng)的運(yùn)算可求得結(jié)果【詳解】復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為3，故答案為：3；【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的乘法和模的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.，則________（用數(shù)字表示），________（用表示）【答案】(1).6(2).【解析】【分析】第一個(gè)空直接把對(duì)數(shù)形式轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可；第二個(gè)空直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，，，，．，，．故答案為6，．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．，則，的最小值是．【答案】【解析】【詳解】試題分析：如圖根據(jù)所給函數(shù)解析式結(jié)合其單調(diào)性作出其圖像如圖所示，易知.考點(diǎn)：分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)中，為邊上一點(diǎn)，.若的面積為，則_____，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)面積公式得到，，再利用余弦定理求，再求出，在中，用余弦定理可求.【詳解】解：，則，，故，.根據(jù)余弦定理：，故在中，.在中，所以故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力；基礎(chǔ)題.在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由函數(shù)在R上單調(diào)遞減得，又方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以，因此的取值范圍是.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為_(kāi)_________．【答案】.【解析】分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．滿(mǎn)足，則的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量減法的模的幾何意義畫(huà)出圖像，判斷出的軌跡，由此求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，依題意，設(shè)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，即，所以，故，即，由于，所以在以為圓心，半徑為的圓上，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量減法的模的幾何意義，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題（本大題共5小題，共72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用兩角和與差的正切公式，得到，利用同角三角函數(shù)基本函數(shù)關(guān)系式得到結(jié)論；（2）利用正弦定理得到邊的值，根據(jù)三角形，兩邊一夾角的面積公式計(jì)算得到三角形的面積.試題解析：（1）由，得，所以.（2）由可得，.，由正弦定理知：.又，所以.考點(diǎn)：1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式；2.正弦定理；3.三角形面積公式.（1）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f(x)在閉區(qū)間上最大值和最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，由得單調(diào)增區(qū)間；（2）利用函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，在求出函數(shù)的最值．【詳解】解：由（1）由得，即單調(diào)增區(qū)間為；（2）由于，所以，所以，故，故函數(shù)的最小值為，函數(shù)的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．20.如圖，在平行四邊形中，分別是上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，記，，試以為平面向量的一組基底.利用向量的有關(guān)知識(shí)解決下列問(wèn)題；（1）用來(lái)表示向量；（2）若，且，求；【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算，直接用基底表示向量；（2）由（Ⅰ）可知：，，故，可得即可求得求||2，從而求得||．【詳解】（1）∵在中，，∴（2）由（1）可知：，∴∵且∴∴∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．的函數(shù)，.（1）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，且函數(shù)在上兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由是上的偶函數(shù)，可得恒成立，從而可得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，令，，只需在時(shí)恒成，從而可得結(jié)果；（3）不妨設(shè)，可得在上至多一個(gè)零點(diǎn)，若，不合題意；可得；由，，可得.【詳解】（1）是上的偶函數(shù)，，即對(duì)都成立，.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立.令，則，在時(shí)恒成立等價(jià)于：在時(shí)恒成立，又，取值范圍是.（3）不妨設(shè)，因?yàn)?，所以在上至多一個(gè)零點(diǎn)，若，則，而，矛盾.因此；由，得，由，得，，即，.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的零點(diǎn)以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍..（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸平行，且函數(shù)在時(shí)，其圖象上每一點(diǎn)處切線(xiàn)的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）求得導(dǎo)函數(shù)，題意說(shuō)明有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，或直線(xiàn)與函數(shù)的有兩個(gè)交點(diǎn)，可用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)（單調(diào)性，極值等），再結(jié)合圖象可得的范圍；（2）首先題意說(shuō)明，從而有且，其次時(shí)，恒成立，因此的最小值大于0，這可由導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，從而得出的范圍．詳解：（1)）當(dāng)時(shí)，，，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)就是方程有兩個(gè)解，即與的圖像的交點(diǎn)有兩個(gè).∵，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.有極大值又因?yàn)闀r(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有0個(gè)；當(dāng)或時(shí)與的圖像的交點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)時(shí)與的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)；綜上.（2）函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸平行，所以且，因?yàn)椋郧?；在時(shí)，其圖像的每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角均為銳角，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，∴設(shè)，，因?yàn)椋?，∴，∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，∴