考研數(shù)學二(微分方程)模擬試卷1(題后含答案及解析)

考研數(shù)學二（微分方程）模擬試卷1(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設非齊次線性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)有兩個不同的解y1(x)，y2(x)，C為任意常數(shù)，則該方程的通解是A．C[y1(x)－y2(x)]．B．y1(x)＋C[y1(x)－y2(x)]．C．C[y1(x)＋y2(x)]．D．y1(x)＋C[y1(x)＋y2(x)]．正確答案：B涉及知識點：微分方程2．設線性無關的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y”＋p(x)y’＋q(x)y＝f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是A．C1y1＋C2y2＋y3．B．C1y1＋C2y2－(C1＋C2)y3．C．C1y1＋C2y2－(1－C1—C2)y3．D．C1y1＋C2y2＋(1－C1－C2)y3．正確答案：D涉及知識點：微分方程3．若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關系式，則f(x)等于A．exln2．B．e2xIn2．C．ex＋ln2．D．e2x＋ln2．正確答案：B涉及知識點：微分方程填空題4．微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解為________．正確答案：y＝(x＋C)cosx；涉及知識點：微分方程5．微分方程xy’＋y＝0滿足初始條件y(1)＝2的特解為_______．正確答案：xy＝2；涉及知識點：微分方程6．微分方程xy”＋3y’＝0的通解為_______．正確答案：y＝C1x－2＋C1；涉及知識點：微分方程7．微分方程y”＝2y’＋2y＝e2的通解為________．正確答案：y＝ex(C1cosx＋C1sinx)＋ex；涉及知識點：微分方程8．設Y＝ex(C1sinx＋C1cosx)(C1，C2為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為_______．正確答案：y”－2y’＋2y＝0．涉及知識點：微分方程解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9．求微分方程y’＋ycosx＝(lnx)e－sinx的通解．正確答案：y＝e－sinx(xlnx—x＋C)；涉及知識點：微分方程10．求微分方程滿足初始條件的特解．正確答案：y2＝2x2(ln｜x｜＋1)；涉及知識點：微分方程11．求微分方程x2y’＋xy＝y(tǒng)2滿足初始條件的特解．正確答案：；涉及知識點：微分方程12．求微分方程的通解．正確答案：；涉及知識點：微分方程13．設有微分方程y’－2y＝ψ(x)，其中試求在(－∞，＋∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)y＝y(tǒng)(x)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)內(nèi)都滿足所給方程，滿足條件y(0)＝0．正確答案：；涉及知識點：微分方程14．設f(u，v)具有連續(xù)偏導數(shù)，且滿足f’(u，v)＋f’(u，v)＝uv．求y(x)＝e－2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解．正確答案：y”＋2y＝x2e－2x，；涉及知識點：微分方程15．求微分方程y”‘＋6y”＋(9＋a2)y’＝1的通解，其中常數(shù)a＞0．正確答案：y＝C1＋e－3x(C2cosax＋C3sinax)＋；涉及知識點：微分方程16．設函數(shù)y＝y(tǒng)(x)滿足微分方程y”－3y’＋2y＝2ex，其圖形在點(0，1)處的切線與曲線y＝x2－x＋1在該點處的切線重合，求函數(shù)y＝y(tǒng)(x)．正確答案：y＝(1—2x)ex；涉及知識點：微分方程17．求微分方程y”＋5y’＋6y＝2e－x的通解．正確答案：y＝C1e－2x＋C2e－3x＋e－x；涉及知識點：微分方程18．求微分方程y”＋4y’＋4y＝e－2x的通解．正確答案：；涉及知識點：微分方程19．求微分方程y”－2y’＝e2x滿足條件y(0)＝1，y’(0)＝1的解．正確答案：；涉及知識點：微分方程20．求微分方程y”＋2y’－3y＝e－3x的通解．正確答案：；涉及知識點：微分方程21．設函數(shù)y＝y(tǒng)(x)滿足條件求廣義積分∫0＋∞y(x)dx．正確答案：1；涉及知識點：微分方程22．求連續(xù)函數(shù)f(x)，使它滿足f(x)＋2∫0xf(t)dt＝x2．正確答案：；涉及知識點：微分方程23．已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件，求f(x)．正確答案：f(x)＝3e3x－2e2x；涉及知識點：微分方程24．設函數(shù)f(f)在[0，＋∞)上連續(xù)，且滿足方程，求f(t)．正確答案：f(t)＝e4πt2(4πt2＋1)．涉及知識點：微分方程25．在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點的法線段PQ長度的倒數(shù)(Q是法線與x軸的交點)，且曲線在點(1，1)處的切線與x軸平行．正確答案：；涉及知識點：微分方程26．設物體A從點(0，1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運動，物體B從點(－1，0)與A同時出發(fā)，其速度大小為2v，方向始終指向A，試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分方程，并寫出初始條件．正確答案：；涉及知識點：微分方程27．假設：(1)函數(shù)y＝f(x)(0≤x＜＋∞)滿足條件f(0)＝0和0≤f(x)≤ex－1；(2)平行于y軸的動直線MN與曲線y＝f(x)和y＝ex－1分別相交于點P1和P2；(3)曲線y＝f(x)、直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長度．求函數(shù)y＝f(x)的表達式．正確答案：；涉及知識點：微分方程28．設曲線l位于xOy平面的第一象限內(nèi)，l上任一點M處的切線與Y軸總相交，交點記為A．已知，且l過點，求l的方程．正確答案：；涉及知識點：微分方程29．設對任意x＞0，曲線y＝f(x)上的點(x，f(x))處的切線在y軸上的截距等于，求f(x)的一般表達式．正確答案：f(x)＝C1lnx＋C2；涉及知識點：微分方程30．在某一人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的．設該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t＝0時刻已掌握新技術的人數(shù)為x0，在任意時刻t已掌握新技術的人數(shù)為x(t)(將x(t)視為連續(xù)可微變量)，其變化率與已掌握新技術人數(shù)和未掌握新技術人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)k＞0，求x(t)．正確答案：；涉及知識點：微分方程31．設函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上連續(xù)，若由曲線y＝f(x)，直線x＝1，x＝t(t＞1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為．試求y＝f(x)所滿足的微分方程，并求該方程滿足條件的解．正確答案：3f2(t)＝2tf(t)＋t2f’(f)，y—x＝－x3y；涉及知識點：微分方程32．設有一高度為h(t)(t為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足方程z＝h(t)－(設長度單位為厘米，時間單位為小時)．已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)為0．9)，問高度為130(厘米)的雪堆全部融化需多少小時?正確答案：100小時；涉及知識點：微分方程33．設y＝f(x)是第一象限內(nèi)連接點A(0，1)，B(1，0)的一段連續(xù)曲線，M(x，y)為該曲線上任意一點，點C為M在x軸上的投影，0為坐標原點，若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為，求f(x)的表達式．正確答案：f(x)＝(x—1)2，0≤x≤1；涉