專題04 一元二次方程的應(yīng)用（八大類型）（題型專練）（解析版）-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)專題04一元二次方程的應(yīng)用（八大類型）【題型1一元二次方程應(yīng)用-變化率】【題型2一元二次方程應(yīng)用-傳染問(wèn)題】【題型3一元二次方程應(yīng)用-分支問(wèn)題】【題型4一元二次方程應(yīng)用-比賽問(wèn)題及遷移運(yùn)用】【題型5一元二次方程應(yīng)用-銷售問(wèn)題】【題型6一元二次方程應(yīng)用-每每問(wèn)題】【題型7一元二次方程應(yīng)用-幾何面積問(wèn)題】【題型8一元二次方程應(yīng)用-幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題】【題型1一元二次方程應(yīng)用-變化率】1．（2023春?鄞州區(qū)期中）某商品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，價(jià)格由100元降為64元．已知兩次降價(jià)的百分率都是x，則x滿足的方程是（）A．64（1﹣2x）＝100 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1﹣x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝64【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得100（1﹣x）2＝64，故選：B．2．（2023?天心區(qū)校級(jí)一模）在“雙減政策”的推動(dòng)下，某初級(jí)中學(xué)學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少．2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100min，經(jīng)過(guò)2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為70min．設(shè)這兩學(xué)期該校平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)每期的下降率為x，則可列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：100（1﹣x）2＝70．故選：C．3．（2023?溫江區(qū)校級(jí)模擬）隨著疫情影響消退和消費(fèi)回暖，2023年電影市場(chǎng)向好，某電影上映的第一天票房約為2億元，第二天、第三天單日票房持續(xù)增長(zhǎng)，三天累計(jì)票房6.62億元，若第二天、第三天單日票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，設(shè)平均每天票房的增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.62 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62【答案】D【解答】解：設(shè)平均每天票房的增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意可列方程為2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62，故選：D．4．（2023春?華龍區(qū)校級(jí)月考）受益于國(guó)家支持新能源汽車發(fā)展和“一帶一路”倡議等多重利好因素，我國(guó)某汽車零部件生產(chǎn)企業(yè)的利潤(rùn)逐年增高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年利潤(rùn)為2億元，2021年利潤(rùn)為2.88億元．（1）求該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率；（2）若2022年保持前兩年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率不變，該企業(yè)2022年的利潤(rùn)能否超過(guò)3.4億元？【答案】（1）20%；（2）該企業(yè)2022年的利潤(rùn)能超過(guò)3.4億元．【解答】解：（1）設(shè)該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該企業(yè)從2019年至2021年利潤(rùn)的年均增長(zhǎng)率為20%；（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（億元），3.456＞3.4，∴該企業(yè)2022年的利潤(rùn)能超過(guò)3.4億元．5．（2023?黃山一模）數(shù)字化閱讀憑借其獨(dú)有的便利性成為了更快獲得優(yōu)質(zhì)內(nèi)容的重要途徑．近年來(lái)，我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模持續(xù)增長(zhǎng)，據(jù)統(tǒng)計(jì)2020年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模達(dá)4.94億人，2022年約為5.9774億人．（1）求2020年到2022年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模的年平均增長(zhǎng)率；（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)2023年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模能否達(dá)到6.5億人．【答案】（1）2020年到2022年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模的年平均增長(zhǎng)率為10%．（2）預(yù)計(jì)2023年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模能達(dá)到6.5億人．【解答】解：（1）設(shè)2020年到2022年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得4.94（1+x）2＝5.9774，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）答：2020年到2022年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模的年平均增長(zhǎng)率為10%．（2）5.9774（1+0.1）＝6.57514＞6.5，答：預(yù)計(jì)2023年我國(guó)數(shù)字閱讀用戶規(guī)模能達(dá)到6.5億人．【題型2一元二次方程應(yīng)用-分支問(wèn)題】6．（2023?虎林市校級(jí)一模）某種植物的主干長(zhǎng)出若干為數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出相同數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是21，則每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．4 C．3 D．5【答案】B【解答】解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是x，由題意得：x2+x+1＝21，解得：x1＝4，x2＝﹣5（舍去）；∴每個(gè)支干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是4．故選：B．7．（2023?黑龍江一模）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57個(gè)，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支的個(gè)數(shù)是（）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解答】解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支的數(shù)目是x個(gè)，根據(jù)題意列方程得：x2+x+1＝57，即（x+8）（x﹣7）＝0，解得：x＝7或x＝﹣8（不合題意，舍去）；∴x＝7，即這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支的個(gè)數(shù)是7個(gè)，故B正確．故選：B．8．（2022秋?澄海區(qū)期末）某?！吧镅袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外研學(xué)實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是多少？【答案】9．【解答】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是x，根據(jù)題意，可得1+x+x2＝91，整理得x2+x﹣90＝0，解得x1＝9，x2＝﹣10（不合題意，舍去），答：這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是9．【題型3一元二次方程應(yīng)用-傳染問(wèn)題】9．（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）有一個(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，可到方程為（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．（1+x）2＝81【答案】D【解答】解：x+1+（x+1）x＝81，整理得（1+x）2＝81．故選：D．10．（2023?潮南區(qū)模擬）有一人感染了某種病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個(gè)人．【答案】每輪傳染中平均每人傳染了15人．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，依題意得：1+x+x（1+x）＝256，即（1+x）2＝256，解得：x1＝﹣17（不符合題意舍去），x2＝15，答：每輪傳染中平均每人傳染了15人．【題型4一元二次方程應(yīng)用-比賽問(wèn)題及遷移運(yùn)用】11．（2023?東莞市二模）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)人伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊(duì)伍參加比寒，故選：D．12．（2023春?濱江區(qū)校級(jí)期中）一次足球聯(lián)賽實(shí)行單循環(huán)比賽（每?jī)芍蜿?duì)之間都比賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)了x支球隊(duì)參加聯(lián)賽，則下列方程中符合題意的是（）A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C． D．【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝15．故選：C．13．（2023?佳木斯一模）黑龍江省中學(xué)生排球錦標(biāo)賽共進(jìn)行了110場(chǎng)雙循環(huán)比賽，則參加比賽的隊(duì)伍共有（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】D【解答】解：設(shè)參加比賽的隊(duì)伍共有x支，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝110，整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合題意，舍去），∴參加比賽的隊(duì)伍共有11支．故選：D．14．（2023?惠東縣一模）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，則本次比賽共有參賽隊(duì)伍（）A．8支 B．9支 C．10支 D．11支【答案】C【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊(duì)伍參加比賽．故選：C．15．（2022秋?集賢縣期末）在一次同學(xué)聚會(huì)上，大家一見(jiàn)面就相互握手（每?jī)扇酥晃找淮危蠹夜参樟?1次手．設(shè)參加這次聚會(huì)的同學(xué)共有x人，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x（x+1）＝21 B．x（x+1）＝21 C．x（x﹣1）＝21 D．x（x﹣1）＝21【答案】D【解答】解：設(shè)參加這次聚會(huì)的同學(xué)共有x人，由題意得：，故選：D．16．（2022秋?白云區(qū)期末）一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽兩場(chǎng)），共要比賽90場(chǎng)，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？【答案】共有10支隊(duì)參加比賽．【解答】解：設(shè)有x隊(duì)參加比賽．依題意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：共有10支隊(duì)參加比賽．【題型5一元二次方程應(yīng)用-銷售問(wèn)題】17．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）某商店從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款玩具，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：類別價(jià)格A款玩具B款玩具進(jìn)貨價(jià)（元/件）3025銷售價(jià)（元/件）4235（1）該商店用1720元從工廠進(jìn)貨A、B兩款玩具共60件，求兩款玩具分別購(gòu)進(jìn)個(gè)數(shù)；（2）商店銷售第一天，B款玩具便已售完，A款玩具只售出4件，因此商家決定對(duì)A款玩具降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A款玩具每下降1元，平均每天可多銷售2件，要想第二天A款玩具的利潤(rùn)為66元，則商家需降價(jià)多少元？【答案】（1）購(gòu)進(jìn)A款玩具44件，B款玩具16件；（2）商家需降價(jià)0.75元．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款玩具x件，B款玩具y件，依題意得：，解得：．答：購(gòu)進(jìn)A款玩具44件，B款玩具16件．（2）設(shè)商家需降價(jià)y元，依題意得：（4+2y）×（42﹣30）＝66．解得y＝0.75．答：商家需降價(jià)0.75元．18．（2023?中山市一模）某超市以每千克40元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)菠蘿蜜，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到實(shí)惠．現(xiàn)決定降價(jià)銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實(shí)惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；（2）這種干果每千克應(yīng)降價(jià)12元．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x+60（0＜x＜20）．故答案為：y＝20x+60（0＜x＜20）．（2）根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，整理得：x2﹣17x+60＝0，解得：x1＝5，x2＝12，又∵要讓顧客獲得更大實(shí)惠，∴x＝12．答：這種干果每千克應(yīng)降價(jià)12元．19．（2022秋?九龍坡區(qū)期末）某圖書店在2022年國(guó)慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，某課外閱讀書進(jìn)貨價(jià)為每本8元，標(biāo)價(jià)為每本15元．（1）該圖書店舉行了國(guó)慶大回饋活動(dòng)，連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，最后以每本9.6元的價(jià)格售出，求圖書店每次降價(jià)的百分率；（2）在九月底該書店老板去進(jìn)貨該書500本，按照（1）兩次降價(jià)后的價(jià)格在國(guó)慶節(jié)全部售出；國(guó)慶節(jié)后老板去進(jìn)貨發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨價(jià)上漲了a%，進(jìn)貨量比九月底增加3a%，以標(biāo)價(jià)的八折全部售出后，比國(guó)慶節(jié)的總利潤(rùn)多1200元，求a%的值．【答案】（1）20%；（2）．【解答】解：（1）設(shè)圖書店每次降價(jià)的百分率為x，由題意得：15（1﹣x）2＝9.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意舍去），答：圖書店每次降價(jià)的百分率為20%；（2）國(guó)慶節(jié)的總利潤(rùn)為：500×（9.6﹣8）＝800（元），國(guó)慶節(jié)后的進(jìn)貨量為：500（1+3a%）本，進(jìn)貨價(jià)為：8×（1+a%）售價(jià)為：15×0.8＝12（元），由題意得：500（1+3a%）[12﹣8（1+a%）]＝800+1200，解得：a%＝或a%＝0（不符合題意舍去），∴a%＝，答：a%的值為．20．（2022秋?平遙縣期末）某商店通過(guò)網(wǎng)絡(luò)在一源頭廠家進(jìn)一種季節(jié)性小家電，由于疫情影響以及市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，該廠家不得不逐年下調(diào)出廠價(jià)；（1）2019年這個(gè)小家電出廠價(jià)是每臺(tái)62.5元，到2021年同期該品牌小家電出廠價(jià)下調(diào)為40元，若每年下調(diào)幅度相同，請(qǐng)你計(jì)算該小家電出廠價(jià)平均每年下調(diào)的百分率；（2）若明年商場(chǎng)計(jì)劃按每臺(tái)40元購(gòu)一批該品牌小家電，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售定價(jià)為50元時(shí)，每月可售出500臺(tái)，銷售定價(jià)每增加1元，銷售量將減少10臺(tái)．因受庫(kù)存的影響，每月進(jìn)貨臺(tái)數(shù)不得超過(guò)300臺(tái)；商家若希望月獲利8750元，則應(yīng)進(jìn)貨多少臺(tái)？銷售定價(jià)多少元？【答案】（1）20%；（2）該商品每臺(tái)的銷售定價(jià)為75元，應(yīng)進(jìn)貨250臺(tái)．【解答】解：（1）設(shè)該小家電出廠價(jià)平均每年下調(diào)的百分率為x，根據(jù)題意得：62.5（1﹣x）2＝40，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合題意，舍去）．答：該小家電出廠價(jià)平均每年下調(diào)的百分率為20%；（2）設(shè)該商品每臺(tái)的銷售定價(jià)為y元，則每臺(tái)的銷售利潤(rùn)為（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）臺(tái)，根據(jù)題意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，解得：y1＝65，y2＝75，當(dāng)y＝65時(shí)，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合題意，舍去；當(dāng)y＝75時(shí)，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合題意．答：該商品每臺(tái)的銷售定價(jià)為75元，應(yīng)進(jìn)貨250臺(tái)．【題型6一元二次方程應(yīng)用-每每問(wèn)題】21．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）將進(jìn)貨價(jià)格為38元的商品按單價(jià)45元售出時(shí)，能賣出300個(gè)．已知該商品單價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少5個(gè)．設(shè)這種商品的售價(jià)上漲x元時(shí)，獲得的利潤(rùn)為2300元，則下列關(guān)系式正確的是（）A．（x﹣38）（300﹣5x）＝2300 B．（x+7）（300+5x）＝2300 C．（x﹣7）（300﹣5x）＝2300 D．（x+7）（300﹣5x）＝2300【答案】D【解答】解：根據(jù)題意可得：（45+x﹣38）（300﹣5x）＝2300，即：（x+7）（300﹣5x）＝2300．故選：D．22．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）“抖音”平臺(tái)爆紅網(wǎng)絡(luò)，某電商在“抖音”上直播帶貨，已知該產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)為70元/件，為吸引流量，該電商在直播中承諾自家商品價(jià)格永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)99元/件，根據(jù)一個(gè)月的市場(chǎng)調(diào)研，商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價(jià)為110元/件時(shí)，日銷售量為20件，售價(jià)每降低1元，日銷售量增加2件．（1）當(dāng)銷售量為30件時(shí)，產(chǎn)品售價(jià)為105元/件；（2）直接寫出日銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式；（3）該產(chǎn)品的售價(jià)每件應(yīng)定為多少，電商每天可盈利1200元？【答案】（1）105；（2）y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（3）90元．【解答】解：（1）110﹣＝110﹣＝110﹣5＝105（元/件），∴當(dāng)銷售量為30件時(shí)，產(chǎn)品售價(jià)為105元/件．故答案為：105；（2）根據(jù)題意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵該產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)為70元/件，且該電商在直播中承諾自家商品價(jià)格永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)99元/件，∴日銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（3）根據(jù)題意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，整理得：x2﹣190x+9000＝0，解得：x1＝90，x2＝100（不符合題意，舍去）．答：該產(chǎn)品的售價(jià)每件應(yīng)定為90元．23．（2023春?長(zhǎng)沙期中）春節(jié)是中國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日，每年元旦節(jié)后是購(gòu)物的高峰期，2023年元月某水果商從農(nóng)戶手中購(gòu)進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進(jìn)貨價(jià)為28元/件，銷售價(jià)為42元/件，其中B種紅富士蘋果進(jìn)貨價(jià)為22元/件，銷售價(jià)為34元/件．（注：利潤(rùn)＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）（1）水果店第一次用720元購(gòu)進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購(gòu)進(jìn)的紅富士蘋果售完后，該水果店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種紅富士蘋果共80件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總費(fèi)用不高于2000元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是多少？（3）春節(jié)臨近結(jié)束時(shí)，水果店發(fā)現(xiàn)B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對(duì)B種紅富士蘋果調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫(kù)存，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤(rùn)為90元？【答案】（1）A中蘋果購(gòu)進(jìn)10件，B中蘋果購(gòu)進(jìn)20件．（2）購(gòu)進(jìn)A種蘋果40件，B中蘋果40件時(shí)，獲得最大銷售利潤(rùn)為1040元．（3）將銷售價(jià)定為每件27元時(shí)，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤(rùn)為90元．【解答】解：（1）設(shè)A，B兩種蘋果分別購(gòu)進(jìn)x件和y件，由題意得：，解得，答：A中蘋果購(gòu)進(jìn)10件，B中蘋果購(gòu)進(jìn)20件．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種蘋果m件，則購(gòu)進(jìn)B種蘋果（80﹣m）件，由題意得：28m+22（80﹣m）≤2000，∴m≤40，設(shè)利潤(rùn)為w元，則w＝（42﹣28）m+（34﹣22）（80﹣m）＝2m+960，∵2＞0，∴w隨m的增大額增大，∴當(dāng)m＝40時(shí)，w最大值＝2×40+960＝1040．故購(gòu)進(jìn)A種蘋果40件，B中蘋果40件時(shí)，獲得最大銷售利潤(rùn)為1040元．（3）設(shè)B種蘋果降價(jià)a元銷售，則每天多銷售2a件，每天利潤(rùn)為（12﹣a），由題意得：（4+2a）（12﹣a）＝90，解得，a＝3或a＝7，∵為了盡快減少庫(kù)存，∴a＝7，34﹣7＝27，答：將銷售價(jià)定為每件27元時(shí)，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤(rùn)為90元．24．（2023春?余姚市校級(jí)期中）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開(kāi)售，就深受大家的喜歡．某商店銷售亞運(yùn)會(huì)吉祥物，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件獲利125元時(shí)，每天可出售50件，為了擴(kuò)大銷售量增加利潤(rùn)，該商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件吉祥物降價(jià)5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降價(jià)20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降價(jià)多少元時(shí)，能盡量讓利于顧客并且讓商家平均每天盈利5980元？【答案】（1）商家平均每天能盈利5670元；（2）每件吉祥物降價(jià)10元時(shí)，能盡量讓利于顧客并且讓商家平均每天盈利5980元．【解答】解：（1）（125﹣20）×（50+）＝105×54＝5670（元）．答：商家平均每天能盈利5670元．（2）設(shè)每件吉祥物降價(jià)x元，則每件的銷售利潤(rùn)為（125﹣x）元，每天的銷售量為（50+）件，依題意得：（125﹣x）（50+）＝5980，整理得：x2+125x﹣1350＝0，解得：x1＝﹣135（不合題意，舍去），x2＝10．答：每件吉祥物降價(jià)10元時(shí)，能盡量讓利于顧客并且讓商家平均每天盈利5980元．25．（2023春?北侖區(qū)期中）某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；（2）從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元？【答案】（1）二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為25%；（2）當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利4250元．【解答】解：（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝，x2＝﹣（不合題意舍去）．答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為25%；（2）設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合題意舍去）．答：當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利4250元．【題型7一元二次方程應(yīng)用-幾何面積問(wèn)題】26．（2023春?溫州期中）如圖，在長(zhǎng)為32米，寬為20米的長(zhǎng)方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設(shè)小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是（）A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100 C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100【答案】B【解答】解：設(shè)道路的寬x米，則32x+20x＝100+x2．32x+20x﹣x2＝100．故選：B．27．（2023?兩江新區(qū)一模）如圖，某小區(qū)居民休閑娛樂(lè)中心是一塊長(zhǎng)方形（長(zhǎng)60米，寬40米）場(chǎng)地，被3條寬度相等的綠化帶分為總面積為1750平方米的活動(dòng)場(chǎng)所，如果設(shè)綠化帶的寬度為x米，由題意可列方程為（）A．（60﹣x）（40﹣x）＝1750 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1750 C．（60﹣2x）（40﹣x）＝2400 D．（60﹣x）（40﹣2x）＝1750【答案】B【解答】解：∵長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為60米，寬為40米，且綠化帶的寬度為x米，∴被分成六塊的活動(dòng)場(chǎng)所可合成長(zhǎng)為（60﹣2x）米，寬為（40﹣x）米的長(zhǎng)方形．根據(jù)題意得：（60﹣2x）（40﹣x）＝1750．故選：B．28．（2023春?渦陽(yáng)縣期中）如圖，長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)為10cm，寬為8cm，現(xiàn)在它的四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)為xcm的正方形，做成底面積為24cm2的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，則x的值為（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或6【答案】A【解答】解：∵長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)為10cm，寬為8cm，且在它的四個(gè)角上剪去邊長(zhǎng)為xcm的正方形，∴做成無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的底面是長(zhǎng)為（10﹣2x）cm，寬為（8﹣2x）cm的長(zhǎng)方形．根據(jù)題意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，整理得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7（不符合題意，舍去），∴x的值為2．故選：A．29．（2023春?永嘉縣校級(jí)期中）如圖，在高3m，寬4m的長(zhǎng)方形墻面上有一塊長(zhǎng)方形裝飾板（圖中陰影部分），裝飾板的上面和左右兩邊都留有寬度為x（m）的空白墻面．若長(zhǎng)方形裝飾板的面積為4m2，則以下方程正確的是（）?A．（3﹣x）（4﹣x）＝4 B．（3﹣x）（4﹣2x）＝4 C．（3﹣2x）（4﹣x）＝4 D．（3﹣2x）（4﹣2x）＝4【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得（4﹣2x）（3﹣x）＝4，故選：B．30．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，把一塊長(zhǎng)AB為40cm的長(zhǎng)方形硬紙板的四角剪去四個(gè)邊長(zhǎng)為5cm的小正方形，然后把紙板沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒．若紙盒的體積是1500cm3，則長(zhǎng)方形硬紙板的寬為多少？【答案】長(zhǎng)方形硬紙板的寬為20cm．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方形硬紙板的寬為xcm，根據(jù)題意，得（40﹣10）×（x﹣10）×5＝1500，解得：x＝20；答：長(zhǎng)方形硬紙板的寬為20cm．31．（2023?大連一模）如圖，物業(yè)公司計(jì)劃整理出一塊矩形綠地，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形綠地一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長(zhǎng)度為18m，若矩形綠地的面積為36m2，求矩形垂直于墻的一邊，即AB的長(zhǎng)．【答案】6m．【解答】解：設(shè)矩形垂直于墻的一邊AB的長(zhǎng)為xm．由題意得，x（18﹣2x）＝36，整理得，x2﹣9x+18＝0，解得，x1＝3，x2＝6，當(dāng)x＝3時(shí)，18﹣2x＝18﹣2×3＝12＞10，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝6時(shí)，18﹣2x＝18﹣2×6＝6＜10，符合題意．答：矩形垂直于墻的一邊AB的長(zhǎng)為6m．32．（2023春?蒼南縣期中）園林部門計(jì)劃在某公園建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長(zhǎng)120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內(nèi)部設(shè)計(jì)了一個(gè)正方形的網(wǎng)紅打卡點(diǎn)和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點(diǎn)邊長(zhǎng)的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為1728平方米．?（1）求長(zhǎng)方形ABCD花圃的長(zhǎng)和寬；（2）求出網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的面積．【答案】（1）長(zhǎng)方形ABCD花圃的長(zhǎng)為60米，寬為30米；（2）16平方米．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，∴BC＝2AB＝2x米，根據(jù)題意，得2x+x+x＝120，解得x＝30，∴AB＝30米，BC＝60米，答：長(zhǎng)方形ABCD花圃的長(zhǎng)為60米，寬為30米；（2）設(shè)網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的邊長(zhǎng)為m米，根據(jù)題意，得（60﹣m）+m2＝60×30﹣1728，解得m1＝4，m2＝﹣24（舍去），∴網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的面積為4×4＝16（平方米），答：網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的面積為16平方米．33．（2023?政和縣模擬）為培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動(dòng)價(jià)值觀和良好的勞動(dòng)品質(zhì)．某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長(zhǎng)度為15米）另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開(kāi)分成面積相等的兩個(gè)區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長(zhǎng)28米，設(shè)矩形ABCD的一邊CD長(zhǎng)為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長(zhǎng)為（30﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）矩形ABCD的面積能否為80m2，若能，請(qǐng)求出AB的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（30﹣3x）；（2）矩形ABCD的面積不能為80m2，理由見(jiàn)詳解．【解答】解：（1）∵修建所用木欄總長(zhǎng)28米，且兩處各留1米寬的門（門不用木欄），∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，故答案為：（30﹣3x）；（2）不能，理由如下：由題意得：x（30﹣3x）＝80，整理得：3x2﹣30x+80＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝900﹣4×3×80＝﹣60＜0，∴原方程無(wú)解，∴矩形ABCD的面積不能為80m2．34．（2022秋?從化區(qū)期末）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形動(dòng)物場(chǎng)，場(chǎng)地的一邊靠墻（墻AB長(zhǎng)度不限），另外三邊用木欄圍成，木欄總長(zhǎng)20米，設(shè)動(dòng)物場(chǎng)CD邊的長(zhǎng)為xm，矩形面積為ym2．（1）矩形面積y＝﹣2x2+20x（用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)矩形動(dòng)物場(chǎng)面積為48m2時(shí)，求CD邊的長(zhǎng)．（3）能否圍成面積為60m2矩形動(dòng)物場(chǎng)？說(shuō)明理由．【答案】（1）﹣2x2+20x；（2）4m或6m；（3）不能，理由見(jiàn)解析．【解答】解：（1）根據(jù)題意，y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，故答案為：﹣2x2+20x；（2）根據(jù)題意，得﹣2x2+20x＝48，解得x1＝4，x2＝6，∵墻AB長(zhǎng)度不限，∴CD邊的長(zhǎng)為4m或6m；（3）不能，理由如下：根據(jù)題意，得﹣2x2+20x＝60，整理，得x2﹣10x+30＝0，∵Δ＝100﹣4×1×30＝﹣20＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴不能圍成面積為60m2矩形動(dòng)物場(chǎng)．【題型8一元二次方程應(yīng)用-幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題】35．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若△PBQ的面積等于4cm2，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【解答】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，P