專題1.11 三角形的證明章末十二大題型總結（拔尖篇）（北師大版）（原卷版）

專題1.11三角形的證明章末十二大題型總結（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 1【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運用】 3【題型3翻折變換】 4【題型4兩圓一線畫等腰】 6【題型5等邊三角形手拉手問題】 7【題型6分身等腰】 8【題型7一線分二腰】 10【題型8角平分線的綜合應用】 12【題型9垂直平分線的綜合應用】 13【題型10直角三角形斜邊中線的綜合應用】 15【題型11由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 17【題型12由勾股定理構造圖形解決實際問題】 19【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級校考階段練習）如圖，射線AM⊥AN于點A、點C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點，且DE⊥BC于點E．（1）若BC=10，直接寫出AC（2）若AC=8，△ABC的周長為24，求△ABC的面積；（3）若AB=6，C點在射線AM上移動，問此過程中，BE【變式1-1】（2023·福建·模擬預測）如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2-M【變式1-2】（2023春·全國·八年級專題練習）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，若AB=3，CD=2，則AD2【變式1-3】（2023春·福建莆田·八年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，已知點A4,4，B

(1)如圖1，判斷△AOB的形狀并說明理由；(2)如圖2，M，N分別是y軸負半軸和x軸正半軸上的點，且AM⊥AN，探究線段OM，ON，OA之間的數(shù)量關系并證明；(3)如圖3，延長BA交y軸于點C，M，N分別是x軸負半軸和y軸負半軸上的點，連接AN交x軸于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運用】【例2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時，正方形EFGH的面積的所有可能值是(不包括52)．【變式2-1】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m2+16n2,9m2+4n2【變式2-2】（2023春·湖北武漢·八年級?？计谥校┰?0×10網(wǎng)格中，點A和直線l的位置如圖所示：

（1）將點A向右平移6個單位，再向上平移2個單位長度得到點B，在網(wǎng)格中標出點B；（2）在（1）的條件下，在直線l上確定一點P，使PA＋PB的值最小，保留畫圖痕跡，并直接寫出PA＋PB的最小值：______；（3）結合（2）的畫圖過程并思考，直接寫出x2+32【變式2-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是由邊長為1的小正方形構成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為．（2）在AB上找點F，使E，C兩點關于直線DF對稱；（3）設DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．【題型3翻折變換】【例3】（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，點D是AB邊上一點，將△ACD沿CD翻折后得到△ECD．

(1)如圖1，當點E落在BC上時，求∠BDE的度數(shù)；(2)當點E落在BC下方時，設DE與BC相交于點F．①如圖2，若DE⊥BC，試說明：CE∥②如圖3，連接BE，EG平分∠BED交CD的延長線于點G，交BC于點H．若BE∥CG，試判斷【變式3-1】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）在銳角△ABC中，AB=AC，將△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直線AB與直線B'C相交于點E，若△AE【變式3-2】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D為AC的中點，E為邊AB上一動點，連接DE，將△ADE沿DE翻折，點A落在AC上方點F處，連接EF，CF．(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；(2)若△DEF與以點C，D，F(xiàn)為頂點的三角形全等，求出∠ADE的度數(shù)：(3)翻折后，當△DEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出∠ADE的度數(shù)．【變式3-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知D是等邊三角形ABC中AB邊上一點，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接EA并延長交直線CD于點F．(1)如圖1，若∠BCD=40°，直接寫出∠CFE的度數(shù)；(2)如圖1，若CF=10，AF=4，求(3)如圖2，連接BF，當點D在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關系，并證明．【題型4兩圓一線畫等腰】【例4】（2023春·廣西欽州·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-1】（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線l1、l2相交于點A，點B是直線外一點，在直線l1、l2上找一點C，使△ABC為一個等腰三角形．滿足條件的點C有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【變式4-2】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A、B兩點都在小方格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C，使△ABC是等腰三角形，這樣的格點C有個?！咀兪?-3】（2023春·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連結PC，那點P在直線m上運動時，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【題型5等邊三角形手拉手問題】【例5】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┮讶鐖D，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BE，AD交于點O，AC與BE交于點P求證：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度數(shù)【變式5-1】（2023春·山東濟寧·八年級濟寧市第十五中學校考階段練習）閱讀與理解：圖1是邊長分別為a和ba>b的兩個等邊三角形紙片ABC和C'DE疊放在一起（C與操作與證明：(1)操作：固定△ABC，將△C'DE繞點C按順時針方向旋轉25°，連接AD，BE，如圖2；在圖2(2)操作：若將圖1中的△C'DE，繞點C按順時針方向任意旋轉一個角度α0°≤α≤360°，連接AD，BE，如圖3；在圖猜想與發(fā)現(xiàn)：(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當α為多少度時，線段AD的長度最大是多少？當α為多少度時，線段AD長度最小是多少？【變式5-2】（2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等邊三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是

【變式5-3】（2023·山東·八年級專題練習）已知，△ABC為等邊三角形，點D在邊BC上．【基本圖形】如圖1，以AD為一邊作等邊三角形△ADE，連結CE．可得CE+CD=AC（不需證明）．【遷移運用】如圖2，點F是AC邊上一點，以DF為一邊作等邊三角△DEF．求證：CE+CD=CF．【類比探究】如圖3，點F是AC邊的延長線上一點，以DF為一邊作等邊三角△DEF．試探究線段CE，CD，CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關系，請寫出你的結論并說明理由．【題型6分身等腰】【例6】（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在第1個△A1BC，∠B=20°同A1B=CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2個△A1A2D；在邊

A．12n80° B．12n-1?80°【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，AOB是一鋼架，設∠AOB=α，為了使鋼架更加堅固，需在其內部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，若最多能添加這樣的鋼管5根，則α的取值范圍是．【變式6-2】（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一鋼架BAC中，∠A=x°，焊上等長的鋼條P1P2,P2結論Ⅰ：若∠P3P結論Ⅱ：若這樣的鋼條在鋼架上至多能焊上6根，那么x的取值范圍是90

A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ對 D．Ⅰ對Ⅱ不對【變式6-3】（2023春·湖南岳陽·八年級?？计谥校┤鐖D，，點在射線上，點在射線上，，均為等邊三角形．若，則的邊長為（

）

A． B． C． D．【題型7一線分二腰】【例7】（2023·全國·八年級專題練習）已知ΔABC是等腰三角形，過ΔABC的一個頂點的一條直線，把【變式7-1】（2023春·福建廈門·八年級廈門雙十中學思明分校校考期中）如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么則稱這個三角形為“雙腰三角形”．現(xiàn)有如下4個結論：①若一個三角形的兩個內角分別是36°、72°，則這個三角形是“雙腰三角形”②若一個三角形是直角三角形，則這個三角形是“雙腰三角形”③若一個三角形的一個內角是另一個內角的2倍，則這個三角形一定是“雙腰三角形”④若一個三角形的一個內角是另一個內角的3倍，則這個三角形一定是“雙腰三角形”其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-2】（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）【學習概念】：規(guī)定①：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．【理解概念】：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，請根據(jù)規(guī)定①，寫出圖中所有的“等角三角形”

（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，請根據(jù)規(guī)定②，求證：CD為△

【應用概念】：（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割線，∠ACB=_________．【變式7-3】（2023春·全國·八年級專題練習）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像這樣的三角形叫做黃金三角形．(1)請你設計三種不同的分法，將黃金三角形ABC分割成三個等腰三角形，使得分割成的三角形中含有兩個黃金三角形（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標出能夠說明不同分法所得三角形的內角度數(shù)，不要求寫畫法，不要求證明．分別畫在圖1，圖2，圖3中）注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認為是兩種不同的分法．(2)如圖4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點E，連接EF并延長交BC的延長線于M．試判斷CM與AB之間的數(shù)量關系？只需說明結果，不用證明．答：CM與AB之間的數(shù)量關系是．【題型8角平分線的綜合應用】【例8】（2023春·福建廈門·八年級福建省廈門第二中學校考期中）已知：在ΔABC和ΔDEC中，AC=BC，DC=EC，(1)如圖1，A，C，D在同一直線上，延長AE交BD于F，求證：AF⊥BD；(2)如圖2，AE與BD交于F，G在AD上，若FG平分∠AFD，求證：點C在直線FG上．【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）已知：∠AOB=60°，小新在學習了角平分錢的知識后，做了一個夾角為120°（即∠DPE=120°）的角尺來作∠AOB的角平分線．(1)如圖1，他先在邊OA和OB上分別取OD=OE，再移動角尺使PD=PE，然后他就說射線OP是∠AOB的角平分線．試根據(jù)小新的做法證明射線OP是∠AOB的角平分線；(2)如圖2，將角尺繞點P旋轉了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出現(xiàn)了PD=PE，此時OP是∠AOB的角平分線嗎？如果是，請說明理由．(3)如圖3，在（2）的基礎上，若角尺旋轉后恰好使得DP∥OB，請判斷線段OD與【變式8-2】（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ形膱@中學?？茧A段練習）已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC(1)如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC=(2)如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與(3)如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN=60°，連接BD，作∠ABD的平分線BP交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG【變式8-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF相交于點G，∠BAC=60°（1）求∠BGC的度數(shù)；（2）如圖2，連接AG，求證：AG平分∠BAC；（3）如圖3，在⑵的條件下，在AC上取點H，使得∠AGH=∠BGC，且AH=8，BC=10，求ΔABC【題型9垂直平分線的綜合應用】【例9】（2023春·福建莆田·八年級校考開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點D，AD交CB于點P，CF交AB的延長線于點F，過點D作DE⊥CF交CB的延長線于點G，交AB的延長線于點E，連接CE并延長交FG于點H，則下列結論：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正確的有

【變式9-1】（2023春·四川成都·八年級四川省成都市第七中學初中學校?？奸_學考試）如圖：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射線AD、AE的夾角為55°，過點B作BF⊥AD于點F，直線BF交AE于點G，連接CG．

(1)如圖1，若射線AD、AE都在∠BAC的內部，且點B與點B'關于AD對稱，求證：CG=(2)如圖2，若射線AD在∠BAC的內部，射線AE在∠BAC的外部，其他條件不變，求證：CG+2GF=BG；(3)如圖3，若射線AD、AE都在∠BAC的外部，其他條件不變，若CG=145GF，AF=3，S【變式9-2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，D為AB中點，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于點F，AC=6，BC=9，則BF的長為．

【變式9-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習）在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若點D為∠BAC的平分線上一點．（1）當點D在△ABC的外部時，如圖1，過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延長線于F，且BE＝CF．①求證：點D在BC的垂直平分線上；②BE＝．（2）當點D在線段BC上時，如圖2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點E，交AD與點F，過點F作FG⊥BE，交BC于點G，則①∠DFG＝；②若BC＝8，EC＝83，則GC＝（3）如圖3，過點A的直線l∥BC，若∠C＝90°，BC＝8，點D到△ABC三邊所在直線的距離相等，則點D到直線l的距離是．【題型10直角三角形斜邊中線的綜合應用】【例10】（2023春·安徽阜陽·八年級?？计谥校┚C合與實踐已知△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，其中∠BAC=∠BDE=90°，連接CE，P是EC的中點，連接PA，【初步感知】(1)如圖1，當B，D，C三點在同一直線上時，PA和PD的數(shù)量關系為【深入探究】(2)如圖2，當B，D，【拓展提高】(3)如圖3，若等腰直角△ABC繞點B逆時針旋轉，當EC恰好與BD平行時，（1）中得到的結論還成立嗎？請加以證明．【變式10-1】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點E，BD⊥AC于點D；點F是AB的中點，連接DF，EF，設∠DFE=α，則∠C的度數(shù)可表示為（

）A．α B．2α C．90°-α D．90°-【變式10-2】（2023春·福建泉州·八年級期末）如圖，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，AM的延長線交BC于點N，連接DM，下列結論：①DF=DN；②DM=MN；③NF垂直平分AB；④AE=NC，其中正確結論有【變式10-3】（2023春·安徽阜陽·八年級校聯(lián)考期中）定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，當∠BAC+∠DAE=180°時，我們稱△ABC與△ADE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．(1)特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補三角形”，AM，AN是“頂心距”．①如圖2，當∠BAC=90°時，AM與DE之間的數(shù)量關系為AM=DE；②如圖3，當∠BAC=120°，BC=6時，AN的長為．(2)猜想論證：在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關系，并給予證明．(3)拓展應用：如圖4，在四邊形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四邊形ABCD的內部是否存在點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”？若存在，請給予證明，并求△PBC的“頂心距”的長；若不存在，請說明理由．【題型11由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】【例11】（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 D．【變式11-1】（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學?？计谥校┤鐖D，一個圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓的周長為(1)點A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側中點B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是cm；(2)將左圖改為一個無蓋的圓柱形食品盒，點C距離下底面3cm，此時螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內表面對側中點B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是cm【變式11-2】（2023春·全國·八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內壁面正方形ABCD上爬行，最終到達內壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是cm【變式11-3】（2023春·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）初中幾何的學習始于空間的“實物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運用”，形成了空間幾何問題要轉化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個圓柱體，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點B，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；