四川省綿陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析

一、選擇題(本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.)

1.直線*+1=°的傾斜角為()

A.0°B.45°C.90°D.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線的特征結(jié)合傾斜角的定義分析求解.

【詳解】因?yàn)橹本€x+l=0與x軸垂直，所以直線x+l=0的傾斜角為90°.

故選：C.

2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(1,2,3)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)昆則點(diǎn)6的坐標(biāo)是()

A.(1,-2,3)B.(1,2,-3)

C.(—1,2,—3)D,(-1,-2,—3)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱即可求解.

【詳解】點(diǎn)4(1,2,3)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8(1,2,—3),

故選：B

3.直線/:2x—3y+6=0在x軸上的截距是()

A.(—3,0)B.(3,0)

C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)截距的定義分析求解.

【詳解】令y=0,則2x+6=0,解得％=—3,

所以直線/：2x—3y+6=0在x軸上的截距是—3.

故選：C.

4.已知5(0,3,0),C(2,2,2),則向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是()

1

fiin

（663）

【答案】D

【解析】

【分析】先求AB,AC,再由投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，模的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解.

【詳解】因?yàn)锳（1,1,O）,5（0,3,0）,C（2,2,2）,

所以AB=(-1,2,0),AC=(1,1,2),

所以IAB|=^(-l)2+22+02=75,|AC|=Vl2+l2+22-46,

AB-AC=(-l)xl+2xl+0x2=l,

ABACAC_1AC_j_

所以向量AB在AC上的投影向量是AB-

|AB|-|AC||AC|-V6A/6-6-

所以向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是

故選：D.

表示直線y=依與y=x—a正確的是

【解析】

【分析】討論。>0和a<0,a=0三種情況，判斷得到答案.

【詳解】直線y="經(jīng)過(guò)原點(diǎn).直線y=x—。的斜率為1,在y軸上的截距為一明

當(dāng)a>0,則-a<0,只有A符合.

當(dāng)a<0,則—a>0,沒(méi)有選項(xiàng)滿足

當(dāng)a=0,則—a=0,沒(méi)有選項(xiàng)滿足.

故答案選A.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像問(wèn)題，討論法是一個(gè)常規(guī)方法，需要熟練掌握.

6.如圖A3C與△3CD所在平面垂直，且AB=BC=BD,ZABC=ZDBC=120°，則平面力初與

平面儂的夾角的余弦值為()

B.

3

D.—

5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角的定義，作出平面/初與平面物所成角的平面角，解三角形求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，即

可求得答案.

【詳解】由題意知平面ABCc平面CBD=CB,ZABC=120

作AO交)的延長(zhǎng)線于。，作。石，5。于￡,連接AE,

ABC與△3CD所在平面垂直，且平面ABCc平面CBD=CB,

AOu平面ABC,AO1BC,故49,平面CB￡),

BROEu平面C3￡),故40,3。，AOLOE-,

AOOE=O,AO,OEu平面A￡O,故5。1平面AEO,

AEu平面AEO,故5DLAF，

3

而AEu平面OEu平面CB￡>,則NAEO即為平面/初與平面儂的夾角,

設(shè)AB=BC=BD=2,而ZA8C=N￡>BC=120°，

故AO=A3sin60=6，BO=ABcos60=1，OE=OBsin60=正，

2

在Rt^AQE中，AE=y/AO2+OE2=^3+|=

所以cosZAEO=,

AE7155

F

故選：D

7.設(shè)直線/的方程為xsina+y+2=0,則直線/的傾斜角。的取值范圍是（)

7C71）（713711兀3兀

142）（24」（24

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線斜率范圍求傾斜角e的取值范圍.

【詳解】由lsinc+y+2=0得直線/的斜率為左=sinc,

因?yàn)閟incr￡,故左=tane￡(-l,l],

因?yàn)?^e[0,71),

TT37r)

所以直線/的傾斜角。的取值范圍o,-o

_4_

故選：A

8.己知正方體ABC。-A4G2的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)戶為線段瓦。上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)戶到直線AG的距離的最小

值為（）

4

R2屈

D.------

A-T3

UP.-娓---

6。?手

【答案】A

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出一個(gè)與AC],4c都垂直的向量的坐標(biāo)，根據(jù)空間距

離的向量求法即可求得答案.

【詳解】以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ARAB,"為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),C(2,2,0),4(0,2,2),Q(2,2,2),

故AQ=(2,2,2),5^=(2,0,-2),

設(shè)4尸=AB1C=(22,0,-22),2e[0,1],

則GP=￡4+瓦。=(22-2,0,-22)；

設(shè)m=(x,y,z)為與AC”4c都垂直的向量,

m-AG=2x+2y+2z=0

則,令x=z=l,貝!J機(jī)二(1,一2,1),

m-B]C=2x-2z=0

因?yàn)橛深}意點(diǎn)戶到直線AG的距離的最小值可認(rèn)為是異面直線AG和耳0的之間的長(zhǎng)度,

故點(diǎn)戶到直線AG距離的最小值為d=|m'C1P|=2=旦,

\m\V63

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題(每小題5分，共4小題，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)

5

9.已知平面。={p|"-PoP=。},其中點(diǎn)。o(l，2,3),法向量“=(1,1,1),則下列各點(diǎn)在平面a內(nèi)的是

()

A.(3,2,1)B.(-2,5,4)

C.(-3,4,5)D.(2,4,8)

【答案】AC

【解析】

【分析】設(shè)P(私〃/),根據(jù)題意，列出方程，得到加+〃+/=6,逐個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，可得答案.

【詳解】設(shè)P(私"/),可得00°=0-1,"-21-3),由〃?°oP=O,得到

m—l+n—2+t—3=Q,整理得，m+n+t=6,分別代入各個(gè)選項(xiàng)，可得A與C選項(xiàng)符合題意.

故選：AC

10.已知直線4：mx+y+m-l=O,l2：4x+my+3m-4=0,下列命題中正確的是()

A.若/]_1_，則7八=0

B.當(dāng)"2=0時(shí)，〃=(1,0)是直線的一個(gè)方向向量

C.若4〃4，則m=2或m=-2

D.若直線4在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)加=4

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出0的值判斷A；根據(jù)方向向量的含義可判斷B；根據(jù)直線的平行求出0判斷

C；根據(jù)直線的一般式求出在坐標(biāo)軸上的截距，列式求得如判斷D.

【詳解】對(duì)于A,±Z2,則mx4+lx/n=0,，/w=0,A正確；

對(duì)于B,當(dāng)m=0時(shí)，直線乙：y-l=0,

故〃=(1,0)是直線4的一個(gè)方向向量，B正確；

對(duì)于C,當(dāng)機(jī)=0時(shí)，4：y-1=0,/2：x-l=0,LU不平行；

4

故加w0,則4〃4，可得=施，即-m----,

m

則m=2或m=-2,

6

當(dāng)根=2時(shí)，4：2x+y+1=0,Z2：4x+2y+2=。，兩直線重合,

當(dāng)機(jī)=—2時(shí)，4：2x—y+3=0,Z2：2%—y—5=0,即/]〃，2，符合題意,

故則機(jī)=一2,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,直線4在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可知加。0，

4—3m

對(duì)于4x+7孫+3"2—4=0,令x=0,則丁=------,

m

.八4-3m.,4—3m4-3m

令y=o,則％=------,則-------=-------,

44m

4

解得加=4或機(jī)=§,D錯(cuò)誤，

故選：AB

11.已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為2,M,“分別為棱A。，5c的中點(diǎn)，戶為棱AB上異于48的

動(dòng)點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

A.若點(diǎn)G為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則無(wú)論點(diǎn)戶與G如何運(yùn)動(dòng)，直線FG與直線CD都是異面直線

B.線段的長(zhǎng)度為夜

兀

C.異面直線和CD所成的角為一

4

D.加+敬的最小值為2

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)于A,取A3的中點(diǎn)為凡CD的中點(diǎn)為￡,說(shuō)明四邊形EVEM為平行四邊形，直線尸G與直

線切相交于￡,即可判斷；對(duì)于B,解三角形求得線段MN的長(zhǎng)度即可判斷；對(duì)于C,取6。的中點(diǎn)為〃,

找到即為異面直線和CD所成的角或其補(bǔ)角，求得其大小，即可判斷；對(duì)于D,將面ABD,

面A8C展開為一個(gè)平面，即可求得引0+EV的最小值，進(jìn)行判斷，由此可得答案.

【詳解】對(duì)于A,取AB的中點(diǎn)為廣，CD的中點(diǎn)為￡,連接月0,ME,EN,NF,

7

則EM〃肛NE//BD,NE=-BD,

22

所以FM//NE,FM=NE,故四邊形FNEM為平行四邊形，

設(shè)MN與EF交于點(diǎn)G,故此時(shí)直線FG與直線CD相交于E,

因此此時(shí)直線FG與直線CD不是異面直線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,連接AN,DN,四面體ABC。的所有棱長(zhǎng)均為2,

故AN=DN=g，因?yàn)椤锳。中點(diǎn)，WMNLAD,

所以MN=刊3-1=，故B正確；

對(duì)于C,取5。的中點(diǎn)為〃，連接HN,HM，因?yàn)楹?分別為棱AO,的中點(diǎn),

板MH=LAB=1,HN=LcD=l,NHIICD,

22

則"VM即為異面直線MN和CD所成的角或其補(bǔ)角，

因?yàn)镸H'NH?=2=MN?，故為等腰直角三角形，

71

則NfflW=—,故C正確；

4

對(duì)于D,將平面平面ABC展開為一個(gè)平面，如圖示：

當(dāng)M,F,"三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)M+FN最小,因?yàn)椤?，“分別為棱A。，3C的中點(diǎn)，

所以此時(shí)四邊形AAWC為平行四邊形，故肱V=AC=2,

即月0+RV的最小值為2,故D正確，

故選：BCD

12.如圖，正方體ABC。—A4GR的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)。為底面A3C。的中心，點(diǎn)尸為側(cè)面53cle內(nèi)(不

含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，則()

8

B.存在一點(diǎn)P,使得DQ//BF

4

C.三棱錐A-RAP的體積為1

D.若D0LPO,則GAP面積的最小值為苧

【答案】ACD

【解析】

【分析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為x、>、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)

P（x,2,z）,利用空間向量數(shù)量積可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用錐體體

積公式可判斷c選項(xiàng)；求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得AC2P面積的最

小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、。。所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角

則4（2,0,0）、C（0,2,0）、D（0,0,0）,0（0,0,2）、4（2,2,2）、0（0,2,2）、0（1,1,0）,

設(shè)點(diǎn)尸（羽2,z）,其中0（尤<2,0<z<2.

對(duì)于A選項(xiàng)，AC=（-2,2,0）,OQ=（l,L—2）,貝ijAC-￡>Q=—2+2=0,

9

所以，D.O±AC,A對(duì);

r-20Z-2

對(duì)于B選項(xiàng)，4P=(九一2,0,z-2),若B\PHD0,則——=-=——，解得無(wú)=z=2,不合乎題意,

11—2

所以，不存在點(diǎn)P,使得用P//D。，B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，SAADDi=5X22=2,點(diǎn)P到平面ADD,的距離為2,

14

所以，匕-⑷p=§x2x2=§,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，=—l,l,z),

若貝UOO.OP=x—l+l—2z=x—2z=0,可得x=2z,

因?yàn)镚Q1平面BB?C,QPu平面331cle，:.CR1CXP,

14J5

■.SACIDIP=-C1DIC1P=CIP>^,D^.

故選：ACD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.)

13.一條光線從點(diǎn)尸(6,0)射出，經(jīng)直線y軸反射后過(guò)點(diǎn)。(2,8),則反射光線所在的直線方程為

【答案】x-y+6=0

【解析】

【分析】P(6,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(—6,0),反射光線所在的直線即為經(jīng)過(guò)P',Q的直線，求P'Q的

直線方程即可.

10

【詳解】P(6,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(—6,0),

根據(jù)光線反射的性質(zhì)知，反射光線所在的直線即為經(jīng)過(guò)P',Q的直線，

由兩點(diǎn)式得直線的方程為：匕9=土，即%—丁+6=0.

8-02+6

故答案為：x-y+6=0

14.直線4：3ax—y—2=0和直線小尸2=a(x—1)分別過(guò)定點(diǎn)力和6,則|AB|=.

【答案】V17

【解析】

(分析】通過(guò)直線丸：3奴-y-2=0和直線6:y-2=a(x-1)分別計(jì)算定點(diǎn)坐標(biāo)A和B,從而計(jì)算\AB\的

大小.

【詳解】直線4：3以-y-2=0經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—2),直線小丁-2=a(x-1)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為

。，2)，

從而計(jì)算|=^(O-l)2+(-2-2)2=V17.

故答案為：JT7.

15.二面角0-/-分的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段8。與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱

，，若AB=4,AC=6,3Q=8,CD=2a7,則平面a與平面夕的夾角為.

兀

【答案】60°##-

3

【解析】

【分析】先設(shè)平面a與平面B的夾角為0,因?yàn)锳C±AB,50工A5,所以CAAB=0,BDAB=0,

根據(jù)空間向量得cr>=CA+A8+BO,兩邊平方代入數(shù)值即可求出答案.

【詳解】設(shè)平面々與平面￡的夾角為氏因?yàn)锳CLAB,BD±AB,

所以G4AB=0,BDAB=0,

由題意得CD=CA+AB+BD,

所以

22222

|CD|=\CA+AB+BD|=|G4|+|AB|+|BD|+2cA.AB+2CA-BD+2AB-BD

11

曰可+網(wǎng)②+即韋四加

=36+16+64+2x6x8xcos（180°-，）=倒&

所以cos（180°=一:，即cos8=；,

所以。=60°,即平面a與平面B的夾角為60°.

故答案為：60?

16.若空間兩個(gè)單位向量。/=(加,0,撲)、OB=(0,p,〃)與0。二(1/,1)的夾角都等于。,則當(dāng)。取最

小值時(shí)，cosZAOB=.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】由題設(shè)，結(jié)合空間向量模長(zhǎng)、夾角的坐標(biāo)公式列方程組，結(jié)合不等式求解最值，再由cos(OA,OB>=n2

即可求結(jié)果.

/+"2=］

-2一2_1.

nTp—1m2+n2=1

lYlT1

【詳解】由題意可得<cos（OA,OC）=——=cos0,貝卜/+p2=1,

V3

m=p

cos〈O5,OC)==cos0

由m2+/=i=（相+〃）2=i+2m幾<i+2x（.：?）

故-叵Gm+RG叵，當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=］，或加=〃=時(shí)等號(hào)成立,

故cos6=q聲^，點(diǎn),由于。^［。，兀］,故當(dāng)cos6==宏時(shí),此時(shí)夕取最小值時(shí),

OAOB

故cos（OA,OB）==n2=—

HM2

故答案為：g

四.解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

12

17.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（—2,T）,3（2,O）,C（-1,1）.

（1）求直線AB的斜率和傾斜角；

（2）若可以構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)。在第一象限，求點(diǎn)O的坐標(biāo)及切所在直線方程;

（3）若￡（尤,y）是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求一一的取值范圍.

x2

7T

【答案】（1）1,-

4

（2）（3,5）,x-y+2=0

-1/

（3）--,1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直線的斜率公式以及傾斜角的定義即可求得答案；

（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)結(jié)合直線的斜率公式即可求得答案；

（3）根據(jù)二二的幾何意義結(jié)合斜率公式即可求得答案.

x—2

【小問(wèn)1詳解】

—4兀

由題意得直線A3的斜率為------=1,所以直線A3的傾斜角為一；

-2-24

【小問(wèn)2詳解】

點(diǎn)。在第一象限時(shí)，kAB=kCD,kAC=kBD.

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,5）；

13

故"所在直線方程為：?,即尤一y+2=0；

5—13—(—1)

【小問(wèn)3詳解】

由題意得上為直線BE的斜率，

x—2

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，直線班的斜率最小，kBC=-^—=--；

-1-23

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)/重合時(shí)，直線BE的斜率最大，心=1；

故直線班的斜率的取值范圍為一，

即上的取值范圍為一上1.

x—2_3_

18.已知空間三點(diǎn)A(—2,0,2)、5(—1」,2)、C(-3,0,4),設(shè)￡=4瓦b=AC-

(1)設(shè)卜|=3,C//BC-求C.

(2)若左。+人與左a—2?；ハ啻怪?，求h

【答案】(1)c=(—2,—1,2)或(2,1,—2)

(2)k=2或—.

2

【解析】

【分析】(1)利用向量共線定理，結(jié)合口=3即可得出；

(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系(左。+?[”24=0即可得出.

【小問(wèn)1詳解】

由于〃=AB=(1,1,0),b=AC=(—1,0,2),則3C=AC—AB=(―2,—1,2),

由于c//BC，設(shè)0=%(一2,—1,2),由卜|=3,則9=r(4+l+4),即有左=±1,

14

則c=(-2,-1,2)或(2,L-2).

【小問(wèn)2詳解】

ka+b^左”2b互相垂直，貝((應(yīng)+?)?(場(chǎng)一2可=。,

貝1J左2a2-2必一左。2=0，由(1)a=(1,1,0),1=(-1,0,2),即有2左？一2x5+2=0，

解得左=2或

2

19.已知的頂點(diǎn)8(—2,0),A3邊上的高所在的直線方程為無(wú)+3y-26=0.

(1)求直線A3的方程；

(2)在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.

①角A的平分線所在直線方程為x+y-2=0.

②邊上的中線所在的直線方程為y=3.

若,求直線AC的方程.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)3x-y+6=0

(2)x-3y+10=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線垂直，求得斜率，利用點(diǎn)斜式方程，可得答案；

(2)聯(lián)立直線方程，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，分別利用角平分線的對(duì)稱或中線的對(duì)稱，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳5邊上的高所在的直線方程為x+3y—26=0,

所以直線A3的斜率左=3,又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)5(—2,0),

所以直線A5的方程為：y=3(x+2),即3x—y+6=0；

【小問(wèn)2詳解】

若選①，角A的平分線所在直線方程為x+y—2=0,

由；/，解得〈°,所以點(diǎn)/坐標(biāo)為4(—1,3),

[y=3x+6[y=3v)

設(shè)點(diǎn)6關(guān)于x+y—2=0的對(duì)稱點(diǎn)為B\x0,%)，

15

=]

則卜。+2，解得[無(wú)。]

即即坐標(biāo)為（2,4）,

—+及-2=0E=4

I22

又點(diǎn)8,（4,2）在直線AC上，所以AC的斜率kAC=蕓=§,

所以直線AC的方程為y—4=g（x—2）,即%-3y+10=0.

若選②：邊上的中線所在的直線方程為y=3,

y=3x——1/、

解得jy—3，所以點(diǎn)A（—L3），

y=3x+6

設(shè)點(diǎn)C則的中點(diǎn)在直線y=3上，

所以與辿=3,即必=6,又點(diǎn)C（%,6）在直線％+3y—26=0上，所以C（8,6）,

Z"Q11

所以AC的斜率kAC=,所以直線AC的方程為y-6=-（x-8）,

8+133

即直線AC的方程為x-3y+10=0.

20.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，

那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°,我們將

這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義”空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°

坐標(biāo)：《分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位向量，若向量

n=xi+yj+zk,則〃與有序?qū)崝?shù)組（尤,y,z）相對(duì)應(yīng)，稱向量"的斜60°坐標(biāo)為[x,y,z],記作

n=[x,y,z].

(1)若5=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐標(biāo)；

(2)在平行六面體ABCD-ABCR中，AB=AD=2,9=3,ZBAD=ZBAA^=ZDAA^=60,N

為線段的中點(diǎn).如圖，以｛AB.AZXAA｝為基底建立“空間斜60。坐標(biāo)系”.

①求BN的斜60°坐標(biāo)；

16

②若AM=[2,-2,0],求AM與BN夾角余弦值.

【答案】(1)[0,3,5]

(2)①[-1,2,3]；②—巫

10

【解析】

【分析】對(duì)于小問(wèn)(1),因?yàn)樨?[1,2,3],b=[-1,1,2],可以通過(guò)“空間斜60°坐標(biāo)系”的定義，化簡(jiǎn)

為a=i+2/+3左，b=-i+j+2k,再計(jì)算a+b的斜60°坐標(biāo).

對(duì)于小問(wèn)(2),設(shè)j,左分別為與AB>AD>M同方向的單位向量，則AB=2i>AD=2j,AAl=3k,

①中，通過(guò)平行六面體ABCD-ABC,DX得到BN=BC+CQ+QN,從而得到BN的斜60°坐標(biāo)；

②中，因?yàn)?0=[2,-2,0],所以結(jié)合①中的BN的斜60°坐標(biāo)，并通過(guò)

BNAM

cos<BN,AM>=------------,計(jì)算AM與BN夾角的余弦值.

|BN|?|AM|

【小問(wèn)1詳解】

由b=[-1,1,2],

知〃=i+2/+3左，b=—i+j+2k,

所以a+b=(，+2/+3%)+(—,+)+2左)=3/+5%,所以a+b=[0,3,5]；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)i，j.k分別為與AB，AD>M同方向的單位向量，

則AB=2z，AD=2j,A4]=3k>

1

①BN=BC+CCl+ClN^AD+AAl--AB=2j+3k-i^-i+2j+3k,

BN=[-1,2,3].

②因?yàn)锳M=[2,—2,0],所以AM=2/—2/,

則|AM|=|2z-2j|=J(2i—=^4Z2+4J2-8Z-j=54+4-4=2，

,：\BN\=M+3k-i)2=屈，

.2.2--

--BN-AM=(-i+2j+3k)^2i-2j)=4i-j+6i'k-2i-4j—6k?j+2i?j=-3，

17

cos<BN,AM>=---------------=——=-------,

\BN\-\AM\V15X210

所以AM與BN的夾角的余弦值為-邊5

10

21.如圖，在四棱錐P—A3CD中，面ABC。，AD±CD,AD//BC,PA=AD=CD^2,

BC=3.￡為?！?的中點(diǎn)，點(diǎn)戶在棱PC上，且PC=3P產(chǎn)，點(diǎn)G在棱PB上，且生=2.

PB

(1)求證：CD上面PAD；

(2)當(dāng)彳=工時(shí)，求點(diǎn)G到平面A即的距離；

2

(3)是否存實(shí)數(shù)4,使得4E,F,G四點(diǎn)共面，若存在，求出；I的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵逅

3

2

(3)存在，2=-

3

【解析】

【分析】(1)由QALCD,4。，?！?得。。，面口4。；

14G,初

(2)求出面AEF的一個(gè)法向量為〃?，點(diǎn)G到平面力四的距離為-7-------；

\m\

(3)若4E,F,G四點(diǎn)共面，則〃?.AG=0，由此求得X.

【小問(wèn)1詳解】

由上4上面ABCD,CDu面ABCD,則"4,CD,

又ADLCD且上4cAz)=A,PA,A￡>u面上位>,

可得：。_1_面。4。.

【小問(wèn)2詳解】

18

以力為原點(diǎn)，面A3CD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸的正方向建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型,

易知：4(0,0,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),。(0,2,0),3(2,—1,0),

I](224

由M=可得：AF=AP+-PC=(0,0,2)+-(2,2,-2)=

由P^=gpD可得:E(0,l,l),則AE=(0,1,1),

m?AF=—x+—y+—z=0

設(shè)平面的法向量為：rn=(x,y,z),則＜333

m?AE=y+z=0

令y=1得x=l,z=-l,

?,?面AEb的一個(gè)法向量為m=(1』,T)，

111

因?yàn)?則G(l,—子1),AG=

???點(diǎn)G到平面AEF的距離為：MG?川="萬(wàn)一”=立,

Im\V36

即點(diǎn)G到平面4y的距離為逅.

【小問(wèn)3詳解】

存在這樣的；L

由PG=4PB可得：PG=2(2,-1,-2)=(22,-2,-22)，

則AG=AP+PG=(0,0,2)+(2/1,-2,-22)=(22,-2,2-22),

若4E,F,C四點(diǎn)共面，則AG在面AEF內(nèi)，

又面AM的一個(gè)法向量為m=(1/,T)，

19

2

存在這樣的X=—,使得四點(diǎn)共面.

3

22.如圖，圓臺(tái)QQ的軸截面為等腰梯形AACCI，AC=2A&=24￡=4,6為底面圓周上異于4C

的點(diǎn).

(1)若尸是線段8c的中點(diǎn)，求證：GP〃平面AAB；

(2)設(shè)平面AA3'平面GCB=/,Qe/,BQ與平面所成角為a,當(dāng)四棱錐3—AACG的體積最

大時(shí)，求sina的最大值.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)作出平面AA3和平面GCB的交線，確定四棱錐3-AACG的體積最大時(shí)6點(diǎn)位置，從而建立空

間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法求出8G與平面3c所成角的正弦值，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性

質(zhì)即可求得其最大值.

【小問(wèn)1詳解】

取AB中點(diǎn)〃，連接因戶為3c中點(diǎn)，

則有PH//ACP"二工AC,

2

20

在等腰梯形AACG中，AG=gAC,故有HP〃AG，"尸=4G，

則四邊形AGP”為平行四邊形，

即有GP//A]”，又A