2024屆河北省部分高中高考一模數(shù)學

數(shù)學試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.設集合A={—1,0,1,2,3},B={xeN|3-2x>0},則AB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{2,3}

2.已知復數(shù)z滿足z+z=2,z-z=-4i,則目=（）

A.1B.2C,V5D.2A/5

3.已知向量a=（2,nz）,Z>=（m+l,l）,且a與b方向相反，若c=（2,l）,則a在c方向上的投影向量的

坐標是（）

5.某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設社會主義

法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中

間，他的兩側(cè)均為兩男一女，則總的站排方法共有（）

A.300種B.432種C.600種D.864種

6.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.

“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、

踢皮球的活動.如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個點尸，A,

B,C,滿足PC=2,PC,平面ABC,AB±AC,若ZXABC的面積為2,則制作該“鞠”的外包皮

革面積的最小值為（）

A.一nB.87rC.127rD.16〃

3

7.若數(shù)列｛4｝滿足a”.=—^"，產(chǎn)0且4W—1）,貝：出。23+1與叫2+1的比值為（）

2an+3%023%022

A.-B.-C.2D.3

32

22

8.已知橢圓C：斗+二=1（?！等恕?）的左、右焦點分別為《，F(xiàn)一尸為C上一點，滿足

ab

PF｝LPF2,以C的短軸為直徑作圓O,截直線尸耳的弦長為后,則C的離心率為（）

A/5V32V3

A.-----B.-----C.-D.-----

3233

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位數(shù)是4

若數(shù)據(jù)須，”的標準差為則數(shù)據(jù)的標準差為

B.x2,x3,???,xs,2X],2X2,2x3,???,2%2s

C.隨機變量X服從正態(tài)分布N（l,2）,若P（X>O）=z，則P（0<X<2）=5

397

D.隨機變量X服從二項分布5（4,p）,若方差。（X）=“則P（X=2）=F

10.已知三棱錐S-ABC,則下列論述正確的是（）

A.若點S在平面ABC內(nèi)的射影點為ZXABC的外心，則S4=Sfi=SC

B.若點S在平面ABC內(nèi)的射影點為A,則平面S3c與平面ABC所成角的余弦值為9衛(wèi)

S&SBC

C.若NBAC=90°,點S在平面ABC內(nèi)的射影點為BC的中點X,則S,A,B,C四點一定在以X為球

心的球面上

D.若NB4c=90°,S,A,B,C四點在以BC中點//為球心的球面上，且S在平面ABC內(nèi)的射影點的

軌跡為線段BC（不包含2,C兩點），則點S在球X的球面上的軌跡為以BC為直徑的圓（不包括2,C

兩點）

H.投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，已知出現(xiàn)正面向上的概率為p,記4表示事件“在"次投擲中，硬幣正

面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結論正確的是（）

A.4與天是互斥事件B.P（4）=p2

c.p（4+J=（i—2p）p（4）+。D.p（怎）>p（怎+2）

第II卷（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.若/(x)=xeA+2靖(O),則曲線y=/(x)在x=1處的切線方程為

13.在(x+2y)(x-4的展開式中含一武的系數(shù)為

14.已知拋物線V=4%的焦點為F過點廠的直線/交拋物線于A,8兩點，AB的中點為尸，以4B為

直徑的圓與y軸交于N兩點，當NMPN取最大值時，此時sinNMPN=.

四、解答題(本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(13分)

已知函數(shù)=f+ax-21nx(aeR).

(1)當。=0時，求〃尤)的極值;

(2)若“X)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

16.(15分)

已知ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且Z?=c—2/?cosA.

(1)求證：A=2B-.

(2)若AABC的面積為15",且2a=3Z?,求b.

17.(15分)

為了研究學生每天整理數(shù)學錯題情況，某課題組在某市中學生中隨機抽取了100名學生調(diào)查了他們期中

考試的數(shù)學成績和平時整理數(shù)學錯題情況，并繪制了下列兩個統(tǒng)計圖表，圖①為學生期中考試數(shù)學成績

的頻率分布直方圖，圖②為學生一個星期內(nèi)整理數(shù)學錯題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學成績在110分及以上

視為優(yōu)秀，將一個星期有4天及以上整理數(shù)學錯題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”.已知

數(shù)學成績優(yōu)秀的學生中，經(jīng)常整理錯題的學生占70%.

(1)根據(jù)圖①、圖②中的數(shù)據(jù)，畫出2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，分析數(shù)學

成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題是否有關？

(2)用頻率估計概率，在全市中學生中按經(jīng)常整理錯題與不經(jīng)常整理錯題進行分層隨機抽樣，隨機抽取

5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2人進行座談，求這2名同學中經(jīng)常整理錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的人

數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

n(ad-be)一

附：z2其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.100.050.0250.0100.0050.001

X。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（17分）

已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規(guī)

則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中

的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停止試驗，否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完

全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進行下一輪試驗.

（1）若規(guī)定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行的試驗輪數(shù)為隨

機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）若規(guī)定試驗者乙至多可進行輪試驗（若第"輪不成功，也停止試驗），記乙在第

左伏wN*,左V”）輪使得試驗成功的概率為則乙能試驗成功的概率為「（〃）=￡[,證明：

k=\

p（〃）＜]

19.（17分）

r2v21

已知橢圓c：r+==1（?！??！?）的左、右焦點分別為片，E，離心率為一，經(jīng)過點耳且傾斜角為

ab2

的直線/與橢圓交于A,8兩點（其中點A在無軸上方），△?1時的周長為8.

（1）求C的方程；

（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面4月8）與y軸負半軸

和x軸所確定的半平面（平面8月心）互相垂直.

（i）若求異面直線A耳和5工所成角的余弦值；

（ii）是否存在使得折疊后△A3K的周長為?？若存在，求tan。的值；若不存在,

請說明理由.

參考答案及解析

一、選擇題

1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.D8.A

二、選擇題

9.BCD10.ABD11.ACD

三、填空題

12.y=（2e—2）x—e13.2414.—

四、解答題

15.解：（1）當a=0時，/（x）=x2-21nx,定義域為

則/，（x）=2x——=———.（2分）

XX

令/'（九）>0,解得％>1,令/'（尤）<0,解得0<%<1,

故/（%）在x=l處取得極小值，/（1）=1,（4分）

所以/（%）的極小值為/（1）=1，無極大值.（5分）

（2）因為"％）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間［1,2］上，/f（%）<0,

22

所以/'（X）=2X+Q——<0,即——2%.（8分）

XX

2

令g（x）=——2x,只需aWg（x）疝J（9分）

顯然g（%）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減,

所以gGUg⑵=1-4=-3,（12分）

所以aW—3,即。的取值范圍為（—8,—3］.（13分）

力22_2

16.（1）證明：（解法一）由余弦定理得COSA=-----------,

2bc

力2+2_2「_卜

因為Z;=c—26cosA,所以-----------=——,（1分）

2bc2b

所以=〃+/，（2分）

._1、ja?+，-/_|_beC~\~bQ.

因為cos5=--------------=---------=------=一，（3分）

laclaclalb

所以2cos2旌1=2（4]-1=^^bc-b2c-b

，（4分）

2b2

所以cosA=cos26,（5分）

又A,5e（O,〃），所以A=25.（6分）

（解法二）由正弦定理得cosA=smC-sm',

2sin5

所以sinC=2cosAsin5+sinjB,（2分）

因為A,B,。為A45c的內(nèi)角，所以A+5+C=?,

所以sinC=sin（A+5）=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcos5-cosAsin5=sin瓦（4分）

即sin（A-_B）=sinjB,（5分）

又A,5w（O,?）,所以A=25.（6分）

（2）解：（解法一）由（1）可知/

因為2a=3/7,所以（改]=b2+bc,即c=?6,（8分）

UJ4

七一6+b^-c9

所以cosC=-------------—,（10分）

lab

因為Ce（O,?）,所以sinC>0,sinC=Jl—cos?C=竟.（12分）

記ZXABC的面積為S,

mn。17?r13b15幣達5

則S=—absmC=-------b-------=1547,

22216

所以解得5=8.（15分）

（解法二）由正弦定理得^^=—也，

sinAsinB

即-----------（7分）

2sinBcosBsin5

因為A,Be（0,7i）,所以sinA>。，且sin5>0,

所以cos3=2,（8分）

2b

-3

又2a=3b,所以cos5=—,

4

所以sinB=Vl-cos2B=,

4

所以COSA=COS2JB=2COS2JB-1=—,

8

所以sinA=±夕，（10分）

8

sh

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=.（12分）

記A45c的面積為S,

則5=,。65詁。=’.改0.文=15巾,

22216

所以解得5=8.（15分）

17.解：（1）由題意可得（0.0025+0.005+0.0175+機+0.01）x20=1,

解得加=0.015.（2分）

數(shù)學成績優(yōu)秀的有100x50%=50人，不優(yōu)秀的有100x50%=50人，經(jīng)常整理錯題的有

100x（40%+20%）=60人，不經(jīng)常整理錯題的有100—60=40人，經(jīng)常整理錯題且成績優(yōu)秀的有

50x70%=35A,貝I

數(shù)學成績優(yōu)秀數(shù)學成績不優(yōu)秀合計

經(jīng)常整理352560

不經(jīng)常整理152540

合計5050100

（4分）

零假設為"o：數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題無關,

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到可得力2=10°義（35x25-15x25）=至＞3841=,（6分）

50x50x60x4060-05

根據(jù)小概率值。=0.05的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立，即認為數(shù)學成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學錯題有

關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（7分）

（2）由分層隨機抽樣知隨機抽取的5名學生中，經(jīng)常整理錯題的有3人，不經(jīng)常整理錯題的有2人，則

X的可能取值為0,1,2,

經(jīng)常整理錯題的3名學生中，恰抽到左人記為事件&（%=0,1,2）,

則尸（4）=（左=0,1,2,3）.（9分）

由（1）知經(jīng)常整理數(shù)學錯題的學生中數(shù)學成績優(yōu)秀的學3生5占衛(wèi)7數(shù)學成績不優(yōu)秀的學生占

6012

255

6012

參與座談的2名學生中，經(jīng)常整理錯題且數(shù)學成績優(yōu)秀的恰好抽到m人記為事件（加=0,1,2）,

則p（聞4）=1,尸（聞A）=

。（聞4）=

2

5735

P（4|A）=C；x---X—=—

121272

P（X=O）=P（4）.P（聞4）+P（A〉P（聞A）+P（4）-P（聞4）

i2,2

=§xl+￡c；cx：』+與x亙=193

2

C；C-5.12C；144480

尸（x=i）=/（a）?尸（4|A）+/（4）P（4|4）

=cC*c^'xZ+C|x35=119

2

c'5■12C；72240

4949

尸（x=2）=P（4“（周&）=4x—=二，（13分）

c144480

故X的分布列為

X012

19311949

P

480240480

（14分）

19311Q49

則數(shù)學期七（乂）=0乂±+1><"+2><上=0.7.（15分）

'7480240480

18.（1）解：由題意得X的可能取值為1,2,3,

在第一輪中，試驗者每次抽到白球的概率為工，

3

2

所以P（X=1）=I（2分）

依題意，在第二輪中，盒中有一個白球、兩個紅球和一個黃球，每次摸到白球的概率為

4

21

所以P（X=2）==—,（4分）

18

易知P（X=3）=1—[P（X=1）+P（X=2）]=9,（5分）

所以X的分布列為

X123

￡15

P

9186

（6分）

11549

數(shù)學期望石（X）=lx—+2x—+3x9=（7分）

v7918618

（2）證明：當左之2時，不難知道&=11—"11—

1——--------j-，（8分）

.（k+1）（左+2）

因為11—"1

1——

if」（4+1）（左+2『

2x43x5kx（k+2）121

----------------,---------------——X-------------------------,

32（左+1）2仕+2）23（左+1）化+2）

21211

所以兄=—x-----------------------------------（^>2）.（11分）

3（左+1）（攵+2）3U+1k+2

[19

由（i）可知<二—,又《=—=11

199311+11+2

21211

所以其=—X-----------------------------------------------------左￡N*）,（14分）

3（左+1）（左+2）3^+1k+2

n7

所以（）11121

P“=f1=w*---=-----------------（------7<-，

2~33-4

k=lJ〃+1〃+233+2）3

即（17分）

19.解:⑴由桶圓的定義知|明|+|明|=2%忸制+忸閭=2”,

所以△ABE的周長L=4a=8,所以a=2.（1分）

又。的離心率為工，所以，=工,

2a2

所以c=l,b2=a2—c2=3,（3分）

22

所以C的方程為土+匕=1.（4分）

43

（2）⑴聯(lián)立直線/：y—0=6（％+1）與^+]-=1,

求得A（O,G）（因為點A在x軸上方）及B.（5分）

（55）

以。為坐標原點，折疊后原》軸負半軸、原x軸、原y軸正半軸所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標系，

則耳（0,—1,0），A（0,0,