北京市房山區(qū)4中新高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷及答案解析

北京市房山區(qū)4中新高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且，則（）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，若，，則實(shí)數(shù)（）A．或 B．-1或1 C．1 D．3．已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．5．若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．26．已知，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．7．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，則雙曲線(xiàn)的離心率為()A．2 B． C． D．8．設(shè)集合，，則()A． B．C． D．9．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．610．設(shè)函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（）A． B． C． D．11．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．12．設(shè)m，n為直線(xiàn)，、為平面，則的一個(gè)充分條件可以是()A．，， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則______.14．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓Г的上頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AF2交橢圓Г于點(diǎn)B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為_(kāi)__________.15．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則______.16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求的面積.18．（12分）設(shè)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）F是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若，求的值.19．（12分）為增強(qiáng)學(xué)生的法治觀念，營(yíng)造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開(kāi)展了“憲法小衛(wèi)士”活動(dòng)，并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)，已知這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均在[50，100]內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)51515123（1）將競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“合格”，競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“不合格”．請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？合格不合格合計(jì)高一新生12非高一新生6合計(jì)（2）在（1）的前提下，按“競(jìng)賽成績(jī)合格與否”進(jìn)行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．20．（12分）數(shù)列滿(mǎn)足，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為.（1）求和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和，并證明：對(duì)任意的正整數(shù)m、k，均有.21．（12分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)且（1）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（2）求銳二面角的大?。?2．（10分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)已知真切求余弦的方法要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.2、B【解析】

由題意得，，然后求解即可【詳解】∵，∴.又∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】

將原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根，先求導(dǎo)，可判斷時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù).因此，再令，求導(dǎo)得，結(jié)合韋達(dá)定理可知，要滿(mǎn)足題意，只能是存在零點(diǎn)，使得在有解，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；則應(yīng)滿(mǎn)足，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解；【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根.，所以當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù).因此.設(shè)，，若在無(wú)解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個(gè)解.設(shè)其解為，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).因?yàn)椋匠淘趦?nèi)有兩個(gè)不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因?yàn)?，所以，代入，?設(shè)，，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得.由在上是增函數(shù)，得.綜上所述，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題4、D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.5、C【解析】

作出可行域，直線(xiàn)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)，平移該直線(xiàn)可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線(xiàn)，線(xiàn)段，射線(xiàn)圍成的陰影部分（含邊界），作直線(xiàn)，平移直線(xiàn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形．6、D【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價(jià)于，作直線(xiàn)，向上平移，易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．7、C【解析】

利用圓心到漸近線(xiàn)的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故圓心到漸近線(xiàn)的距離等于1，即，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求法，求雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題，關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)列方程，由此求得的值，進(jìn)而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及單調(diào)性即可確定的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)可得，，即，，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由對(duì)稱(chēng)軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.11、C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見(jiàn)的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，由于不在平面內(nèi)，故無(wú)法得出.對(duì)于B選項(xiàng)，由于，，所以.故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于平面，故無(wú)法得出.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，無(wú)法得出.綜上所述，的一個(gè)充分條件是“，”故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線(xiàn)面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】

將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式，化簡(jiǎn)后求得，利用等差數(shù)列前公式化簡(jiǎn)，由此求得表達(dá)式的值.【詳解】因?yàn)?，所?故填：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)，由題可得的長(zhǎng)，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設(shè)∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

設(shè)，判斷為偶函數(shù)，考慮x>0時(shí)，的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象，即可得到的范圍.【詳解】設(shè)，則在是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由得，記，，，故函數(shù)在增，而，所以在減，在增，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此的圖象為因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；（2）由（1）可求，結(jié)合范圍，可求的值，由余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）∴最小正周期.（2）由（1）知，∴∴，又∴或.解得或當(dāng)時(shí)，由余弦定理得即，解得.此時(shí).當(dāng)時(shí)，由余弦定理得.即，解得.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）（2）【解析】

(1)代入計(jì)算即可.(2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為,再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程,消去可得的一元二次方程,再根據(jù)韋達(dá)定理與求解,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以,所以,拋物線(xiàn)的方程為（2）由題意知直線(xiàn)AB的斜率存在,可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為,,.因?yàn)?所以,聯(lián)立,化簡(jiǎn)得,所以,,所以,,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的方程以及聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)求弦長(zhǎng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：合格不合格合計(jì)高一新生121426非高一新生18624合計(jì)302050則的觀測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)．（2）抽取的5名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)合格的有名學(xué)生，記為，競(jìng)賽成績(jī)不合格的有名學(xué)生，記為，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有：，共10種，這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的基本事件有：，共3種，所以這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率為．20、（1），；（2），證明見(jiàn)解析【解析】

（1）利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論．【詳解】（1），，得是公比為的等比數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，兩式相除得，得，又得，；（2），故.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）.【解析】

(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為再求解與平面的法向量,繼而求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即可.(2)分別求解平面與平面的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.【詳解】解：在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)所以平面取的中點(diǎn)的中點(diǎn)所以?xún)蓛纱怪?故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為因?yàn)樗运?所以,設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,,取則,所以所以,所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,取則所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以銳二面角的大小為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線(xiàn)面夾角以及二面角的問(wèn)題,屬于中檔題.22、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，設(shè)，可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，根據(jù)線(xiàn)面平行判定