浙江省紹興市上虞區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題（教師版）

浙江省紹興市上虞區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因，所以的虛部為，故選：D2.P是所在平面上一點，滿足，則的形狀是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加減運(yùn)算可得，兩邊平方后結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)，即可推得答案.【詳解】由，可得，即，即，將等式兩邊平方，化簡得，∴，即，因此，是直角三角形，故選：B．3.在中，若，，，則＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的平行四邊形法則可得，由，，可得，從而得到答案.【詳解】由向量平行四邊形法則，知當(dāng)時，，又，，故，，則，所以．故選：B4.已知、表示兩個不同的平面，是一條直線且，則是的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及線面關(guān)系判斷即可.【詳解】由平面與平面垂直的判定定理知，為平面內(nèi)的一條直線，如果，則，故充分性成立；反過來為平面內(nèi)的一條直線，由可能有或或與相交（不垂直）三種情況，故必要性不成立．所以“”是“”的充分非必要條件．故選：A．5.設(shè)，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】A中，舉例說明選項A錯誤；B中，當(dāng)時，，但與不一定平行，可判斷選項B錯誤；C中，兩邊平方得出，可判斷與共線，從而判斷C正確；D中，兩邊平方得出，不能得出,可判斷D錯誤.【詳解】對于A，當(dāng)，時，滿足，但，選項A錯誤；對于B，當(dāng)時，，則與不一定平行，選項B錯誤；對于C，由，則，即，所以，所以與同向，即，選項C正確；對于D，若，則，所以，不能得出，選項D錯誤．故選：C6.已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，找出外接球球心的位置，利用以及圖形幾何關(guān)系表示出相應(yīng)的線段長度，結(jié)合勾股定理列方程求出外接球半徑即可得解.【詳解】如圖，取中點，連接，因為是邊長為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設(shè)外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點作垂直平面，垂足為點，由對稱性可知點必定落在的延長線上面，由幾何關(guān)系，設(shè)，而由正弦定理邊角互換得，進(jìn)而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)換二面角的大小為，并求出外接球半徑，由此即可順利得解.7.某校組織高一1班，2班開展數(shù)學(xué)競賽，1班40人，2班30人，根據(jù)統(tǒng)計分析，兩班成績的方差分別為，.記兩個班總成績的方差為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助分層抽樣的方差公式計算即可得.【詳解】設(shè)兩個班的平均分分別為，，兩個班的總的平均分為，則.故選：B.8.所有的頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點且平行于兩個底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)割補(bǔ)法去求該多面體體積即可解決.【詳解】如圖，分別過點，作的垂線，垂足分別為點，，連接，，容易求得，.取的中點，連接，易得，則，所以多面體的體積.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在一條直線上【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，由共軛復(fù)數(shù)的定義分析A；舉反例說明BC；由復(fù)數(shù)的幾何意義確定D.【詳解】對于A：設(shè)，若，則，故必有，A正確；對于B：若，，則有，但，B錯誤；對于C：若，，則有，但，C錯誤；對于D：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為和若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為線段的中垂線，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在一條直線上，D正確.故選：AD.10.已知是邊長為2的等邊三角形，分別是上的兩點，且，與交于點，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.在方向上的投影向量的模長為【答案】BD【解析】【分析】利用題設(shè)條件建立直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點坐標(biāo)，求出相關(guān)向量坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)的加減法和數(shù)乘積運(yùn)算，依次檢驗A,B,C項，利用投影向量的模的定義表達(dá)式檢驗D項即得.【詳解】由題意可知：為中點，則，以為原點，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：所以，，設(shè)由，可得，即是中點，，故選項正確；，故選項錯誤；又因為則，故選項錯誤；易知在方向上的投影向量的模長為，故選項D正確．故選：BD.11.如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱的中點，點P為線段上的動點（包含端點），則（）A.存在點P，使得平面 B.對任意點P，平面平面C.兩條異面直線和所成的角為 D.點到直線的距離為4【答案】ABD【解析】【分析】A選項當(dāng)與重合時，用線面平行可得出，進(jìn)而可得；B選項證明平面即可得出；選項C由正方體的性質(zhì)和畫圖直接得出；選項D由余弦定理確定，之后求距離即可.【詳解】A：當(dāng)與重合時，由題可知，，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，故A正確；B：連接，平面，平面，，又，故，又平面，平面，又平面，故對任意點P，平面平面，故B正確；C：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，異面直線和所成的角即為和所成的角，由圖可知為，故C錯誤；D：由正方體的特征可得，，所以點到直線的距離，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.盒中有四個大小、形狀完全相同的小球，分別編號為1、2、3、4，現(xiàn)從中任取兩個小球，則取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為_____________．【答案】【解析】【分析】求出總的基本事件數(shù)，然后求出符合題目要求結(jié)果的基本事件數(shù)，再利用古典概型的公式求解即可.【詳解】首先從中任取兩個小球有共個基本事件，取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)有共個基本事件，所以取出的小球中至少有一個號碼為奇數(shù)的概率為.故答案為：.13.在中，角的對邊分別為，已知．則角______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理及二倍角公式化簡計算即可.【詳解】由正弦定理及二倍角公式得：，因為在中，，，即，即，因為在中，,所以，所以.故答案為：.14.位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽(yù)為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】310【解析】【分析】設(shè)米，進(jìn)而可得，在中由正弦定理求出，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)米，因為在點C測得塔頂A的仰角為80°，所以，在中，，所以，在中，因為，，所以，由正弦定理得，所以，則，所以米.故答案為：310.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)是不共線的兩個非零向量．（1）若，求證：三點共線；（2）若與共線，求實數(shù)k的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.【小問1詳解】由，得,,所以，且有公共點B，所以三點共線.【小問2詳解】由與共線，則存在實數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個非零向量，因此，解得，或，實數(shù)k的值是16.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的周長為20，面積為，求邊c．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，由余弦定理計算可得，結(jié)合計算即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得；【小問2詳解】由（1），得，則，由余弦定理，得，即，得.又，所以，即，即，解得.17.2023年為普及航天知識，某校開展了“航天知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了80名，統(tǒng)計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若該中學(xué)參加這次競賽的共有3000名學(xué)生，試估計全校這次競賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)；（2）估計參加這次競賽的學(xué)生成績的第75百分位數(shù)；（3）若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為航天達(dá)人的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖求出成績在內(nèi)的頻率，即可估計人數(shù)；（2）根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得；（3）先按照分層抽樣求出各層人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概型即可得解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，成績在內(nèi)的頻率為，則估計全校這次競賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)約為人；【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，成績在內(nèi)的頻率為，成績在內(nèi)的頻率為，成績在內(nèi)的頻率為，成績在內(nèi)的頻率為，成績在內(nèi)的頻率為，所以成績在分以下的學(xué)生所占的比例為，成績在分以下的學(xué)生所占的比例為，所以成績的分位數(shù)一定在內(nèi)，即，因此估計參加這次競賽的學(xué)生成績的分位數(shù)為；【小問3詳解】因為，，，所以從成績在，，內(nèi)的學(xué)生中分別抽取了人，人，人，其中有人為航天達(dá)人，設(shè)為，有人不是航天達(dá)人，設(shè)為，則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，有，共種，其中2人均為航天達(dá)人為共種，所以被選中的2人均為航天達(dá)人的概率為．18.如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺，其中，．（1）求證：；（2）若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，取AB的中點G，連接DG，BD，DE，設(shè)，由勾股定理的逆定理可得，同理可得，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；（2）由（1）和勾股定理的逆定理可得，又，根據(jù)線面、面面垂直的判定定理可得面面ABE，如圖，則為題意所求的線面角，解三角形即可.【小問1詳解】連接BD，DE，設(shè)，則，取AB的中點G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，得，∴，∴同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，；【小問2詳解】由（1）知，又∵，∴，由，得．又∵，面ABCD，∴面ABCD，過點D作交AB于點M，連接EM．因為面ABCD，所以，又因為，且面DEM，則面DEM，又面ABE，∴面面ABE．過點D作交EM于點N，連接AN．∴就是直線AD與面ABE所成的線面角．∵面面ADE，∴就是直線AD與面CDF所成的線面角．∵，又，，∴，又，∴