專題4.5 因式分解章末八大題型總結（拔尖篇）（浙教版）（原卷版）

專題4.5因式分解章末八大題型總結（拔尖篇）【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用整體思想分解因式】 1【題型2利用拆項法分解因式】 2【題型3利用添項法分解因式】 2【題型4利用因式分解的結果求參數(shù)】 3【題型5利用因式分解進行有理數(shù)的簡算】 3【題型6利用因式分解探究三角形形狀】 4【題型7與因式分解有關的探究題】 4【題型8因式分解的應用】 6【題型1利用整體思想分解因式】【例1】（2024七年級下·山東東營·期中）[閱讀材料]因式分解：x+解：將“x+y”看成整體，令x+再將“A”還原，原式=x上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方法．[問題解決](1)因式分解：1+4x(2)因式分解：x2(3)證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式n+1【變式1-1】（2024七年級下·山西運城·期中）（1）2a（2）a-【變式1-2】（2024七年級下·福建漳州·期中）(1)因式分解：x2(2)因式分解：x+(3)求證：多項式x+1【變式1-3】（2024七年級下·河南洛陽·期中）整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法．下面是對多項式(a2+2a)(a2+2a+2)+1進行因式分解的解題思路：將“a2+2a”看成一個整體，令解：設a2+2a=x=(=a問題：(1)①該同學完成因式分解了嗎？如果沒完成，請你直接寫出最后的結果；②請你模仿以上方法嘗試對多項式a2(2)請你模仿以上方法嘗試計算：(1-2-3-?-2023)×(2+3+?+2024)-(1-2-3-?-2024)×(2+3+?+2023)．【題型2利用拆項法分解因式】【例2】（2024七年級下·山東濟寧·期中）觀察下面因式分解的過程：x===上面因式分解過程的第一步把2x2拆成了(1)a2(2)x4【變式2-1】（2024七年級下·陜西榆林·期中）(1)分解因式：x2(2)分解因式：a2【變式2-2】（2024七年級下·黑龍江雞西·期中）（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2【變式2-3】（2024七年級下·上海嘉定·期中）把多項式x4【題型3利用添項法分解因式】【例3】（2024七年級下·山西·期中）閱讀與思考在因式分解中，有些多項式看似不能分解，如果添加某項，可以達到因式分解的效果，此類因式分解的方法稱之為“添項法”．例如：a4參照上述方法，我們可以對a3a任務：(1)請根據(jù)以上閱讀材料補充完整對a3(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3【變式3-1】（2024七年級·全國·合肥期中）將下列式子因式分解：x【變式3-2】（2024七年級下·甘肅蘭州·期中）分解因式：-2【變式3-3】（2022·廣西柳州·七年級期中）分解多項式a5-1【題型4利用因式分解的結果求參數(shù)】【例4】（2024七年級下·浙江寧波·期中）因為x2+2x-3=x+3x-1，這說明多項式x2利用上述閱讀材料求解：(1)若x+3是多項式x2+(2)若x-3和x-4是多項式x3(3)在（2）的條件下，把多項式x3【變式4-1】（2024七年級下·安徽合肥·期中）已知關于x的二次三項式x2-mx+n可分解為x【變式4-2】（2023七年級下·江蘇·專題練習）已知多項式x4+mx+n能分解為(x2【變式4-3】（2024七年級下·江蘇蘇州·期中）已知多項式x2+kx+36能分解為兩個整系數(shù)一次式的乘積，則A．10 B．8 C．5 D．4【題型5利用因式分解進行有理數(shù)的簡算】【例5】（2024七年級下·上海青浦·期中）用簡便方法計算：20202【變式5-1】（2024七年級下·重慶·期中）簡便計算：(1)9999×10001-10000(2)999992【變式5-2】（2024七年級下·山東煙臺·期中）下列算式不正確的是（

）A．999×1001=1000-1×1000+1C．257-5【變式5-3】（2024七年級下·四川遂寧·期中）已知P=999999，Q=11A．P>Q B．P<Q C【題型6利用因式分解探究三角形形狀】【例6】（2024七年級下·山東泰安·階段練習）已知a,b,c【變式6-1】（2024七年級下·福建福州·期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足ba-b+A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式6-2】（2024七年級下·四川內江·階段練習）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿足b2+bc-ba-A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【變式6-3】（2024七年級下·重慶北碚·期中）已知△ABC三邊長a、b、c【題型7與因式分解有關的探究題】【例7】（2024七年級下·山東淄博·期中）如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，兩個正整數(shù)為它的“智慧分解”．例如，因為16=52-32，所以16就是一個智慧數(shù)，而5和3小穎的方法是通過計算，一個個羅列出來：3=22-12，5=3小明認為小穎的方法太麻煩，他想到：設兩個數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且則(k(1)根據(jù)上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧數(shù)，并請直接寫出11，15的智慧分解；(2)繼續(xù)探究，他們發(fā)現(xiàn)8=32-12，12=42-2(3)根據(jù)以上所有探究，請直接寫出第2023個智慧數(shù)，以及它的智慧分解．【變式7-1】（2024七年級下·吉林長春·期中）探究題:(1)問題情景：將下列各式因式分解，將結果直接寫在橫線上：x2+6x+9=__________；x2(2)探究發(fā)現(xiàn)：觀察以上三個多項式的系數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)：62=4×1×9；(-4)2歸納猜想：若多項式ax2+bx+c(a>0,(3)驗證結論：請你寫出一個不同于上面出現(xiàn)的完全平方式，并用此式驗證你猜想的結論．(4)解決問題：若多項式(n+1)x【變式7-2】（2024七年級下·湖南長沙·期中）閱讀理解并填空：(1)為了求代數(shù)式x2+2x若x=1，則這個代數(shù)式的值為________﹔若x=2，則這個代數(shù)式的值為_______可見，這個代數(shù)式的值因x的取值不同而變化，盡管如此，我們還是有辦法來考慮這個代數(shù)式的值的范圍．(2)把一個多項式進行部分因式分解可以解決求代數(shù)式的最大（或最小）值問題．例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(3)求代數(shù)式-x2-(4)試探究關于x、y的代數(shù)式5x2-4xy【變式7-3】（2024七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）在學習《因式分解》）時，鄒老師給同學們發(fā)了很多硬紙片(a×a的正方形A，b×b的正方形B

(1)在探究中，小明用1張A和1張C組成如圖1所示的長方形可以說明a2+ab

(2)繼續(xù)探究中，小明用1張A，2張B和3張C再次拼得一個長方形，請在框1中畫出示意圖，并將長方形面積表達式的因式分解結果寫在橫線上(3)嘗試應用：請你仿照小明同學的探究方法，嘗試用1張A，4張B和若干張C拼成一個長方形或者正方形，請你設計兩種不同的拼法，在框2和框3中分別畫出示意圖，并在相應的橫線上寫出所拼長方形的面積表達式及因式分解的結果．

【題型8因式分解的應用】【例8】（2024七年級下·湖北恩施·期中）在日常生活中如取款、上網等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產生的密碼記憶方便．原理是：如對于多項式x4-y4，因式分解的結果是x-yx+yx2+y2，若取x=9，y=9，則各個因式的值是：A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【變式8-1】（2024七年級下·湖南湘西·期中）如圖，某養(yǎng)雞場老板準備用20米的籬笆圍成一個邊長為a、b的長方形場地，已知a2b+A．32 B．24 C．16 D．12【變式8-2】（2024七年級下·吉林·期中）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為acm的大正方形，2塊是邊長為bcm的小正方形，5塊長是acm，寬為(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5(2)若圖中陰影部分的面積為34cm2，大長方形紙板的周長為①求a+②求圖中空白部分的面積．【變式8-3】（2024七年級下·福建泉州·期中）【實踐探究】小青同學在學習“因式分解”時，用如圖1所示編號為①②③④的四種長方體各若干塊，進行實踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個拼成如圖2所示的大長方體，請根據(jù)體積的