高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講03.三角與導(dǎo)數(shù)壓軸的五大類型

三角與導(dǎo)數(shù)壓軸的五大類型一．基本原理三角與導(dǎo)數(shù)壓軸是近年來(lái)比較熱門的題型之一，它為導(dǎo)數(shù)壓軸題目帶來(lái)了新的活力，既然如此，這個(gè)題型也確定有它獨(dú)到的地方，本文就具體地梳理了我認(rèn)為它可能會(huì)被選擇作為壓軸的五大特色優(yōu)質(zhì)基因，它們分別是：1.逐段探討.三角函數(shù)的周期性和有界性導(dǎo)致了一些綜合問題中須要逐段探討，這樣的探討中對(duì)取點(diǎn)，估計(jì)，以及函數(shù)的性質(zhì)等考察力度均很大，對(duì)考生要求很高.2.無(wú)窮零點(diǎn).用一個(gè)正余弦函數(shù)去乘指對(duì)函數(shù)，就會(huì)導(dǎo)致有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)，這是其他指對(duì)函數(shù)沒有的特性，我們甚至可進(jìn)一步探討這無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)干脆的關(guān)系.3.震蕩上行，以為例，由于的有界性，若出現(xiàn)三角函數(shù)+增函數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)震蕩上行，會(huì)出現(xiàn)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有能成立，這樣的命題形式，此時(shí)，必要性分析是一個(gè)很重要的手段.4.協(xié)作三角恒等式.協(xié)作三角恒等式就可以做到更強(qiáng)的綜合性，須要考生有很強(qiáng)的視察實(shí)力.5.三角不等式與放縮.一些重要的三角不等式，例如，，以及均值不等式等等，在一些三角恒成立或者極值點(diǎn)偏移問題中會(huì)用到.二．典例分析特色1.逐段探討三角與導(dǎo)數(shù)綜合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的處理的關(guān)鍵就是零點(diǎn)存在唯一性定理，即弄清晰單調(diào)性和端點(diǎn)值.前者通過(guò)導(dǎo)數(shù)完成，這一塊要留意往往可能須要高階導(dǎo)數(shù)，這是由三角函數(shù)求導(dǎo)的特征所確定的！后者要留意三角函數(shù)的有界性，往往過(guò)了某個(gè)范圍后，函數(shù)恒正或者恒負(fù)，不再出現(xiàn)零點(diǎn)，這就確定了分段探討，而分段的依據(jù)主要是由三角函數(shù)的取值象限來(lái)進(jìn)行，等.除此之外，有的區(qū)間上找點(diǎn)時(shí)留意不等式放縮，從而削減找點(diǎn)的難度！總結(jié)起來(lái)，有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)問題處理主要手段有：分段處理；探討好單調(diào)性與端點(diǎn)（特別點(diǎn)），留意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，直到能清晰推斷所探討區(qū)間的單調(diào)性；關(guān)注有關(guān)三角的不等式放縮，有時(shí)候可優(yōu)化解題，避開繁雜的找點(diǎn)過(guò)程?。?；.例1.（2024全國(guó)1卷）已知函數(shù).若為的導(dǎo)函數(shù)，證明：在上存在唯一的極大值點(diǎn)；證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).解答：（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵?，令，，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.下面考慮端點(diǎn)值：因?yàn)?，，使?當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點(diǎn).即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，.下面分區(qū)間逐次探討：①．當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，又，為在上的唯一零點(diǎn).②．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn).又，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.考慮端點(diǎn)值：由于.在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn).③．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減又，.即，又在上單調(diào)遞減.在上存在唯一零點(diǎn).④.當(dāng)時(shí)，，，，即在上不存在零點(diǎn).綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn).特色2.無(wú)窮零點(diǎn)例2（2024天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，證明：；設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，試證明：.（3）首先我們須要把區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)搬到熟識(shí)的區(qū)間上來(lái)，這一點(diǎn)可通過(guò)變換實(shí)現(xiàn)，令，故，且.這樣我們就把題干轉(zhuǎn)化到第（2）問的條件下了.下面我們來(lái)利用改寫題干條件，即證：.由于，故只需證①即可.由于，故證明①成立，只需等價(jià)于證明：②，結(jié)合的表達(dá)式可知，不等式②成立等價(jià)于③即可，看到這里，是不是發(fā)覺跟第（2）問的神似之處！另一方面，留意到以及第（2）問的結(jié)論，可得：④.故欲使得③成立，只需使得.所以，只要能說(shuō)明，整個(gè)題目就解決了！而這個(gè)步驟，就須要第（1）問，由于且滿意對(duì)于，，且在上減，故，證畢！特色3.震蕩上行函數(shù)的拐點(diǎn)分析例3.（2024武漢高三畢業(yè)班二診）．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有能成立，求的值．解析：（1）時(shí)，．．∴切線方程為：．整理得：．（2）．令，得．．（?。┊?dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，．∴時(shí)，，遞增．又此時(shí)，故時(shí)，，遞減．時(shí)，，遞增．∴時(shí)，，遞增．由．故時(shí)，．時(shí)，．此時(shí)，存在使時(shí)，，滿意條件．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，遞增．此時(shí)，．故存在使得．當(dāng)時(shí)，遞增．∴時(shí)，，遞減．即時(shí)，，不存在，使時(shí)，．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，令，得．∴時(shí)，遞減，遞減．即時(shí)，，不存在，使時(shí)，．（ⅳ）當(dāng)時(shí)，在遞減．遞減．故時(shí)，，不存在，使時(shí)，．綜上所述：．特色四.三角導(dǎo)數(shù)與三角恒等式例4．定義在上的函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；(2)將的全部極值點(diǎn)依據(jù)從小到大的依次排列構(gòu)成數(shù)列，若，求的值.解析：（1）當(dāng)時(shí)，，故.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令.所以切線與軸的交點(diǎn).此時(shí)所求三角形的面積為.（2），當(dāng)時(shí)，.由函數(shù)在區(qū)間上遞增，且值域?yàn)?，故存在唯一，使?此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此.同理，存在唯一，使得.此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此.由.同理：.由，整理得：.又，故，則有，由，故或.又，當(dāng)時(shí)，不滿意，舍去.所以，即，則.綜上所述，.特色5.三角放縮例7.設(shè)，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B．C． D．解析：由于，故.另一方面，由于，故.再對(duì)也用帕德靠近故，故.例8（1）求證時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，，證明不等式恒成立.解析：（1）證明：令，，明顯對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞增，從而，故在上單