高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第一冊 不同函數(shù)增長的差異

4.4.3不同函數(shù)增長的差異

【學(xué)習(xí)目標】

課程標準學(xué)科素養(yǎng)

1.嘗試將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型.1.數(shù)學(xué)建模

2.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異.2.數(shù)學(xué)運算

3.會根據(jù)函數(shù)的增長差異選擇函數(shù)模型.3.直觀想象

【自主學(xué)習(xí)】

1.函數(shù)模型

一般地，設(shè)自變量為x,函數(shù)為乃并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知

條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實

際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型.

2.三種常見函數(shù)模型的增長差異

指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一元一次函數(shù)

A

解析式y(tǒng)=a(a>l)y=logax______y=kx1k>0

單調(diào)性在(0,+8)上單調(diào)______

逐漸與y軸平

圖象(隨x的增大)逐漸與X軸平行直線逐漸上升

行

增長速度y的增長速度y的增長速度越

y值逐漸增加

(隨X的增大)越來越____來越____

增長關(guān)系存在一個及，當(dāng)x〉A(chǔ)o時，a">kx>logax

思考：已知函數(shù)知x)=2*,g(x)=2x,h(x)=log2x.

(1)函數(shù)f(x),g(x),h(x)隨著x的增大，函數(shù)值有什么共同的變化趨勢？

(2)函數(shù)f(x),g(x),h(x)增長的速度有什么不同？

【小試牛刀】

.1.下列說法正確的個數(shù)是()

(1)函數(shù)尸logj_X的衰減速度越來越慢.

3

⑵增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型.

(3)若a〉l,n〉0,對于任意位GR,一定有a'〉K.

A.0B.1

C.2D.3

1

2.甲、乙兩人在一次賽跑中，路程y與時間x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說

法正確的是()

A.甲比乙先出發(fā)B.乙比甲跑的路程多

C.甲、乙兩人的速度相同D.甲先到達終點

【經(jīng)典例題】

題型一函數(shù)模型的增長差異

三種函數(shù)模型的增長規(guī)律：

(1)對于嘉函數(shù)y=x",當(dāng)x>0,〃>0時，y=x"才是增函數(shù)，當(dāng)〃越大時，

增長速度越快.

(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的遞增前提是a>l,又它們的圖象關(guān)于y=x對稱,

從而可知，當(dāng)a越大，y=a,增長越快；當(dāng)a越小，y=logaX增長越快，一般來

說，a”>logaX(x>0,a>l).

(3)指數(shù)函數(shù)與募函數(shù)，當(dāng)x>0,77>0,a>l時，可能開始時有但

因指數(shù)函數(shù)是爆炸型函數(shù)，當(dāng)x大于某一個確定值吊后，就一定有

例1四個變量%,%，%，%隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：

X151015202530

%226101226401626901

2321024327681.05X1063.36X1071.07X109

為2102030405060

%24.3225.3225.9076.3226.6446.907

關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是.

［跟蹤訓(xùn)練］1(1)下列函數(shù)中，增長速度最慢的是()

A.y=6*B.y=log6x

C.y=x6D.y=6x

⑵有一組數(shù)據(jù)如下表：

2

V1.54.047.51218.01

現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的

一個是()

B.v=logir

A.v=log2t

t2—1

C.v=~~-D.v=2t—2.

題型二函數(shù)模型的選取

不同函數(shù)模型的選取標準

(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律.

(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律.

(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律.

(4)募函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.

例2某汽車制造商在2019年初公告：公司計劃2019年生產(chǎn)目標定為43萬輛.

已知該公司近二年的汽車生產(chǎn)量如下

年份201620172018

表所不：

產(chǎn)量(萬)81830

如果我們分別將2016,2017,2018,2019年定義為第一、二、三、四年，現(xiàn)在你有

兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)=ax+bx+c(a^0),指數(shù)函數(shù)模型g(x)=

a?加+c(aW0,b>0,6W1),哪個模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x

的關(guān)系？

［跟蹤訓(xùn)練］2某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生

人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單

位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，

x

同時獎金不超過利潤的20%現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.2x,y=log5x,y=1.02,

其中哪個模型符合該校的要求？

3

【當(dāng)堂達標】

1.下圖反映的是下列哪類函數(shù)的增長趨勢()

A.一次函數(shù)B.易函數(shù)

C.對數(shù)函數(shù)D.指數(shù)函數(shù)

2.下列函數(shù)中隨x的增長而增長最快的是()

A.y=e'B.y=lnxC.D.y=2x

3.能使不等式1。82*/〈2"一定成立的、的取值區(qū)間是()

A.(0,+°°)B.(2,+°°)C.(—8,2)D.(4,+°°)

4.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,

需經(jīng)過y年，則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()

5.下列選項是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看,

更為有前途的生意是.(填序號)

①y=10X1.05，；②/=20+/5；③y=30+lg(x—l)；@y=50.

6.某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+l),設(shè)這種動物

第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到只.

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

4

(a>1)遞增快慢

思考答案：(1)函數(shù)f(x),g(x),h(x)隨著X的增大，函數(shù)值增大

⑵各函數(shù)增長的速度不同，其中f(x)=T增長得最快，其次是g(x)=2x,最慢

的是h(x)=log2x

【小試牛刀】

1.C［解析］對于(1),由函數(shù)y=logj.x的圖象可知其衰減速度越來越慢，

3

正確；對于(2),一次函數(shù)的圖象是直線，因此其增長速度不變，正確；對于(3),

如獴寵，錯誤.故選C.

2.D

【經(jīng)典例題】

例1先［解析］以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化.

從表格中可以看出，四個變量彷，八先,%均是從2開始變化，變量必，必，

%,%都是越來越大，但是增長速率不同，其中變量%的增長速度最快，畫出它

們的圖象(圖略)，可知變量先關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化.

［跟蹤訓(xùn)練H(1)B［解析］對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢.選B.

(2)C［解析］從表格中看到此函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，排除B,增長速度越來越快，

排除A和D,選C.

例2解建立生產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點(1,8),(2,18),⑶30).

(1)構(gòu)造二次函數(shù)模型F(x)=a/+Z?x+c(a^0),將點的坐標代入，

［a+b+c=8,□

可得|4a+26+c=18,□

〔9a+3b+c—3Q,

解得a=l,b=7,c=Q,

則f^x)=x+7x,

故/'(4)=44,與計劃誤差為1.

(2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a?加+c(a#0,b>Q,6#1),

(ab-\-c=8,□

將點的坐標代入，可得〈a4+c=18,□解得a=1k95，b=w6，c=—42,

35

〔a力3+c=30,

則g(x)=《-X。一42,故g(4)=F-xQJ—42=44.4,與計劃誤差為1.4.

由⑴(2)可得，/U)=f+7x模型能更