2024年河南省中考數(shù)學(xué)真題解析

年河南省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年我國人工智能核心產(chǎn)業(yè)規(guī)模達(dá)5784億元．?dāng)?shù)據(jù)“5784億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×10123．（3分）如圖，乙地在甲地的北偏東50°方向上，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°4．（3分）信陽毛尖是中國十大名茶之一．如圖是信陽毛尖茶葉的包裝盒，它的主視圖為（）A． B． C． D．5．（3分）下列不等式中，與﹣x＞1組成的不等式組無解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣36．（3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．若AB＝4，則EF的長為（）A． B．1 C． D．27．（3分）計(jì)算（）3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)a+3 D．a(chǎn)3a8．（3分）豫劇是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有豫劇經(jīng)典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機(jī)抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，⊙O是邊長為的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長為半徑在⊙O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）A． B．4π C． D．16π10．（3分）把多個(gè)用電器連接在同一個(gè)插線板上，同時(shí)使用一段時(shí)間后，插線板的電源線會(huì)明顯發(fā)熱，存在安全隱患．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行研究，得到時(shí)長一定時(shí)，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象（如圖1），插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象（如圖2）．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)P＝440W時(shí)，I＝2A B．Q隨I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）請(qǐng)寫出2m的一個(gè)同類項(xiàng)：．12．（3分）2024年3月是第8個(gè)全國近視防控宣傳教育月，其主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．某校組織各班圍繞這個(gè)主題開展板報(bào)宣傳活動(dòng)，并對(duì)各班的宣傳板報(bào)進(jìn)行評(píng)分，得分情況如圖，則得分的眾數(shù)為分．13．（3分）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)E在邊CD上．將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，6），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD＝1，則AE的最大值為，最小值為．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．（10分）（1）計(jì)算：；（2）化簡：．17．（9分）為提升學(xué)生體質(zhì)健康水平，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校開展了豐富多彩的課外體育活動(dòng)．在八年級(jí)組織的籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名隊(duì)員表現(xiàn)優(yōu)異，他們?cè)诮鶊霰荣愔嘘P(guān)于得分、籃板和失誤三個(gè)方面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下．技術(shù)統(tǒng)計(jì)表隊(duì)員平均每場得分平均每場籃板平均每場失誤甲26.582乙26103根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）這六場比賽中，得分更穩(wěn)定的隊(duì)員是（填“甲”或“乙”）；甲隊(duì)員得分的中位數(shù)為27.5分，乙隊(duì)員得分的中位數(shù)為分．（2）請(qǐng)從得分方面分析：這六場比賽中，甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．（3）規(guī)定“綜合得分”為：平均每場得分×1+平均每場籃板×1.5+平均每場失誤×（﹣1），且綜合得分越高表現(xiàn)越好．請(qǐng)利用這種評(píng)價(jià)方法，比較這六場比賽中甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．18．（9分）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫出反比例函數(shù)的圖象．（3）將矩形ABCD向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為．19．（9分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射線CM交BE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形．20．（9分）如圖1，塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線DE相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大，此時(shí)∠APB為最大視角．（1）請(qǐng)僅就圖2的情形證明∠APB＞∠ADB．（2）經(jīng)測量，最大視角∠APB為30°，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角∠APE為60°，點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73）．21．（9分）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號(hào)召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動(dòng)，并準(zhǔn)備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為50g，營養(yǎng)成分表如下．（1）若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？（2）運(yùn)動(dòng)量大的人或青少年對(duì)蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？22．（10分）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度h（m）滿足關(guān)系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，v0（m/s）是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．（1）小球被發(fā)射后s時(shí)離地面的高度最大（用含v0的式子表示）．（2）若小球離地面的最大高度為20m，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時(shí)間為3s．”已知實(shí)驗(yàn)樓高15m，請(qǐng)判斷他的說法是否正確，并說明理由．23．（10分）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)．請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．（1）操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有（填序號(hào)）．（2）性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB＝AD，AC是它的一條對(duì)角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的長（用含m，n，θ的式子表示）．（3）拓展應(yīng)用如圖3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分別在邊BC，AC上取點(diǎn)M，N，使四邊形ABMN是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出BN的長．

2024年河南省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)數(shù)軸所示即可得出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可知，點(diǎn)P表示的數(shù)為：﹣1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上各點(diǎn)的分布特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年我國人工智能核心產(chǎn)業(yè)規(guī)模達(dá)5784億元．?dāng)?shù)據(jù)“5784億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×1012【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：5784億＝578400000000＝5.784×1011．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，掌握把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)）是關(guān)鍵．3．（3分）如圖，乙地在甲地的北偏東50°方向上，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根據(jù)方向角的定義，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得答案．【解答】解：根據(jù)“兩直線平行線，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得，∠1＝50°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查方向角，理解方向角的定義，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是正確解答的關(guān)鍵．4．（3分）信陽毛尖是中國十大名茶之一．如圖是信陽毛尖茶葉的包裝盒，它的主視圖為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)簡單幾何體三視圖的畫法畫出它的主視圖即可．【解答】解：這個(gè)茶葉盒的主視圖為：故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單幾何體三視圖的畫法和形狀是正確解答的關(guān)鍵．5．（3分）下列不等式中，與﹣x＞1組成的不等式組無解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣3【分析】根據(jù)不等式組的解集的確定方法逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：∵﹣x＞1，∴x＜﹣1；A、，無解，故此選項(xiàng)符合題意；B、的解集是x＜﹣1，故此選項(xiàng)不符合題意；C、的解集是x＜﹣2，故此選項(xiàng)不符合題意；D、的解集是﹣3＜x＜﹣1，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．6．（3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．若AB＝4，則EF的長為（）A． B．1 C． D．2【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點(diǎn)定義可得出CE＝AC，證明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OC＝AC，∵點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，∴CE＝OC＝AC，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，即＝，∴EF＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）計(jì)算（）3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)a+3 D．a(chǎn)3a【分析】先根據(jù)乘方的意義把括號(hào)內(nèi)的乘法寫成乘方的形式，然后根據(jù)冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝（aa）3＝a3a，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，解題關(guān)鍵是熟練掌握乘方的意義和冪的乘方法則．8．（3分）豫劇是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有豫劇經(jīng)典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機(jī)抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（）A． B． C． D．【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次抽取的卡片正面相同的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：將三張卡片分別記為A，B，C，列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片正面相同的結(jié)果有3種，∴兩次抽取的卡片正面相同的概率為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，⊙O是邊長為的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長為半徑在⊙O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）A． B．4π C． D．16π【分析】由題知陰影部分為扇形BDC的面積，求出半徑DB的長度和圓心角∠BDC的度數(shù)即可求解．【解答】解：如圖，連接OD、OB、OC，OD交BC于點(diǎn)H．∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°，∵D是弧BC中點(diǎn)，∴OD⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∠BOD＝60°，∴OB＝＝4，∵OB＝OD，∠BOD＝60°，∴△BOD為等邊三角形，∴BD＝OB＝4，∴S＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、以及扇形面積公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．（3分）把多個(gè)用電器連接在同一個(gè)插線板上，同時(shí)使用一段時(shí)間后，插線板的電源線會(huì)明顯發(fā)熱，存在安全隱患．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行研究，得到時(shí)長一定時(shí)，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象（如圖1），插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象（如圖2）．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)P＝440W時(shí)，I＝2A B．Q隨I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多【分析】由圖1中點(diǎn)（440，2）可判斷選項(xiàng)A；由圖2中圖象的增減性可判斷選項(xiàng)B、C；由圖1可知I隨P的增大而增大，由圖2可知Q隨I的增大而增大可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：由圖1可知，當(dāng)P＝440W時(shí)，I＝2A，故選項(xiàng)A說法正確，不符合題意；由圖2可知，Q隨I的增大而增大，故選項(xiàng)B說法正確，不符合題意；由圖2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤，符合題意；由圖1可知I隨P的增大而增大，由圖2可知Q隨I的增大而增大，所以P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多，故選項(xiàng)D說法正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）請(qǐng)寫出2m的一個(gè)同類項(xiàng)：m（答案不唯一）．【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義：含有相同的字母，并且相同字母的指數(shù)相同，寫出一個(gè)m的同類項(xiàng)即可．【解答】解：與2m是同類項(xiàng)的是：m（答案不唯一），故答案為：m（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同類項(xiàng)，解題關(guān)鍵是熟練掌握同類項(xiàng)的定義：含有相同的字母，并且相同字母的指數(shù)相同．12．（3分）2024年3月是第8個(gè)全國近視防控宣傳教育月，其主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．某校組織各班圍繞這個(gè)主題開展板報(bào)宣傳活動(dòng)，并對(duì)各班的宣傳板報(bào)進(jìn)行評(píng)分，得分情況如圖，則得分的眾數(shù)為9分．【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念求解即可．【解答】解：根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知9分的人數(shù)最多為13人，即眾數(shù)為9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查眾數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟知相關(guān)概念，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為眾數(shù)．13．（3分）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為．【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解決問題．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝（﹣1）2﹣4×＝0，解得c＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)E在邊CD上．將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，6），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，10）．【分析】由正方形的性質(zhì)得AD＝AB＝CD＝CB，由折疊得FB＝CB，F(xiàn)E＝CE，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，則BF＝OG＝m，由A（﹣2，0），F(xiàn)（0，6），OA＝GD＝2，OF＝6，由勾股定理得（m﹣2）2+62＝m2，求得m＝10，則AD＝OG＝CD＝10，由GE2+FG2＝FE2，得GE2+42＝（8﹣GE）2，求得GE＝3，則E（3，10），于是得到問題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，邊AB在x軸上，∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x軸，CD⊥y軸，由折疊得FB＝CB，F(xiàn)E＝CE，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，則BF＝OG＝m，∵A（﹣2，0），F(xiàn)（0，6），∴OA＝GD＝2，OF＝6，∴OB＝m﹣2，∵∠BOF＝∠EGF＝90°，∴OB2+OF2＝BF2，∴（m﹣2）2+62＝m2，解得m＝10，∴AD＝OG＝CD＝10，∴FG＝10﹣6＝4，F(xiàn)E＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE，∵GE2+FG2＝FE2，∴GE2+42＝（8﹣GE）2，解得GE＝3，∴E（3，10），故答案為：（3，10）．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地求出正方形ABCD的邊長是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD＝1，則AE的最大值為2，最小值為2．【分析】根據(jù)題意識(shí)別出點(diǎn)E是在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D是在以C為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)∠BAE最小，AE最大，∠BAE最大，AE最小，再根據(jù)已知長度計(jì)算就可以．【解答】解：∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴點(diǎn)E是在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵CD＝1，且CD是繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)D是在以C為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AB＝AC＝3，∴當(dāng)cos∠BAE最大時(shí)，AE最大，當(dāng)cos∠BAE最小時(shí)，AE最?。偃鐖D，當(dāng)AE與圓C相切于點(diǎn)D，且D在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠BAE最小，AE最大，∵∠ADE＝∠CDE＝90°，∴AD＝＝2，∵，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此時(shí)AE＝2+1，即AE的最大值為2+1，②如圖，當(dāng)AE與圓C相切于點(diǎn)D，且D在△ABC外部時(shí)，∠BAE最大，AE最小，同理可得AD＝2，DE＝1，此時(shí)AE＝2﹣1，即AE的最小值為2﹣1，故答案為：2+1；2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是識(shí)別出隱圓模型，作出合適的輔助線．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．（10分）（1）計(jì)算：；（2）化簡：．【分析】（1）直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的混合運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而得出答案；（2）直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣1＝10﹣1＝9；（2）原式＝÷＝＝a+2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、分式的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．17．（9分）為提升學(xué)生體質(zhì)健康水平，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校開展了豐富多彩的課外體育活動(dòng)．在八年級(jí)組織的籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名隊(duì)員表現(xiàn)優(yōu)異，他們?cè)诮鶊霰荣愔嘘P(guān)于得分、籃板和失誤三個(gè)方面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下．技術(shù)統(tǒng)計(jì)表隊(duì)員平均每場得分平均每場籃板平均每場失誤甲26.582乙26103根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）這六場比賽中，得分更穩(wěn)定的隊(duì)員是甲（填“甲”或“乙”）；甲隊(duì)員得分的中位數(shù)為27.5分，乙隊(duì)員得分的中位數(shù)為29分．（2）請(qǐng)從得分方面分析：這六場比賽中，甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．（3）規(guī)定“綜合得分”為：平均每場得分×1+平均每場籃板×1.5+平均每場失誤×（﹣1），且綜合得分越高表現(xiàn)越好．請(qǐng)利用這種評(píng)價(jià)方法，比較這六場比賽中甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；（3）根據(jù)“綜合得分”的計(jì)算方法求出甲和乙的得分，然后比較求解即可．【解答】解：（1）由折線圖可得甲得分更穩(wěn)定，把乙的六次成績按從小到大的順序排序，第三次、第四次的成績分別為28和30，故中位數(shù)為＝＝29，故答案為：甲，29；（2）因?yàn)榧椎钠骄繄龅梅执笥谝业钠骄繄龅梅?，且甲的得分更穩(wěn)定，所以甲隊(duì)員表現(xiàn)更好．（注：答案不唯一，合理即可）；（3）甲的綜合得分為：26.5×1+8×1.5+2×（﹣1）＝36.5．乙的綜合得分為：26×1+10×1.5+3×（﹣1）＝38．因?yàn)?8＞36.5，所以乙隊(duì)員表現(xiàn)更好．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)，加權(quán)平均數(shù)、方差的計(jì)算，掌握以上計(jì)算方法是關(guān)鍵．18．（9分）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫出反比例函數(shù)的圖象．（3）將矩形ABCD向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為．【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；（2）分別找出三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（1，6），（2，3），（6，1）即可畫出函數(shù)圖象；（3）令，再求其于E點(diǎn)橫坐標(biāo)得距離就是所求平移距離．【解答】（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，2），代入得∴k＝6，∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）如圖，（3）由圖知E（6，4），令得，x＝，∵6﹣＝，∴矩形ABCD向左平移個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)E落在反比例函數(shù)圖象上．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（9分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射線CM交BE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形．【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作出圖形即可；（2）由（1），得∠ECF＝∠A，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形CDBF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD＝BD，根據(jù)菱形的判定定理得到?CDBF是菱形．【解答】（1）解：如圖，∠ECM即為所求；（2）證明：由（1），得∠ECF＝∠A，∴CF∥AB．∵BE∥DC，∴四邊形CDBF是平行四邊形，∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD＝BD，∴?CDBF是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，角平分線的定義，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．20．（9分）如圖1，塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線DE相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大，此時(shí)∠APB為最大視角．（1）請(qǐng)僅就圖2的情形證明∠APB＞∠ADB．（2）經(jīng)測量，最大視角∠APB為30°，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角∠APE為60°，點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73）．【分析】（1）如圖，連接BM，根據(jù)圓周角定理得到∠AMB＝∠APB．由∠AMB＞∠ADB，得到∠APB＞∠ADB；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到（m），得到∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)AD與圓交于M，連接BM．則∠AMB＝∠APB．∵∠AMB＞∠ADB，∴∠APB＞∠ADB；（2）解：∵∠APH＝60°，PH＝6m，∵，∴（m），∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∵，∴（m），∴，答：塑像AB的高約為6.9m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．21．（9分）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號(hào)召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動(dòng)，并準(zhǔn)備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為50g，營養(yǎng)成分表如下．（1）若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？（2）運(yùn)動(dòng)量大的人或青少年對(duì)蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？【分析】（1）設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，根據(jù)要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)選用A種食品m包，則選用B種食品（7﹣m）包，根據(jù)要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)每份午餐的總熱量為wkJ，利用每份午餐的總熱量＝每包A種食品的熱量×選用A種食品的數(shù)量+每包B種食品的熱量×選用B種食品的數(shù)量，可找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，根據(jù)題意得：，解得：．答：應(yīng)選用A種食品4包，B種食品2包；（2）設(shè)選用A種食品m包，則選用B種食品（7﹣m）包，根據(jù)題意得：10m+15（7﹣m）≥90，解得：m≤3．設(shè)每份午餐的總熱量為wkJ，則w＝700m+900（7﹣m），即w＝﹣200m+6300，∵﹣200＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝3時(shí)，w取得最小值，此時(shí)7﹣m＝7﹣3＝4．答：應(yīng)選用A種食品3包，B種食品4包．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．22．（10分）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度h（m）滿足關(guān)系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，v0（m/s）是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．（1）小球被發(fā)射后s時(shí)離地面的高度最大（用含v0的式子表示）．（2）若小球離地面的最大高度為20m，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時(shí)間為3s．”已知實(shí)驗(yàn)樓高15m，請(qǐng)判斷他的說法是否正確，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)t＝﹣時(shí)，離地面的高度最大；（2）取t＝，h＝20，代入所給的關(guān)系式，即可求得小球被發(fā)射時(shí)的速度；（3）把所給關(guān)系式中的v0換成（2）中求得的速度20，取h＝15，求得相應(yīng)的時(shí)間，相減即為兩次間隔的時(shí)間，即可判斷小明的說法是否正確．【解答】解：（1）∵﹣5＜0，∴當(dāng)t＝﹣＝時(shí)，離地面的高度最大．故答案為：；（2）當(dāng)t＝時(shí)，h＝20．．解得：v0＝20．答：小球被發(fā)射時(shí)的速度是20m/s；（3）小明的說法不正確．理由如下：由（2）得：h＝﹣5t2+20t．當(dāng)h＝15時(shí)，15＝﹣5t2+20t．解方程，得：t1＝1，t2＝3．∵3﹣1＝2（s），∴小明的說法不正確．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．應(yīng)注意使用前一問中得到的結(jié)論，來解決后一問中的問題．23．（10分）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)．請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．（1）操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有②④（填序號(hào)）．（2）性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB＝AD，AC是它的一條對(duì)角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若BC＝m，DC＝n，