高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系(真題測(cè)試)(原卷版+解析)VIP

專題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系（真題測(cè)試）一、單選題1．（2023·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高三期中（文））已知均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直三棱柱中，若，，，則（

）A． B． C． D．3．(2023·上海·高考真題（理））設(shè)是空間中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．5 D．104．（北京·高考真題（理））在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）A． B．且C．且 D．且5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)），若三向量共面，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面二、多選題9．(2023·湖北·二模）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（

）A． B．C．若，則 D．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面C．對(duì)任意點(diǎn)，則有平面D．存在點(diǎn)，使得平面11．(2023·江蘇·常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為12．（2023·全國(guó)·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面三、填空題13．(2023·全國(guó)·高考真題）如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________14．（廣東·高考真題（理））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．15．（寧夏·高考真題（理））已知向量，且，則____________．16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．四、解答題17．（江蘇·高考真題）記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍．18．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，求證：（1）四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；（2）；（3）.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的長(zhǎng)度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說(shuō)明理由．20．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz．（1）寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；（2）求證：A1F⊥C1E；（3）若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：．21．（2023·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如下圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求：(1)的值；(2)線段EG的長(zhǎng)；(3)異面直線與所成角的大小.22．（2023·江蘇·礦大附中高三階段練習(xí)）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．專題8.6空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系（真題測(cè)試）一、單選題1．（2023·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高三期中（文））已知均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．4答案：C【解析】分析：結(jié)合向量夾角，先求解，再求解.【詳解】．故選：C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直三棱柱中，若，，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算直接可得解.【詳解】由已知得，故選：A.3．(2023·上海·高考真題（理））設(shè)是空間中給定的5個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．5 D．10答案：B【解析】【詳解】考點(diǎn)：向量的加法及其幾何意義．分析：根據(jù)所給的四個(gè)固定的點(diǎn)，和以這四個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)的向量的和是一個(gè)零向量，根據(jù)向量加法法則，知這樣的點(diǎn)是一個(gè)唯一確定的點(diǎn)．解：根據(jù)所給的四個(gè)向量的和是一個(gè)零向量，當(dāng)A1，A2，A3，A4，A5是平面上給定的5個(gè)不同點(diǎn)確定以后，在平面上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足使得四個(gè)向量的和等于零向量，故選B．4．（北京·高考真題（理））在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）A． B．且C．且 D．且答案：D【解析】【詳解】分析：試題分析：結(jié)合其空間立體圖形易知，，，所以且，故選D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】分析：根據(jù)已知條件，由，利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可求解.【詳解】解：因?yàn)槿忮F中，，，，所以，故選：A.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)），若三向量共面，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．5答案：D【解析】分析：利用向量共面的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使即，解得．故選：D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面答案：B【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對(duì)于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對(duì)于B，因，則，即，B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B二、多選題9．(2023·湖北·二模）定義空間兩個(gè)非零向量的一種運(yùn)算：，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（

）A． B．C．若，則 D．答案：BD【解析】分析：理解新定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，若為負(fù)數(shù)，可知，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由定義知B正確，對(duì)于C，若，則，共線，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由定義知，故D正確．故選：BD10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意點(diǎn)，則有、、、四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面C．對(duì)任意點(diǎn)，則有平面D．存在點(diǎn)，使得平面答案：BD【解析】分析：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)榈酌?，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、、，設(shè)，其中，則，，，設(shè)，則，解得，故存在點(diǎn)，使得、、、四點(diǎn)共面，B對(duì)；，，，設(shè)，所以，，解得，不合乎題意，A錯(cuò)；，，若平面，平面，則，解得，C錯(cuò)；設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，解得，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，D對(duì).故選：BD.11．(2023·江蘇·常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為線段，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為定值C． D．的最小值為答案：ABC【解析】分析：證明平面，可判斷A；由平面，可得點(diǎn)到平面的距離為定值，又為定值，可判斷B；計(jì)算的取值范圍可判斷C；結(jié)合C可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，連接，由正方體可知，且平面，而，又，所以平面，而平面，所以，即，故A正確；選項(xiàng)B，連接，，，，，，由點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，得，平面，平面，故平面，即點(diǎn)到平面的距離為定值，又，，故為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；選項(xiàng)C，連接，，由點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，故，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，故，即，，故C正確；選項(xiàng)D，，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．（2023·全國(guó)·高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面答案：BD【解析】分析：對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．三、填空題13．(2023·全國(guó)·高考真題）如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________答案：【解析】【詳解】如圖所示，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以,所以.14．（廣東·高考真題（理））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．答案：【解析】分析：利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積表示求解.【詳解】解：，解得故答案為：15．（寧夏·高考真題（理））已知向量，且，則____________．答案：3【解析】分析：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得求出，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，解得，故答案?.16．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，已知AB=2，BC=t，若在線段AB上存在點(diǎn)E，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．答案：【解析】分析：如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，然后利用空間向量表示出的關(guān)系，從而可求得結(jié)果【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，（）則，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閠>0所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是，故答案為：四、解答題17．（江蘇·高考真題）記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍．答案：【解析】分析：【詳解】建構(gòu)如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：???，則.由，得，而；又.由，化簡(jiǎn)得，解得.18．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，求證：（1）四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；（2）；（3）.答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）利用共面向量定理證明四點(diǎn)共面；（2）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算找到的關(guān)系，證明；（3）利用向量加減及數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】證明：（1），∴A、B、C、D四點(diǎn)共面．，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．（2）.（3）.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的長(zhǎng)度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說(shuō)明理由．答案：（1）；（2）；（3）不垂直，理由見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)空間中兩點(diǎn)的距離公式求解即可；（3）由空間中向量的數(shù)量積公式，證明即可.【詳解】（1）由于為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以由得：點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，；（2）由兩點(diǎn)距離公式得：，；（3）直線與直線不垂直理由：由（1）中各點(diǎn)坐標(biāo)得：與不垂直，所以直線與直線不垂直20．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz．（1）寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；（2）求證：A1F⊥C1E；（3）若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：．答案：（1）E(a，x，0)，F(xiàn)(a－x，a，0)；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【解析】分析：(1)在空間直角坐標(biāo)中結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征，能求出E,F的坐標(biāo)；(2)求出，利用向量法能證明A1F⊥C1E；(3)由A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，得到,從而E,F,分別AB,BC的中點(diǎn)，由此能證明.【詳解】（1）在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)且，其中以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，所以E(a，x，0)，F(xiàn)(a－x，a，0)．（2）證明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，∴＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴⊥，∴A1F⊥C1E．（3）證明：∵A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，共面．選與為在平