高考數(shù)學(xué)大題精做專題06離散型隨機(jī)變量的期望與方差(第四篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計】專題06離散型隨機(jī)變量的期望與方差類型對應(yīng)典例以古典概型為背景的期望和方差典例1以事件的獨(dú)立性為背景的的期望和方差典例2離散型隨機(jī)變量的期望的應(yīng)用典例3兩個隨機(jī)變量之間的期望和方差的關(guān)系典例4離散型隨機(jī)變量的期望的方案判斷問題典例5【典例1】【2020屆湖南省婁底市高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】為響應(yīng)“文化強(qiáng)國建設(shè)”號召，并增加學(xué)生們對古典文學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，雅禮中學(xué)計劃建設(shè)一個古典文學(xué)熏陶室.為了解學(xué)生閱讀需求，隨機(jī)抽取200名學(xué)生做統(tǒng)計調(diào)查.統(tǒng)計顯示，男生喜歡閱讀古典文學(xué)的有64人，不喜歡的有56人；女生喜歡閱讀古典文學(xué)的有36人，不喜歡的有44人.(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認(rèn)為喜歡閱讀古典文學(xué)與性別有關(guān)系？(2)為引導(dǎo)學(xué)生積極參與閱讀古典文學(xué)書籍，語文教研組計劃牽頭舉辦雅禮教育集團(tuán)古典文學(xué)閱讀交流會.經(jīng)過綜合考慮與對比，語文教研組已經(jīng)從這200人中篩選出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這9名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加交流會，記為參加交流會的5人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.841【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意,可得列聯(lián)表.并由公式求得的觀測值.結(jié)合所給的參考數(shù)據(jù)即可判斷.（2）設(shè)5人中男生有表人,女生人,則.根據(jù)題意可知分別求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望值.【典例2】甲、乙兩隊進(jìn)行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率；（2）設(shè)本場比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.(用分?jǐn)?shù)表示)【思路引導(dǎo)】（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局?jǐn)?shù)為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.【典例3】【2020屆安徽省安慶市上學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)】某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試，該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機(jī)中進(jìn)行初測。若3個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個工程手機(jī)中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個工程手機(jī)中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機(jī)中進(jìn)行二測，二測時，2個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個工程手機(jī)中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分，手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；（2）先求出每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.【典例4】【云南省昆明市2019屆高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測】某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹.某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗、、，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為0.8，引種樹苗、的自然成活率均為.（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農(nóng)戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.①求一棵種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？【思路引導(dǎo)】（1）依題意，得到的所有可能值為，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望；（2）由（1）可知當(dāng)時，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵樹苗最終成活的概率；②記為棵樹苗的成活棵數(shù)，為棵樹苗的利潤，求得，要使，即可求解.【典例5】【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考】某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)10304020（1）若將頻率視為概率，從這個水果中有放回地隨機(jī)抽取個，求恰好有個水果是禮品果的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.方案：不分類賣出，單價為元.方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(元/kg）16182224從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個，再從抽取的個水果中隨機(jī)抽取個，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）計算出從個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到禮品果的概率；則可利用二項分布的概率公式求得所求概率；（2）計算出方案單價的數(shù)學(xué)期望，與方案的單價比較，選擇單價較低的方案；（3）根據(jù)分層抽樣原則確定抽取的個水果中，精品果個，非精品果個；則服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率計算公式可得到每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分布列；再利用數(shù)學(xué)期望的計算公式求得結(jié)果.【針對訓(xùn)練】1.【2020屆安徽省蕪湖市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】小明和父母都喜愛《中國好聲音》這欄節(jié)目，年月日晚在鳥巢進(jìn)行中國好聲音終極決賽，四強(qiáng)選手分別為李榮浩戰(zhàn)隊的邢晗銘，那英戰(zhàn)隊的斯丹曼簇，王力宏戰(zhàn)隊的李芷婷，庾澄慶戰(zhàn)隊的陳其楠，決賽后四位選手相應(yīng)的名次為、、、，某網(wǎng)站為提升娛樂性，邀請網(wǎng)友在比賽結(jié)束前對選手名次進(jìn)行預(yù)測.現(xiàn)用、、、表示某網(wǎng)友對實(shí)際名次為、、、的四位選手名次做出的一種等可能的預(yù)測排列，是該網(wǎng)友預(yù)測的名次與真實(shí)名次的偏離程度的一種描述.（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）按（1）中的結(jié)果，若小明家三人的排序號與真實(shí)名次的偏離程度都是，計算出現(xiàn)這種情況的概率（假定小明家每個人排序相互獨(dú)立）.2.【2020屆吉林省通化市梅河口市第五中學(xué)高三上學(xué)期期末】某工廠加工某種零件需要經(jīng)過，，三道工序，且每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序加工合格的概率分別為，，.三道工序都合格的零件為一級品；恰有兩道工序合格的零件為二級品；其它均為廢品，且加工一個零件為二級品的概率為.（1）求；（2）若該零件的一級品每個可獲利200元，二級品每個可獲利100元，每個廢品將使工廠損失50元，設(shè)一個零件經(jīng)過三道工序加工后最終獲利為元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.3.為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費(fèi)，超過小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.4.【湖北省十堰市2019年高三年級四月調(diào)研考試?yán)怼磕炒笮凸S有臺大型機(jī)器，在個月中，臺機(jī)器至多出現(xiàn)次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時需名工人進(jìn)行維修．每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機(jī)器的能力，每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進(jìn)行維修，則稱工廠能正常運(yùn)行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有名維修工人．（?。┯浽搹S每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘名維修工人？5.【2020年陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測卷（一)】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標(biāo)賽男子團(tuán)體決賽中，中國隊與韓國隊相遇，中國隊男子選手A，B，C，D，E依次出場比賽，在以往對戰(zhàn)韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比賽勝負(fù)相互獨(dú)立.賽會釆用5局3勝制，先贏3局者獲得勝利.（1）在決賽中，中國隊以3∶1獲勝的概率是多少？（2）求比賽局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.6.【安徽省阜陽市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.7.【2020屆重慶市高三上學(xué)期期末測試卷理科數(shù)學(xué)】某地區(qū)在“精準(zhǔn)扶貧”工作中切實(shí)貫徹習(xí)近平總書記提出的“因地制宜”的指導(dǎo)思想，扶貧工作小組經(jīng)過多方調(diào)研，綜合該地區(qū)的氣候、地質(zhì)、地理位置等特點(diǎn)，決定向當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶推行某類景觀樹苗的種植.工作小組根據(jù)市場前景重點(diǎn)考察了A，B，C三種景觀樹苗，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為0.75.（1）若引種樹苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；（2）已知引種一棵樹苗B需花費(fèi)100元，引種后沒有自然成活的樹苗B中有80%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，每棵需花費(fèi)50元，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.引種后自然成活的樹苗B及經(jīng)人工栽培技術(shù)處理后成活的樹苗B在后期（成活后至長成可出售的小樹）的培養(yǎng)過程中每棵均需再花費(fèi)200元，記引種一棵樹苗B的總花費(fèi)為X元，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.8.【湖北省黃岡中學(xué)2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】10月1日，某品牌的兩款最新手機(jī)（記為型號，型號）同時投放市場，手機(jī)廠商為了解這兩款手機(jī)的銷售情況，在10月1日當(dāng)天，隨機(jī)調(diào)查了5個手機(jī)店中這兩款手機(jī)的銷量（單位：部），得到下表：手機(jī)店型號手機(jī)銷量6613811型號手機(jī)銷量1291364（Ⅰ）若在10月1日當(dāng)天，從，這兩個手機(jī)店售出的新款手機(jī)中各隨機(jī)抽取1部，求抽取的2部手機(jī)中至少有一部為型號手機(jī)的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從這5個手機(jī)店中任選3個舉行促銷活動，用表示其中型號手機(jī)銷量超過型號手機(jī)銷量的手機(jī)店的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）經(jīng)測算，型號手機(jī)的銷售成本（百元）與銷量（部）滿足關(guān)系.若表中型號手機(jī)銷量的方差，試給出表中5個手機(jī)店的型號手機(jī)銷售成本的方差的值.（用表示，結(jié)論不要求證明）9.【四川省高中2019屆畢業(yè)班第二次診斷性考】今年年初，習(xí)近平在《告臺灣同胞書》發(fā)表40周年紀(jì)念會上的講話中說道：“我們要積極推進(jìn)兩岸經(jīng)濟(jì)合作制度化打造兩岸共同市場，為發(fā)展增動力，為合作添活力，壯大中華民族經(jīng)濟(jì)兩岸要應(yīng)通盡通，提升經(jīng)貿(mào)合作暢通、基礎(chǔ)設(shè)施聯(lián)通、能源資源互通、行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)共通，可以率先實(shí)現(xiàn)金門、馬祖同福建沿海地區(qū)通水、通電、通氣、通橋要推動兩岸文化教育、醫(yī)療衛(wèi)生合作，社會保障和公共資源共享，支持兩岸鄰近或條件相當(dāng)?shù)貐^(qū)基本公共服務(wù)均等化、普惠化、便捷化”某外貿(mào)企業(yè)積極響應(yīng)習(xí)主席的號召，在春節(jié)前夕特地從臺灣進(jìn)口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)100家大型農(nóng)貿(mào)市場提供貨源，據(jù)統(tǒng)計，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量（單位：噸），以分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值和年平均銷售量的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）在年平均銷售量為的四組大型農(nóng)貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取11家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在，的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？（3）在（2）的條件下，再從這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)市場中隨機(jī)抽取3家參加國臺辦的宣傳交流活動，記恰有家在組，求隨機(jī)變量的分布列與期望和方差．備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計】專題06離散型隨機(jī)變量的期望與方差類型對應(yīng)典例以古典概型為背景的期望和方差典例1以事件的獨(dú)立性為背景的的期望和方差典例2離散型隨機(jī)變量的期望的應(yīng)用典例3兩個隨機(jī)變量之間的期望和方差的關(guān)系典例4離散型隨機(jī)變量的期望的方案判斷問題典例5【典例1】【2020屆湖南省婁底市高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】為響應(yīng)“文化強(qiáng)國建設(shè)”號召，并增加學(xué)生們對古典文學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，雅禮中學(xué)計劃建設(shè)一個古典文學(xué)熏陶室.為了解學(xué)生閱讀需求，隨機(jī)抽取200名學(xué)生做統(tǒng)計調(diào)查.統(tǒng)計顯示，男生喜歡閱讀古典文學(xué)的有64人，不喜歡的有56人；女生喜歡閱讀古典文學(xué)的有36人，不喜歡的有44人.(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認(rèn)為喜歡閱讀古典文學(xué)與性別有關(guān)系？(2)為引導(dǎo)學(xué)生積極參與閱讀古典文學(xué)書籍，語文教研組計劃牽頭舉辦雅禮教育集團(tuán)古典文學(xué)閱讀交流會.經(jīng)過綜合考慮與對比，語文教研組已經(jīng)從這200人中篩選出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這9名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加交流會，記為參加交流會的5人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.841【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意,可得列聯(lián)表.并由公式求得的觀測值.結(jié)合所給的參考數(shù)據(jù)即可判斷.（2）設(shè)5人中男生有表人,女生人,則.根據(jù)題意可知分別求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望值.解：（1）根據(jù)所給條件,制作列聯(lián)表如下：男生女生總計喜歡閱讀古典文學(xué)6436100不喜歡閱讀古典文學(xué)5644100總計12080200所以的觀測值,因為的觀測值,由所給臨界值表可知,能夠在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認(rèn)為喜歡閱讀古典文學(xué)與性別有關(guān)；（2）設(shè)參加交流會的5人中喜歡古典文學(xué)的男生代表人,女生代表人,則,根據(jù)已知條件可得；；；,所以的分布列是：12345所以.【典例2】甲、乙兩隊進(jìn)行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率；（2）設(shè)本場比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.(用分?jǐn)?shù)表示)【思路引導(dǎo)】（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局?jǐn)?shù)為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.解：（1）設(shè)“甲隊勝三局”為事件，“甲隊勝二局”為事件，則，，所以，前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率為（2）甲隊勝三局或乙勝三局，甲隊或乙隊前三局勝局，第局獲勝甲隊或乙隊前四局勝局，第局獲勝的分部列為：數(shù)學(xué)期望為【典例3】【2020屆安徽省安慶市上學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)】某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試，該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機(jī)中進(jìn)行初測。若3個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個工程手機(jī)中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個工程手機(jī)中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機(jī)中進(jìn)行二測，二測時，2個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個工程手機(jī)中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分，手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；（2）先求出每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.解：（1）依題意，，故．又因為．所以，所求平均數(shù)為（萬分）（2）由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個工程機(jī)中進(jìn)行檢測評分達(dá)到11萬分的概率．設(shè)每顆芯片的測試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為（元），因為，所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片．【典例4】【云南省昆明市2019屆高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測】某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹.某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗、、，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為0.8，引種樹苗、的自然成活率均為.（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農(nóng)戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.①求一棵種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？【思路引導(dǎo)】（1）依題意，得到的所有可能值為，求得相應(yīng)的概率，得出隨機(jī)變量的分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望；（2）由（1）可知當(dāng)時，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵樹苗最終成活的概率；②記為棵樹苗的成活棵數(shù)，為棵樹苗的利潤，求得，要使，即可求解.解：（1）依題意，的所有可能值為0，1，2，3.則；，即，，；的分布列為：0123所以.（2）當(dāng)時，取得最大值.①一棵樹苗最終成活的概率為.②記為棵樹苗的成活棵數(shù)，為棵樹苗的利潤，則，，，，要使，則有.所以該農(nóng)戶至少種植700棵樹苗，就可獲利不低于20萬元.【典例5】【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考】某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)10304020（1）若將頻率視為概率，從這個水果中有放回地隨機(jī)抽取個，求恰好有個水果是禮品果的概率.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.方案：不分類賣出，單價為元.方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價(元/kg）16182224從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個，再從抽取的個水果中隨機(jī)抽取個，表示抽取的是精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）計算出從個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到禮品果的概率；則可利用二項分布的概率公式求得所求概率；（2）計算出方案單價的數(shù)學(xué)期望，與方案的單價比較，選擇單價較低的方案；（3）根據(jù)分層抽樣原則確定抽取的個水果中，精品果個，非精品果個；則服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率計算公式可得到每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分布列；再利用數(shù)學(xué)期望的計算公式求得結(jié)果.解：（1）設(shè)從個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到禮品果的事件為，則現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取個，設(shè)抽到禮品果的個數(shù)為，則恰好抽到個禮品果的概率為：（2）設(shè)方案的單價為，則單價的期望值為：從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用第一種方案（3）用分層抽樣的方法從個水果中抽取個，則其中精品果個，非精品果個現(xiàn)從中抽取個，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為：則；；；的分布列如下：【針對訓(xùn)練】1.【2020屆安徽省蕪湖市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】小明和父母都喜愛《中國好聲音》這欄節(jié)目，年月日晚在鳥巢進(jìn)行中國好聲音終極決賽，四強(qiáng)選手分別為李榮浩戰(zhàn)隊的邢晗銘，那英戰(zhàn)隊的斯丹曼簇，王力宏戰(zhàn)隊的李芷婷，庾澄慶戰(zhàn)隊的陳其楠，決賽后四位選手相應(yīng)的名次為、、、，某網(wǎng)站為提升娛樂性，邀請網(wǎng)友在比賽結(jié)束前對選手名次進(jìn)行預(yù)測.現(xiàn)用、、、表示某網(wǎng)友對實(shí)際名次為、、、的四位選手名次做出的一種等可能的預(yù)測排列，是該網(wǎng)友預(yù)測的名次與真實(shí)名次的偏離程度的一種描述.（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）按（1）中的結(jié)果，若小明家三人的排序號與真實(shí)名次的偏離程度都是，計算出現(xiàn)這種情況的概率（假定小明家每個人排序相互獨(dú)立）.【思路引導(dǎo)】（1）列舉出所有的事件，求出對應(yīng)的的值，利用古典概型的概率公式可計算出在相應(yīng)取值下的概率，由此可得出隨機(jī)變量的分布列，并根據(jù)分布列可計算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；（2）由（1）中分布列的數(shù)據(jù)可知，然后利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計算出所求概率.解：（1）以為一個基本事件，如下表所示：所以，的可能取值集合為.分布列如下表所示：因此，；（2）因為，將三人評分后都有的概率記作，由上述結(jié)果的獨(dú)立性得.2.【2020屆吉林省通化市梅河口市第五中學(xué)高三上學(xué)期期末】某工廠加工某種零件需要經(jīng)過，，三道工序，且每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序加工合格的概率分別為，，.三道工序都合格的零件為一級品；恰有兩道工序合格的零件為二級品；其它均為廢品，且加工一個零件為二級品的概率為.（1）求；（2）若該零件的一級品每個可獲利200元，二級品每個可獲利100元，每個廢品將使工廠損失50元，設(shè)一個零件經(jīng)過三道工序加工后最終獲利為元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）二級品說明第一道工序不合格，第二、三道工序合格，或第二道工序不合格，第一、三道工序合格，或第三道工序不合格，第一、二道工序合格，由獨(dú)立事件的概率公式可計算出；（2）的可能取值為200，100，，計算出概率后得分布列，由期望公式可計算期望．解：（1）設(shè)零件經(jīng)，，三道工序加工合格的事件分別記為，，，則，，，，，.設(shè)事件為“生產(chǎn)一個零件為二級品”，由已知，，是相互獨(dú)立事件，則，所以.（2）的可能取值為200，100，，，，，則的分布列為200100-50所以.3.為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費(fèi)，超過小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.【思路引導(dǎo)】（1）甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為、、，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（2）確定隨機(jī)變量的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得出隨機(jī)變量的分布列，然后利用數(shù)學(xué)期望公式和方差公式求出和.解：（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為、、元，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為.則兩人所付費(fèi)用相同的概率為；（2）設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為..4.【湖北省十堰市2019年高三年級四月調(diào)研考試?yán)怼磕炒笮凸S有臺大型機(jī)器，在個月中，臺機(jī)器至多出現(xiàn)次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時需名工人進(jìn)行維修．每臺機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機(jī)器的能力，每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進(jìn)行維修，則稱工廠能正常運(yùn)行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有名維修工人．（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘名維修工人？【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計算出事故機(jī)器不超過臺的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其對應(yīng)的概率，得出的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求出有名維修工人時的工廠利潤，得出結(jié)論．解：（1）因為該工廠只有名維修工人，故要使工廠正常運(yùn)行，最多只有臺大型機(jī)器出現(xiàn)故障．∴該工廠正常運(yùn)行的概率為：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列為：X3144P∴．（ⅱ）若工廠再招聘一名維修工人，則工廠一定能正常運(yùn)行，工廠所獲利潤為萬元，因為，∴該廠不應(yīng)該再招聘名維修工人．5.【2020年陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測卷（一)】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標(biāo)賽男子團(tuán)體決賽中，中國隊與韓國隊相遇，中國隊男子選手A，B，C，D，E依次出場比賽，在以往對戰(zhàn)韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比賽勝負(fù)相互獨(dú)立.賽會釆用5局3勝制，先贏3局者獲得勝利.（1）在決賽中，中國隊以3∶1獲勝的概率是多少？（2）求比賽局?jǐn)?shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）首先要確定中國隊以3∶1獲勝需要滿足的條件，即前3局比賽中至少要勝2場，且第4局必勝，再利用獨(dú)立事件的概率計算公式即可求解；（2）首先要確定比賽結(jié)果的各種情況（包含中國勝和韓國勝），在3∶1，3∶2這兩種情況中要先確定哪局比賽輸了再計算出相應(yīng)的概率，從而得到比賽局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）若中國隊以3∶1獲勝，則前三局中贏兩局輸局，第四局比賽勝利，設(shè)中國隊以3∶1獲勝為事件A，則.（2）設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為X，則X的取值分別為3，4，5，則，，，則X的的分布列為X345P0.5200.3120.168.6.【安徽省阜陽市2019-2020學(xué)年高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學(xué)】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；(2)任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元，分別求出，，，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則.（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為（元）.7.【2020屆重慶市高三上學(xué)期期末測試卷理科數(shù)學(xué)】某地區(qū)在“精準(zhǔn)扶貧”工作中切實(shí)貫徹習(xí)近平總書記提出的“因地制宜”的指導(dǎo)思想，扶貧工作小組經(jīng)過多方調(diào)研，綜合該地區(qū)的氣候、地質(zhì)、地理位置等特點(diǎn)，決定向當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶推行某類景觀樹苗的種植.工作小組根據(jù)市場前景重點(diǎn)考察了A，B，C三種景觀樹苗，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為0.75.（1）若引種樹苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；（2）已知引種一棵樹苗B需花費(fèi)100元，引種后沒有自然成活的樹苗B中有80%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，每棵需花費(fèi)50元，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.引種后自然成活的樹苗B及經(jīng)人工栽培技術(shù)處理后成活的樹苗B在后期（成活后至長成可出售的小樹）的培養(yǎng)過程中每棵均需再花費(fèi)200元，記引種一棵樹苗B的總花費(fèi)為X元，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）分別求出兩顆成活一顆不成活的概率和三顆均成活的概率，相加即可求解；（2）X的可能取值為：100，150，300，350.分別求出，，，，寫出分布列，按照期望公式，即可求解.解：（1）設(shè)事件D為：引種三種樹苗，至少自然成活2棵；則；（2）X的可能取值為：100，150，300，350.則有：，，，，所以其分布列如下X100150300350P0.050.040.750.16.8.【湖北省黃岡中學(xué)2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】10月1日，某品牌的兩款最新手機(jī)（記為型號，型號）同時投放市場，手機(jī)廠商為了解這兩款手機(jī)的銷售情況，在10月1日當(dāng)天，隨機(jī)調(diào)查了5個手機(jī)店中這兩款手機(jī)的銷量（單位：部），得到下表：手機(jī)店型號手機(jī)銷量6613811型號手機(jī)銷量1291364（Ⅰ）若在10月1日當(dāng)天，從，這兩個手機(jī)店售出的新款手機(jī)中各隨機(jī)抽取1部，求抽取的2部手機(jī)中至少有一部為型號手機(jī)的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從這5個手機(jī)店中任選3個舉行促銷活動，用表示其中型號手機(jī)銷量超過型號手機(jī)銷量的手機(jī)店的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）經(jīng)測算，型號手機(jī)的銷售成本（百元）與銷量（部）滿足關(guān)系.若表中型號手機(jī)銷量的方差