初中數(shù)學北師大八年級下冊（2023年修訂） 因式分解公式法

第四章因式分解

3.公式法（二）

一、學生起點分析

學生的知識技能基礎(chǔ)：學生在七年級下冊第一章中已經(jīng)學習過完全平方公式，

將其逆用就是本節(jié)課所涉及的主體知識.對于公式逆用，學生已經(jīng)不是第一次接觸

了，在上一節(jié)課中學生已經(jīng)經(jīng)歷過將平方差公式逆用的過程，應(yīng)該說是比較熟悉的.

學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：通過上節(jié)課的學習，學生積累了一定的學習經(jīng)驗.本節(jié)課的

學習模式與前者基本相同：公式倒用，分析公式的結(jié)構(gòu)特征，整體思想換元進行分

解因式以及要求分解徹底.這些活動方法是學生非常熟悉的觀察、對比、討論等方法,

學生有較好的活動經(jīng)驗.

二、教學任務(wù)分析

學生在學習了用平方差公式進行因式分解的基礎(chǔ)上，本節(jié)課又安排了用完全平

方公式進行因式分解，旨在讓學生能熟練地應(yīng)對各種形式的多項式的因式分解，為

下一章分式的運算以及今后的方程、函數(shù)等知識的學習奠定一個良好的基礎(chǔ).

本節(jié)課的具體教學目標為：

1.知識與技能：使學生了解運用公式法分解因式的意義；會用公式法（直接用

公式不超過兩次）分解因式（指數(shù)是正整數(shù)）；使學生清楚地知道提公因式法是分解

因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進行分解因式.

2.過程與方法：經(jīng)歷通過整式乘法的完全平方公式逆向得出運用公式法分解因

式的方法的過程，發(fā)展學生的逆向思維和推理能力.

3.情感與態(tài)度：培養(yǎng)學生靈活的運用知識的能力和積極思考的良好行為，體會

因式分解在數(shù)學學科中的地位和價值.

三、教學過程分析

本節(jié)課設(shè)計了七個教學環(huán)節(jié)：復(fù)習回顧一一學習新知一一落實基礎(chǔ)一一范例學

習一一隨堂練習一一聯(lián)系拓廣一一自主小結(jié).

第一環(huán)節(jié)復(fù)習回顧

活動內(nèi)容：

(a+i)2=a2+2ab+b2

完全平方公式：,,2

(a-b")2=a2Zab+b?

現(xiàn)在我們把完全平方公式反過來，可得：

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

兩個數(shù)的平方和，加上這兩個數(shù)的

積的兩倍，等于這兩數(shù)和的平方.

活動目的：回顧完全平方公式，直入主題將完全平方公式倒置得新的分解因式方法.

注意事項：在上一課時平方差公式倒置學習的基礎(chǔ)上，學生比較容易理解和接受此

課時的學習鋪墊內(nèi)容.

第二環(huán)節(jié)學習新知

活動內(nèi)容：

學習新知__________________________

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-Zab+bz-(a-b)2

兩個數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩個數(shù)

的積的兩倍，等于這兩數(shù)和(或者差)的平方.

a2+2ab+Z?2

形如a2-2ab+b2的多項式稱為完全平方式?

9x2-6X+1=(3X)2-2-(3X)-1+12=(3x-I)2

活動目的：總結(jié)歸納完全平方公式的基本特征，講授新知形如/±2砧+〃的多項式稱

為完全平方式.

注意事項：舉例說明便于學生理解.同時歸納總結(jié)，由分解因式與整式乘法的互逆

關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，

這種分解因式的方法叫做運用公式法.

第三環(huán)節(jié)落實基礎(chǔ)

活動內(nèi)容：

1.判別下列各式是不是完全平方式.

(1)/+/；

(2)x2+2盯+〉2；

(3)X2-2xy+y2；

(4)x2+2xy-y2；

(5)—x'+2xy-y1.

2.請補上一項，使下列多項式成為完全平方式.

(1)d++優(yōu)

(2)4a2+9從+；

(3)X2-+4y2；

(4)a2++%；

(5)+2x1y+.

結(jié)論：找完全平方式可以緊扣下列口訣：首平方、尾平方，首尾相乘兩倍在中央；

完全平方式可以進行因式分解，

a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=Qa+b)2

活動目的：加深學生對完全平方式特征的理解，為后面的分解因式做能力鋪墊.

注意事項：由于有了七年級的整式乘法的學習基礎(chǔ)，同時對照口訣，大多數(shù)學生能

順利識別完全平方式，但少部分同學由于對完全平方公式的特征的理解模糊，不能

很好地掌握完全平方公式，這需要老師更加耐心地引導和啟發(fā).

第四環(huán)節(jié)范例學習

活動內(nèi)容：

例1.把下列各式因式分解：

(1)X2+14X+49⑵4/-12仍+9〃

(3)(，〃+〃尸一6(加+〃)+9(4)(m-2/?)2-2(2n-in){m+?)+(m+n)2

活動目的：(1)培養(yǎng)學生對平方差公式的應(yīng)用能力;

(2)讓學生理解在完全平方公式中的a與b不僅可以表示單項式，也可以

表示多項式.

注意事項：靈活掌握完全平方式的特征成為運用公式法進行分解因式的關(guān)鍵，在運

用整體法時，注意去括號后的符號變化和系數(shù)變化.

活動內(nèi)容：

例2.把下列各式因式分解：

(l)3ar2+6axy+3ay2(2)-x2-4y2+4xy

活動目的：對一個三項式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀

察它是否有公因式，使學生清楚地了解提公因式法(包括提取負號)是分解因式首

先考慮的方法，再考慮用完全平方公式分解因式.

注意事項：在綜合應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式時，一般按以下兩步完成：(1)

有公因式，先提公因式；(2)再用公式法進行因式分解.

第五環(huán)節(jié)隨堂練習

活動內(nèi)容：

1.判別下列各式是不是完全平方式，若是說出相應(yīng)的a、b各表示什么？

(1)x1-6x+9；

(2)l+4a2；

(3)x~—2x+4；

(4)4X2+4X-1；

m~2

(5)1+——m-,

4

(6)4y2-12xy+9x2.

2、把下列各式因式分解：

(1)m2-12mn+367?2(2)16a4+24a2b2+9b4

(3)(4)4-12(%-y)+9Cx-y)2

活動目的：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對完全平方公式的特征是

否清楚，對完全平方公式分解因式的運用是否得當，因式分解的步驟是否真正了解,

以便教師能及時地進行查缺補漏.

注意事項：當完全平方公式中的H與少表示兩個或兩個以上字母時，學生運用起來

有一定的困難，此時，教師應(yīng)結(jié)合完全平方公式的特征給學生以有效的學法指導.

第六環(huán)節(jié)聯(lián)系拓廣

活動內(nèi)容：

1.用簡便方法計算：20052-4010x2003+20032

2.將4爐+1再加上一個整式，使它成為完全平方式，你有幾種方法？

3.一天，小明在紙上寫了一個算式為4x2+8x+ll,并對小剛說：“無論x取何值，這個

代數(shù)式的值都是正值，你不信試一試？”

活動目的：題1考察學生靈活應(yīng)用能力，需要學生有一定的數(shù)感將-4010x2003拆成

-2x2005x2003的形式，從而利用完全平方公式進行簡便運算.題2是一道開放題旨在

考察學生的分類討論思想.題3難道較大，對學有余力的孩子可以適當引導學習.

注意事項：這3道習題的設(shè)置均有一定的難度，無需要求所有學生都能掌握，按學

生自身能力分層學習即可.

第七環(huán)節(jié)自主小結(jié)

活動內(nèi)容：從今天的課程中，你學到了哪些知識？掌握了哪些方法？你認為分解因

式中的平方差公式以及完全平方公式與乘法公式有什么關(guān)系？

結(jié)論：由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可

以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法.

活動目的：通過學生的回顧與反思，強化學生對整式乘法的完全平方公式與因式分

解的完全平方公式的互逆關(guān)系的理解，發(fā)展學生的觀察能力和逆向思維能力，加深

對類比數(shù)學思想的理解.

注意事項：學生認識到了以下事實：

(1)形如扇±2〃/>+配形式的多項式可以

用完全平方公式分解因式。

(2)因式分解通常先考慮提取公因式法方法。

再考慮運用公式方法。

(3)因式分解要徹底

課后作業(yè)：完成課后習題；

拓展作業(yè)：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除嗎？為什么？

四、教學設(shè)計反思

本節(jié)課我們學習了運用公式法分解因式的第二種方法，即逆用完全平方公式分

解因式的方法，使用該方法的關(guān)鍵就是觀察完全平方式的結(jié)構(gòu)特征：兩數(shù)的平方和

與這兩個數(shù)的乘積的2倍，具體應(yīng)用時要特別關(guān)注第二項的符號.

把一個多項式進行