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文檔簡介
第四章因式分解
3.公式法(二)
一、學生起點分析
學生的知識技能基礎(chǔ):學生在七年級下冊第一章中已經(jīng)學習過完全平方公式,
將其逆用就是本節(jié)課所涉及的主體知識.對于公式逆用,學生已經(jīng)不是第一次接觸
了,在上一節(jié)課中學生已經(jīng)經(jīng)歷過將平方差公式逆用的過程,應(yīng)該說是比較熟悉的.
學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ):通過上節(jié)課的學習,學生積累了一定的學習經(jīng)驗.本節(jié)課的
學習模式與前者基本相同:公式倒用,分析公式的結(jié)構(gòu)特征,整體思想換元進行分
解因式以及要求分解徹底.這些活動方法是學生非常熟悉的觀察、對比、討論等方法,
學生有較好的活動經(jīng)驗.
二、教學任務(wù)分析
學生在學習了用平方差公式進行因式分解的基礎(chǔ)上,本節(jié)課又安排了用完全平
方公式進行因式分解,旨在讓學生能熟練地應(yīng)對各種形式的多項式的因式分解,為
下一章分式的運算以及今后的方程、函數(shù)等知識的學習奠定一個良好的基礎(chǔ).
本節(jié)課的具體教學目標為:
1.知識與技能:使學生了解運用公式法分解因式的意義;會用公式法(直接用
公式不超過兩次)分解因式(指數(shù)是正整數(shù));使學生清楚地知道提公因式法是分解
因式的首先考慮的方法,再考慮用平方差公式或完全平方公式進行分解因式.
2.過程與方法:經(jīng)歷通過整式乘法的完全平方公式逆向得出運用公式法分解因
式的方法的過程,發(fā)展學生的逆向思維和推理能力.
3.情感與態(tài)度:培養(yǎng)學生靈活的運用知識的能力和積極思考的良好行為,體會
因式分解在數(shù)學學科中的地位和價值.
三、教學過程分析
本節(jié)課設(shè)計了七個教學環(huán)節(jié):復(fù)習回顧一一學習新知一一落實基礎(chǔ)一一范例學
習一一隨堂練習一一聯(lián)系拓廣一一自主小結(jié).
第一環(huán)節(jié)復(fù)習回顧
活動內(nèi)容:
(a+i)2=a2+2ab+b2
完全平方公式:,,2
(a-b")2=a2Zab+b?
現(xiàn)在我們把完全平方公式反過來,可得:
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
兩個數(shù)的平方和,加上這兩個數(shù)的
積的兩倍,等于這兩數(shù)和的平方.
活動目的:回顧完全平方公式,直入主題將完全平方公式倒置得新的分解因式方法.
注意事項:在上一課時平方差公式倒置學習的基礎(chǔ)上,學生比較容易理解和接受此
課時的學習鋪墊內(nèi)容.
第二環(huán)節(jié)學習新知
活動內(nèi)容:
學習新知__________________________
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-Zab+bz-(a-b)2
兩個數(shù)的平方和,加上(或減去)這兩個數(shù)
的積的兩倍,等于這兩數(shù)和(或者差)的平方.
a2+2ab+Z?2
形如a2-2ab+b2的多項式稱為完全平方式?
9x2-6X+1=(3X)2-2-(3X)-1+12=(3x-I)2
活動目的:總結(jié)歸納完全平方公式的基本特征,講授新知形如/±2砧+〃的多項式稱
為完全平方式.
注意事項:舉例說明便于學生理解.同時歸納總結(jié),由分解因式與整式乘法的互逆
關(guān)系可以看出,如果把乘法公式反過來,那么就可以用來把某些多項式分解因式,
這種分解因式的方法叫做運用公式法.
第三環(huán)節(jié)落實基礎(chǔ)
活動內(nèi)容:
1.判別下列各式是不是完全平方式.
(1)/+/;
(2)x2+2盯+〉2;
(3)X2-2xy+y2;
(4)x2+2xy-y2;
(5)—x'+2xy-y1.
2.請補上一項,使下列多項式成為完全平方式.
(1)d++優(yōu)
(2)4a2+9從+;
(3)X2-+4y2;
(4)a2++%;
(5)+2x1y+.
結(jié)論:找完全平方式可以緊扣下列口訣:首平方、尾平方,首尾相乘兩倍在中央;
完全平方式可以進行因式分解,
a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=Qa+b)2
活動目的:加深學生對完全平方式特征的理解,為后面的分解因式做能力鋪墊.
注意事項:由于有了七年級的整式乘法的學習基礎(chǔ),同時對照口訣,大多數(shù)學生能
順利識別完全平方式,但少部分同學由于對完全平方公式的特征的理解模糊,不能
很好地掌握完全平方公式,這需要老師更加耐心地引導和啟發(fā).
第四環(huán)節(jié)范例學習
活動內(nèi)容:
例1.把下列各式因式分解:
(1)X2+14X+49⑵4/-12仍+9〃
(3)(,〃+〃尸一6(加+〃)+9(4)(m-2/?)2-2(2n-in){m+?)+(m+n)2
活動目的:(1)培養(yǎng)學生對平方差公式的應(yīng)用能力;
(2)讓學生理解在完全平方公式中的a與b不僅可以表示單項式,也可以
表示多項式.
注意事項:靈活掌握完全平方式的特征成為運用公式法進行分解因式的關(guān)鍵,在運
用整體法時,注意去括號后的符號變化和系數(shù)變化.
活動內(nèi)容:
例2.把下列各式因式分解:
(l)3ar2+6axy+3ay2(2)-x2-4y2+4xy
活動目的:對一個三項式,如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時,要仔細觀
察它是否有公因式,使學生清楚地了解提公因式法(包括提取負號)是分解因式首
先考慮的方法,再考慮用完全平方公式分解因式.
注意事項:在綜合應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式時,一般按以下兩步完成:(1)
有公因式,先提公因式;(2)再用公式法進行因式分解.
第五環(huán)節(jié)隨堂練習
活動內(nèi)容:
1.判別下列各式是不是完全平方式,若是說出相應(yīng)的a、b各表示什么?
(1)x1-6x+9;
(2)l+4a2;
(3)x~—2x+4;
(4)4X2+4X-1;
m~2
(5)1+——m-,
4
(6)4y2-12xy+9x2.
2、把下列各式因式分解:
(1)m2-12mn+367?2(2)16a4+24a2b2+9b4
(3)(4)4-12(%-y)+9Cx-y)2
活動目的:通過學生的反饋練習,使教師能全面了解學生對完全平方公式的特征是
否清楚,對完全平方公式分解因式的運用是否得當,因式分解的步驟是否真正了解,
以便教師能及時地進行查缺補漏.
注意事項:當完全平方公式中的H與少表示兩個或兩個以上字母時,學生運用起來
有一定的困難,此時,教師應(yīng)結(jié)合完全平方公式的特征給學生以有效的學法指導.
第六環(huán)節(jié)聯(lián)系拓廣
活動內(nèi)容:
1.用簡便方法計算:20052-4010x2003+20032
2.將4爐+1再加上一個整式,使它成為完全平方式,你有幾種方法?
3.一天,小明在紙上寫了一個算式為4x2+8x+ll,并對小剛說:“無論x取何值,這個
代數(shù)式的值都是正值,你不信試一試?”
活動目的:題1考察學生靈活應(yīng)用能力,需要學生有一定的數(shù)感將-4010x2003拆成
-2x2005x2003的形式,從而利用完全平方公式進行簡便運算.題2是一道開放題旨在
考察學生的分類討論思想.題3難道較大,對學有余力的孩子可以適當引導學習.
注意事項:這3道習題的設(shè)置均有一定的難度,無需要求所有學生都能掌握,按學
生自身能力分層學習即可.
第七環(huán)節(jié)自主小結(jié)
活動內(nèi)容:從今天的課程中,你學到了哪些知識?掌握了哪些方法?你認為分解因
式中的平方差公式以及完全平方公式與乘法公式有什么關(guān)系?
結(jié)論:由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出,如果把乘法公式反過來,那么就可
以用來把某些多項式分解因式,這種分解因式的方法叫做運用公式法.
活動目的:通過學生的回顧與反思,強化學生對整式乘法的完全平方公式與因式分
解的完全平方公式的互逆關(guān)系的理解,發(fā)展學生的觀察能力和逆向思維能力,加深
對類比數(shù)學思想的理解.
注意事項:學生認識到了以下事實:
(1)形如扇±2〃/>+配形式的多項式可以
用完全平方公式分解因式。
(2)因式分解通常先考慮提取公因式法方法。
再考慮運用公式方法。
(3)因式分解要徹底
課后作業(yè):完成課后習題;
拓展作業(yè):兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除嗎?為什么?
四、教學設(shè)計反思
本節(jié)課我們學習了運用公式法分解因式的第二種方法,即逆用完全平方公式分
解因式的方法,使用該方法的關(guān)鍵就是觀察完全平方式的結(jié)構(gòu)特征:兩數(shù)的平方和
與這兩個數(shù)的乘積的2倍,具體應(yīng)用時要特別關(guān)注第二項的符號.
把一個多項式進行
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