高三數(shù)學一輪復習第七章立體幾何與空間向量第5課時空間向量的運算及其應用學案

第5課時空間向量的運算及其應用[考試要求]1．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．2．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．3．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直．4．理解直線的方向向量及平面的法向量．5．能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系．6．能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．考點一空間向量的線性運算空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．[典例1](2024·臨沂一中月考)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P試用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1(3)MP+[解](1)因為P是C1D1的中點，所以AP＝AA1+A1D1+D1P＝a＋AD+12(2)因為N是BC的中點，所以A1N＝A1A+AB+BN＝－a＋b＋12BC＝－a＋b(3)因為M是AA1的中點，所以MP＝MA+AP＝12A1A+AP＝－12a＋a又NC1＝NC+CC1＝12BC所以MP+NC1＝12a+12b空間向量線性運算的基本步驟：第一步：選定空間不共面的三個向量作基向量；第二步：將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中；第三步：利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．跟進訓練1(2024·臨川二中月考)如圖，三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，則NM＝()A．12(－a＋b＋c) B．12(a＋b－C．12(a－b＋c) D．12(－a－b＋B[NM＝NA+AM＝(OA-ON)＋12AB＝OA-12OC+考點二共線(共面)向量定理的應用1．共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb．2．共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．提醒：(1)在利用MN＝xAB＋yAC證明MN∥平面ABC時，必須說明點M或點N不在平面ABC內(nèi)．(2)點共面問題可轉(zhuǎn)化為向量共面問題，要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明PA＝xPB＋yPC，或?qū)臻g任一點O，有OA＝OP＋xPB＋yPC或OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．[典例2](2024·鷹潭一中月考)已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足OM＝13(1)判斷MA，(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．[解](1)由題意知OA+OB+所以OA-OM＝(OM-OB即MA＝BM+CM＝－所以MA，(2)由(1)知MA，MB，所以M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內(nèi)．證明空間三點共線和四點共面的方法比較空間三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面PA＝λPB且同過點P(λ∈R)MP＝xMA＋yMB對空間任一點O，OP＝OA＋tAB(t∈R)對空間任一點O，OP＝OM＋xMA＋yMB對空間任一點O，OP＝xOA＋(1－x)OB對空間任一點O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB跟進訓練2已知A，B，C三點不共線，點O為平面ABC外任意一點，若點M滿足OM＝15OA+45OB+25BC，則點∈[∵OM＝15OA+45∵15∴M，A，B，C四點共面．即點M∈平面ABC.]考點三空間向量數(shù)量積的應用1．數(shù)量積及相關概念(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b(2)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．空間向量數(shù)量積的運算律(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.提醒：(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．3．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a夾角余弦值cos〈a，b〉＝a(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a[典例3](2024·武漢二中模擬)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：(1)EF·(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．[解]設AB＝a，AC＝b，AD＝c.則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF＝12BD＝12c－BA＝－a，EF·BA＝12c-12a·(－a)＝12a(2)AG＝12(AC+AD)＝1CE＝CA+AE＝－b＋1cos〈AG，CE〉＝AG·CEAGCE＝由于異面直線所成角的范圍是0，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為23利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)向量間的相互轉(zhuǎn)化計算；二是利用坐標運算，可解決有關垂直、夾角、長度等問題．跟進訓練3(2024·淄博一中模擬)已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|＝3，且向量a分別與AB，AC垂直，求向量[解](1)由題意可得AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，所以cos〈AB，AC〉＝AB·ACABAC＝-2+3+614×所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為S＝2×12|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×3(2)設a＝(x，y，z)，由題意得x2解得x=1，y=1，所以向量a的坐標為(1，1，1)或(－1，－1，－1)．考點四利用向量證明平行與垂直1．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．2．空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2，λ∈Rl1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm，λ∈R平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm，λ∈Rα⊥βn⊥m?n·m＝0[典例4](2024·日照實驗中學月考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.[證明]依題意，以點A為坐標原點建立空間直角坐標系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E為棱PC的中點，得E(1，1，1)．(1)BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故BE·所以BE⊥DC.(2)因為AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以AB＝(1，0，0)為平面PAD的一個法向量．而BE·AB＝(0，1，1)所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一個法向量為AB＝(1，0，0)，PD＝(0，2，－2)，DC＝(2，0，0)，設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·PD令y＝1，可得n＝(0，1，1)為平面PCD的一個法向量，且n·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n⊥AB，所以平面PAD⊥平面PCD.證明平行與垂直，一是直線的方向向量與平面的法向量的求解要準確，二是位置關系與向量關系的轉(zhuǎn)化要準確．跟進訓練4正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.[證明]如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為1，則M0，1，12，N12，1于是MN＝12DB＝(1，1，0)．設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·DA1＝0，且n·得x+z=0，取x＝1，得y＝－1，z＝－1.所以n＝(1，－1，－1)為平面A1BD的一個法向量．又MN·n＝12，所以MN⊥n.又MN?平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.課后習題(三十九)空間向量的運算及其應用1．(人教B版選擇性必修第一冊P42練習AT1改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不對C[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]2．(蘇教版選擇性必修第二冊P16練習T5改編)在四面體OABC中，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，若OG＝13OA+x4OB+x4OCA．1B．2C．23D．A[由題意得，ON＝12(OB+OC)若G與M，N共線，則存在實數(shù)λ，使得OG＝λON＋(1－λ)OM＝λ2(OB又OG＝13所以21-λ3．(人教B版選擇性必修第一冊P16練習AT3改編)O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且OP＝34OA+18OB＋tOC，若P，A，18[∵P，A，B，C四點共面，∴34+∴t＝184．(人教A版選擇性必修第一冊P15習題1.2T5改編)正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則EF的長為________．2[|EF|2＝EF2＝(EC+＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)＝12所以|EF|＝2，所以EF的長為2.]5．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，則a·(b＋c)＝()A．18B．－18C．32D．－32B[因為b＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.]6．(2024·臺州模擬)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是()A．75B．2C．5A[因為a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝2，|b|＝5，又ka＋b與2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，即4k＋k－2－5＝0，所以k＝75故選A.]7．(2024·廣州仲元中學月考)已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，則“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點共面”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四點共面，當P，A，B，C四點共面時，x＋y＋z＝1，顯然不止x＝2，y＝－3，z＝2這一種情況．故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點共面”的充分不必要條件．]8．直線l的一個方向向量為(2，1，1)，平面α的一個法向量為(4，2，2)，則()A．l∥αB．l⊥αC．l∥α或l?αD．l與α的位置關系不能判斷B[直線l的一個方向向量為(2，1，1)，平面α的一個法向量為(4，2，2)，顯然它們共線，所以l⊥α.]9．(多選)(2024·荊州中學月考)已知空間中三點A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則下列結(jié)論正確的是()A．AB與AC是共線向量B．與AB共線的單位向量是(1，1，0)C．AB與BC夾角的余弦值是－55D．平面ABC的一個法向量是(1，－2，5)CD[對于A，AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，不存在實數(shù)λ，使得AB＝λAC，所以AB與AC不是共線向量，所以A錯誤；對于B，因為AB＝(2，1，0)，所以與AB共線的單位向量為255，對于C，向量AB＝(2，1，0)，BC＝(－3，1，1)，所以cos〈AB，BC〉＝AB·對于D，設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，因為AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，所以n·AB令x＝1，得y＝－2，z＝5，則n＝(1，－2，5)為平面ABC的一個法向量，所以D正確．]10．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a與b夾角的余弦值為________；若a⊥(a－λb)，則λ＝________．2162[∵a＝(－2，1，3)，b∴cos〈a，b〉＝a·bab＝由題意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0