2023-2024學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=(3+i)(2?i)，則z的虛部為(

)A.?i B.?1 C.7i D.72.已知由小到大排列的4個(gè)數(shù)據(jù)1，3，4，a的極差是它們中位數(shù)的2倍，則a=(

)A.5 B.6 C.7 D.83.設(shè)x∈R，則“x=π2”是“cosx=0”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足AE=13AC，則A.23AB?13AD B.AB5.已知函數(shù)y=x2+(1+m)x+2在區(qū)間(?∞,4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(?∞,?9] B.[3,+∞) C.(?∞,?5] D.[7,+∞)6.中國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理.如圖，一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為33的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(

)

A.24 B.243 C.277.已知m+em=e，n+3A.1<n<m<e B.1<m<n<e C.0<n<m<1 D.0<m<n<18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinA=3acosB，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且A.4 B.6 C.2+22 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(?2,1)，則(

)A.|b|=5 B.(a?b)⊥b

C.a在10.已知函數(shù)f(x)=sinxcosx?A.f(x)的最小正周期為π2

B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π3,0)成中心對(duì)稱

C.f(x)在區(qū)間[0,π3]上單調(diào)遞增

11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(1)=0，若f(x+y)=f(x)+f(y)+2，則(

)A.f(?2)=?6 B.f(1013)=2024

C.f(x)有最大值 D.函數(shù)f(x)+2是奇函數(shù)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={?1,0}，B={y|y=2x,x∈A}，則A∪B的所有元素之和為

．13.若函數(shù)f(x)=3a?x,x≤2,log2x,x>2的值域?yàn)?1,+∞)，則實(shí)數(shù)14.一個(gè)三棱錐形木料P?ABC，其中底面△ABC是A=90°，AB=2dm的等腰直角三角形，PA⊥底面ABC，二面角P?BC?A的大小為45°，則三棱錐P?ABC的外接球表面積為

d四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a2(1)求C;(2)若sinA=17，求sin16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，CD=2，AD=3．

(1)設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，證明：GH/?/平面PAD;(2)求直線AD與平面PAC所成角的正切值．17.(本小題15分)某校舉辦“奮進(jìn)新征程，建功新時(shí)代”知識(shí)能力測(cè)評(píng)，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法從[80,90)，[90,100]這兩個(gè)區(qū)間共抽取5名學(xué)生，則每個(gè)區(qū)間分別應(yīng)抽取多少人?(2)在(1)的條件下，該校決定在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)的概率;(3)現(xiàn)需根據(jù)學(xué)生成績(jī)制定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)定成績(jī)較高的前70%的學(xué)生為良好，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)良好的最低分?jǐn)?shù)線.(精確到1)18.(本小題17分)已知f(x)=x2+1(1)求f(x)的解析式;(2)判斷并用定義證明f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;(3)設(shè)函數(shù)?(x)=x2+1x2?2t?f(x)(t<0)，若對(duì)任意的x119.(本小題17分)“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的，該問(wèn)題是“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于2π3時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=2π3的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于2π3時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，(1)求A;(2)設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若PA?PB+PB(3)設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，PB+PC=tPA，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

答案解析1.B

【解析】解：z=(3+i)(2?i)=7?i，其虛部為?1．

故選B2.D

【解析】解：由題意，得極差為a?1，中位數(shù)為

3+42=72，

則a?1=

3.A

【解析】解：①當(dāng)x=π2時(shí)，則cosx=0，∴充分性成立，

②當(dāng)cosx=0時(shí)，則x=π2+kπ，k∈Z，∴必要性不成立，

∴x=π24.C

【解析】解：BE=AE?AB=5.A

【解析】解：函數(shù)y=x2+(1+m)x+2因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+(1+m)x+2所以?1+m2?4所以m的取值范圍為．故選A．6.D

【解析】解：由祖暅原理知，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺(tái)體積相等，

故V=17.C

【解析】解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ex，g(x)=x+3x，

則f(m)=m+em=e，g(n)=n+3n=e，

易知函數(shù)f(x)，g(x)為增函數(shù)，

函數(shù)f(x)，g(x)的圖象與直線y=e，如下圖所示：

由圖可知，0<n<m，

又f(1)=1+e>f(m)，g(1)=1+3>g(n)，所以8.D

【解析】解：∵bsinA=3acosB，∴由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcos?B，

又sinA≠0，，

根據(jù)題意，S△ABC=12acsinB=34ac，

因?yàn)椤螦BC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=3，

所以S9.AC

【解析】解：對(duì)于A、|b|=4+1=5，故A正確；

對(duì)于B、，則(2a?b)·b=?6+2=?4≠0

，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C、a在b上的投影向量的模為

a·bb·bb=110.BCD

【解析】解：f(x)=sinxcosx?3cos2x+32

=12sin2x?3?1+cos2x2+32

=12sin2x?32cos2x=sin(2x?π3)，

最小正周期T=2π2=π，故A錯(cuò)誤;11.ABD

【解析】解：對(duì)于A，令x=y=0

，則f(0+0)=f(0)+f(0)?+2，

則f(0)=?2，

令x=1，y=?1，則f(0)=f(1)+f(?1)?+2，解得f(?1)=?4，則令x=?1，y=?1，f(?2)=f(?2)+f(?2)+2=?6，A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閒(x+y)=f(x)+f(y)+2，f(1)=0，f(0)=?2，

令x=y=1，

則f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=2=2×(2?1)，

令x=1，y=2，

則f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2=4=2×(3?1)，

以此推廣得f(1+n)=f(1)+f(n)+2=2n，

故f(1+1012)=2×1012=2024，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)f(x)=2(x?1)符合題意，此時(shí)f(x)無(wú)最大值，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，令y=?x

，則f(0)=f(x)+f(?x)+2=?2

，

則f(x)+2=?f(?x)?2，

則f(?x)+2=?f(x)?2=?[f(x)+2]，

又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則f(x)+2的定義域?yàn)镽，

所以f(x)+2是奇函數(shù)，故D正確；

故選ABD．12.?3

【解析】解：集合A={?1,0}，B={y|y=2x,x∈A}={?2,0}，

故A∪B={?2,?1,0}，

所以A∪B的所有元素之和為?2+(?1)+0+=?3．

故答案為：?3．

13.(1,+∞)

【解析】解：當(dāng)x>2時(shí)，f(x)=log2x，此時(shí)f(x)>log22=1，

故當(dāng)x≤2時(shí)，有3a?x>1恒成立，

即3a>1+x在x≤214.10π

【解析】解：如圖，取BC中點(diǎn)D，連接PD、AD，

因?yàn)镻A⊥底面ABC，AB，AC，AD均在底面內(nèi)，

所以PA與AB，AC，AD均垂直，

所以PB2=PA2+AB2，PC2=PA2+AC2，

因?yàn)锳B=AC，所以PB=PC，所以AD⊥BC，PD⊥BC，

所以∠PDA即為二面角P?BC?A的平面角，所以∠PDA=45°，

由在直角三角形PAD中，PA=AD，

因?yàn)锳B=2dm，所以BC=22dm，

所以在直角三角形ABC中，AD=2dm，

所以PA=2dm，因?yàn)镻A、AB、AC兩兩垂直，15.解：(1)由已知得a2+b2?c2=ab，

由余弦定理a2+b2?2abcosC=c2，

則cosC=a2+b2?c22ab=ab【解析】

(1)由余弦定理得cosC=12，可得C的大?。?/p>

(2)16.(I)證明：連接BD，易知AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，故GH//PD，又因?yàn)镚H?平面PAD，PD?平面PAD，所以GH/?/平面PAD．(II)證明：取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，依題意，得DN⊥PC，又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD，平面PAC?平面PCD=PC，

DN?平面PCD所以DN⊥平面PAC，

連接AN，可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角．因?yàn)棣CD為等邊三角形，CD=2且N為PC的中點(diǎn)，所以DN=3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，因?yàn)锳D=3，所以NA=AD2?DN2=【解析】

(1)由題意連接BD，得出得GH//PD，根據(jù)線面平行判定證出GH/?/平面PAD．

(2)取棱PC中點(diǎn)N，連接DN，根據(jù)題意及線面垂直的判定得出DN⊥平面PAC，連接AN，可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，故可在中求得直線AD與平面PAC所成角的正切值．17.解：(1)依題意，設(shè)區(qū)間[?80,90)中應(yīng)抽取x人，區(qū)間[?90,100]中應(yīng)抽取y人，

得成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)中的學(xué)生人數(shù)為0.045×10×100=45;

成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]中的學(xué)生人數(shù)為0.03×10×100=30，

所以545+30=x45=y30，解得x=3，y=2，

所以區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽取3人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽取2人．

(2)由(1)不妨記區(qū)間[80,90)中3人為a，b，c，區(qū)間[90,100]中2人為m，n，

則從中抽取2名學(xué)生(注意分先后)的基本事件為ab，ac，am，an，ba，bc，bm，bn，ca，cb，cm，cn，ma，mb，mc，mn，na，nb，nc，nm，共20個(gè)，

其中第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)(記為事件A)的基本事件為ab，ac，ba，bc，ca，cb，ma，mb，mc，na，nb，nc，共12個(gè)，

故P(A)=1220=35，即第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)的概率為35．

(3)由頻率分布直方圖易得，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]的頻率為0.03×10=0.3，

成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,100]的頻率為0.045×10+0.3=0.75，

所以成績(jī)良好的最低分?jǐn)?shù)線落在區(qū)間[80,90)內(nèi)，不妨記為【解析】

(1)根據(jù)評(píng)率分布直方圖可求得[80,90)，[90,100]兩個(gè)區(qū)間的人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣方式即可求得答案；

(2)由古典概型的概率公式計(jì)算即可；

(3)設(shè)良好的最低分?jǐn)?shù)線為x0，根據(jù)題意建立關(guān)于x18.解(1)：∵f(x)是奇函數(shù)，f(1)=2，∴f(?1)=?2

∴2?a+b=?22a+b=2，解得a=1b=0,

∴f(x)=x+1x；

(2)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

證明如下：取x1，x2∈(0,1)且x1<x2，

f(x1)?f(x2)=(x1+1x1)?(x2+1x2)=(x1?x2)(x1x2?1x1x2)，

∵x1，x2∈(0,1)且x1<x2，

∴x1?x2<0，0<x1x2<1，即x1x2?1<0，

∴f(x1)?f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)遞減，

當(dāng)x1，x2∈(1,+∞)【解析】(1)由f(?1)=?2，f(1)=2，可得a，b的方程，解方程可得所求f(x)，

(2)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，由單調(diào)性的定義即可證明；

(3)求得?(x)的解析式，令z=x+1x，y=z2?2tz?2，結(jié)合(1)19.解：(1)因?yàn)锳∈(0,π)，所以A+π3∈(π3,4π3).因?yàn)閟in(A+π3)=12，所以A+π3=5π6，

即A=π2．

(2)由(1)知A=π2，所以△ABC的三個(gè)內(nèi)角都小于2π3，

則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知∠APB=∠BPC=∠APC=2π3，如圖，設(shè)|PA|=