青島版初中八年級數(shù)學上冊專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(三)分類討論思想在等腰三角形中的六大應用課件

分類討論思想在等腰三角形中的六大應用專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(三)類型一針對腰長和底邊長進行分類討論1.(2024山東菏澤巨野期中,10,★★☆)已知等腰三角形的兩邊長a,b滿足|2a-3b+

5|+(2a+3b-13)2=0,則此等腰三角形的周長為

.8或7答案

8或7解析因為|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0,|2a-3b+5|≥0,(2a+3b-13)2≥0,所以

解得

當2為底邊長時,腰長為3,3,且2+3>3,能組成三角形,所以周長為2+3+3=8;當3為底邊長時,腰長為2,2,且2+2>3,能組成三角形,所以周長

為3+2+2=7.綜上,等腰三角形的周長為8或7.2.(2024山東聊城陽谷期中,22,★★☆)一個等腰三角形的周長是30cm.(1)若腰長是底邊長的2倍,求各邊的長.(2)若其中一條邊的長是8cm,求另外兩條邊的長.解析

(1)設底邊長為xcm,則腰長為2xcm,由等腰三角形的周長是30cm,得x+2x+2x=30,解得x=6,所以2x=2×6=12.所以各邊長分別為6cm,12cm,12cm.(2)分兩種情況考慮:①若底邊長為8cm,則腰長為

=11(cm),8,11,11符合三角形三邊關系;②若腰長為8cm,則底邊長為30-8-8=14(cm),8,8,14符合三角形三邊關系.所以另外兩邊長分別為11cm,11cm或8cm,14cm.類型二針對頂角與底角進行分類討論3.(2024山東聊城陽谷期中,18,★★☆)在△ABC中,∠A=80°,當∠B=

時,△ABC是等腰三角形.80°或50°或20°答案

80°或50°或20°解析分三種情況:①∠B、∠A為底角,因為∠A=80°,所以當∠B=80°時,△ABC

是等腰三角形;②∠A為頂角,∠B為底角,所以當∠B=

=

=50°時,△ABC是等腰三角形;③∠B為頂角,∠A為底角,所以當∠B=180°-∠A×2=20°時,

△ABC是等腰三角形.4.(★★☆)等腰三角形的一個外角等于110°,求此三角形的各內角的度數(shù).解析因為等腰三角形的一個外角等于110°,所以與這個外角相鄰的內角是180°-110°=70°,分兩種情況討論:①70°角是頂角時,底角是

=55°,三角形的三個內角分別為55°,55°,70°;②70°角是底角時,頂角是180°-70°×2=40°,三角形的三個內角分別為70°,70°,40°.綜上所述,這個三角形的內角分別為55°,55°,70°或70°,70°,40°.5.(★★☆)已知一個等腰三角形的兩個內角分別為(2x-2)°和(3x-5)°,求這個等腰

三角形各內角的度數(shù).解析分三種情況討論:①當(2x-2)°和(3x-5)°是兩個底角時,2x-2=3x-5,解得x=3,所以三個內角的度數(shù)分

別是4°,4°,172°;②當(2x-2)°角是頂角時,2x-2+2(3x-5)=180,解得x=24,所以三個內角的度數(shù)分別是

46°,67°,67°;③當(3x-5)°角是頂角時,3x-5+2(2x-2)=180°,解得x=27,所以三個內角的度數(shù)分別

是76°,52°,52°.綜上,這個等腰三角形三個內角的度數(shù)分別為4°,4°,172°或46°,67°,67°或76°,52°,52°.類型三當高的位置不確定時分類討論6.(★★☆)等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°,求這個三角形的各個

內角的度數(shù).解析如圖,AB=AC,BD⊥AC,所以∠BDC=90°.①當高與底邊的夾角為25°時,高一定在△ABC的內部,如圖(1)所示.因為∠DBC=

25°,所以∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°,所以∠ABC=∠C=65°,所以∠A=180°-65°×2=50°.②當高與另一腰的夾角為25°,且高在△ABC的內部時,如圖(2)所示.因為∠ABD=

25°,所以∠A=90°-∠ABD=65°,所以∠C=∠ABC=

=57.5°.③當高與另一腰的夾角為25°,且高在△ABC的外部時,如圖(3)所示.因為∠ABD=

25°,所以∠BAC=90°+∠ABD=90°+25°=115°,所以∠C=∠ABC=

=32.5°.綜上,三角形各個內角的度數(shù)分別為65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.類型四當腰的垂直平分線與另一腰所在直線的交點位置不確定時,分類討論7.(★★☆)在等腰△ABC中,AB=AC,AB邊的垂直平分線與AC所在直線相交所成

的銳角為54°,則這個三角形的頂角度數(shù)為

.36°或144°答案

36°或144°解析因為AB的垂直平分線與AC所在直線相交所成的銳角為54°,所以∠DEA=

54°.①如圖1,AB的垂直平分線與AC相交時,∠BAC=90°-∠DEA=36°;②如圖2,AB的垂直平分線與CA的延長線相交時,∠BAC=90°+∠DEA=144°.綜上所述,等腰三角形頂角的度數(shù)為36°或144°.

類型五腰上的中線引起的分類討論8.(★★☆)等腰三角形一腰上的中線把三角形的周長分成12cm和15cm兩部分,

求三角形各邊的長.解析如圖,設腰AB長為xcm,底邊CB長為ycm,分兩種情況討論:①當AB+AD為

15cm,BC+CD為12cm時,

解得

經檢驗符合題意;②當AB+AD為12cm,BC+CD為15cm時,

解得

經檢驗符合題意.綜上,三角形各邊的長分別為8cm,8cm,11cm,或10cm,10cm,7cm.

類型六等腰三角形的存在性問題中,因點的位置不確定引起分類討論9.(2024山東聊城冠縣期中改編,8,★★☆)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=

60°,在直線BC或AC上取一點P,使得△ABP為等腰三角形,則符合條件的點的個

數(shù)是

(

)

A.7

B.8

C.5

D.6D解析

D如圖,以AB為腰,B為頂角的頂點的等腰三角形有△BAP1,△BAP2,△

BAP3,以AB為腰,A為頂角的頂點的等腰三角形有△ABP3,△ABP4,△ABP5,以AB為

底邊,P為頂角的頂點的等腰三角形有△ABP6,△ABP3,所以符合條件的點的個數(shù)

有6個,故選D.

10.(★★★)如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,點O在BC邊上運動(O不與B、C重

合),連接AO,作∠AOD=∠B,OD交AB于點D.(1)當OD∥AC時,判斷△AOB的形狀并證明.(2)在點O運動過程中,△AOD的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請求出∠BDO

的度數(shù);若不可以,請說明理由.

解析

(1)△AOB為直角三角形.理由如下:因為AB=AC,∠B=30°,所以∠C=∠B=30°,所以∠BAC=180°-30°-30°=120°.因為OD∥AC,∠AOD=∠B=30°,所以∠OAC=∠AOD=30°,所以∠BAO=120°-30°=90°,所以△AOB是直角三角形.(2)△AOD的形狀可以是等腰三角形.分三種情況:①DA=DO時,∠OAD=∠AOD=30°,所以∠BDO=∠OAD+